PHÒNG GD-ĐT ĐÔNG HÀ
-------------------------
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn Toán. Thời gian 150 phút
*Ma trận đề kiểm tra :
Chủ đề chính Vận dụng Tổng
1)Phân tích ĐT thành nhân tử, biến
đổi đồng nhất.
1
1
1
1
2) Bất đẳng thức 2 2 2 2
3)Phép chia hết, phép chia có dư 1 1 1 1
4)Số chính phương 2 1,5 2 1,5
5)Phương trình nghiệm nguyên 2 1,5 2 1,5
6)Diện tích tam giác, tam giác đồng
dạng
2
3
2
3
Tổng 10
10
10 10
Câu 1: (1đ)
Cho 3 số x, y, z khác không thoả mãn
2010
1 1 1 1
2010

4 6 3 17P n n n
= + + −
không chia hết cho 125,
∀
n
∈
N.
Câu 5:(1,5đ) a) Tìm số tự nhiên n sao cho
3 55
n
+
là số chính phương.
b) Cho a + 1 và 2a + 1 (a
∈
N) đồng thời là hai số chính phương.
Chứng minh rằng a chia hết cho 24.
Câu 6: (1,5đ)Tìm nghiệm nguyên của các phương trình:
a)
4 2 2
1x x y
+ + =
b)
2 3 1
x y
− =
Câu 7: (3đ) Cho tam giác đều ABC với tâm O. Gọi M là điểm bất kì bên trong tam giác
ABC. Kẻ
, , .MH BC MK AC MI AB⊥ ⊥ ⊥
a) Chứng minh rằng: MH + MK + MI = h ( h là chiều cao của tam giác ABC).
b) Đường thẳng MO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A’, B’, C’.

+ + + +
   [ ]
0 ( ) ( ) 0
( )
x y x y
x y z x y z xy
xy z x y z
+ +
⇒ + = ⇒ + + + + =
+ +( )
[ ]
2
( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0x y zx zy z xy x y z x z y x z⇒ + + + + = ⇒ + + + + =0
( )( )( ) 0 0
0
x y x y
x y y z z x y z y z
z x z x
+ = = −
 
 

 
+ = + + + + +
 ÷
 

1 1 1
1 1 ...
2! 3! !n
 
< + + + + +
 ÷
 
Mặt khác:
1 1 1 1 1 1 1
... ... 1 1
2! 3! ! 1.2 2.3 ( 1)n n n n
+ + + ≤ + + + = − <
−
Vậy
1
1 3
n
n
 
+ <
 ÷
 
(đpcm)
Câu 3:
Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên

x y z
z x y
 
+ + ≥ + + =
 ÷
 
(vì x + y + z = 1)
⇒ 2A ≥ 2 ⇒ A ≥ 1
Vậy Min A = 1 ⇔
1
3
xy yz zx
x y z
z x y
= = ⇔ = = =
Câu 4:
Giả sử tồn tại n
∈
N sao cho
3 2
4 6 3 17P n n n
= + + −

M
125 ⇒ P
M
5
⇒
3 2 3
2 2(4 6 3 17) (2 1) 35 5P n n n n

a
+ =
, với a
∈
N (1)
Từ (1) ⇒ a chẵn ⇒
2
0(mod 4)a ≡
⇒
3 1(mod4)
n
≡
(2)
Mặt khác:
3 1(mod 4) 3 ( 1) (mod 4)
n n
≡ − ⇒ ≡ −
(3)
Từ (2) và (3) ⇒ n chẵn ⇒ n = 2m, (m
∈
N)
pt (1)
2 2
(3 ) 55 ( 3 )( 3 ) 55
m m m
a a a
⇔ − = ⇔ − + =
(*)
Vì
0 3 3

=

=



⇒ ⇒



=
=

+ =





− =


• Với m = 1 ⇒ n = 2 ⇒
2 2
3 55 3 55 64 8
n
+ = + = =
• Với m = 3 ⇒ n = 6 ⇒
6 2
3 55 3 55 784 28

⇒ a + 1 lẻ ⇒ k
2
lẻ ⇒ k

lẻ ⇒ k = 2n + 1, (n
∈
N)
Do đó từ a + 1 = k
2
⇒
a = (k – 1)(k + 1) = 4n(n + 1)
M
8 (1)
Mặt khác: k
2
+ m
2
= a + 1 + 2a + 1 = 3a + 2
2(mod3)
≡

2 2 2 2
1(mod3) 0(mod3)k m m k a⇒ ≡ ≡ ⇒ − = ≡
hay
3aM
(2)
Từ (1) và (2) ⇒
(3.8)aM
, (vì (3; 8) = 1)
Vậy a chia hết cho 24.

2
1 1y y
= ⇔ = ±
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm nguyên là : (0 ; 1), ( ; -1)
b)
2 3 1 2 1 3
x y x y
− = ⇔ − =
(1)
Từ (1) ⇒ 2
x
> 1 ⇒ x > 0 ⇒
0y
≥
• Xét y là số chẵn : Ta có :
3 1(mod 4) 3 ( 1) (mod 4)
y y
≡ − ⇒ ≡ −

3 1(mod 4)
y
⇒ ≡
(vì y chẵn)
Do đó từ pt(1) ⇒
2 2(mod 4)
x
≡
⇒ x = 1 ⇒ y = 0
• Xét y là số lẻ : đặt y = 2m + 1, (m
∈

Theo kết quả câu a ta có:
OH’ + OK’ + OI’ = h
Mà O là tâm của tam giác đều ABC nên:

1
' ' '
3
OH OK OI h= = =
Ta có: MH // OH’ nên:
'
' '
MA MH
OA OH
=
(1)
OK’ // MK nên:
'
' '
MB MK
OB OK
=
(2)
IM // OI’ nên:
'
' '
MC MI
OC OI
=
(3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta có:

I'
H'
K'
O
A
B
C
M
--------------Hết--------------