Tích phân Trần Só Tùng
Trang 122

Vấn đề 12: THIẾT LẬP CÔNG THỨC TRUY HỒI

1. Nhận xét:
Trong những trường hợp hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào tham số n (n Ỵ N), khi đó
người ta thường ký hiệu I
n
để chỉ tích phân phải tính.
1. Hoặc là đòi hỏi thiết lập một công thức truy hồi, tức là công thức biểu diễn
I
n
theo các I
n+K
, ở đây 1 £ K £ n.
2. Hoặc là chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
3. Hoặc sau khi có công thức truy hồi đòi hỏi tính một giá trò
0
n
I cụ thể nào
đó.

2. Một số dạng thường gặp:
Dạng 1:
/2
n
n
0
Isinx.dx(nN)
p

n1n2
ucosxdu(n1).cosx.dx
--
=Þ=--
dvcosx.dxvsinx.=Þ=

n1/2
n0n2n
Icosx.sinx](n1).(II)
-p
-
é
Þ=+--
ë Dạng 3:
/4
n
n
0
Itgx.dx.
p
=
ò

· Phân tích:
+
ỉư
==-=+-

uxdun.x.dx.
-
=Þ=
dvcosx.dxvsinx=Þ=

2
nn
InJ1(1)
2
p
ỉư
Þ=--
ç÷
èø

· Tương tự:
nn1
J0nI(2)
-
=+
· Từ (1) và (2)
n
nn2
In(n1)I.
2
-
p
ỉư
Þ+-=
ç÷

n
nx
nn
x
00
x
IdxhayIx.e.dx
e
-
==
òò

· Đặt:
nn1
uxdunx.dx
-
=Þ=

xx
dve.dxve.
--
=Þ=-

xx1
n0n1
I[x.e]nI
-
-
Þ=-+


n
n
Jcosx.dx=
ò
, với nN,n2.Ỵ³
Chứng minh các công thức truy hồi sau:

n1
nn2
1n1
Isinx.cosxI.
nn
-
-
-
=-+
n1
nn2
1n1
Jsinx.cosxJ.
nn
-
-
-
=+
Áp dụng ta tính I
3
và J
4
.

-
-
=-=--

nn1
nn2
Jx.sinxn.x.cosxn(n1).J.
-
-
=+--
Áp dụng ta tính I
2
và J
2
.
ĐS: ·
2
2
Ixcosx2x.sinx2cosxC.=--+++
·
2
4
Jxsinx2xcosx2sinxC.=+-+
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 124
Bài 44. Cho
nx
n
Ix.e.dx,nN,n1.=Ỵ³
ò

n
.
c/ Chứng minh rằng hàm số f:
NR®
với
nn1
f(n)(n1)I.I.
+
=+
d/ Suy ra
/4
n
n
0
Jcosx.dx.
p
=
ò

ĐS: b/
(n1)(n3)(n5)...1
.,nchẵn
n(n2)(n4)...22
I(n)
(n1)(n3)(n5)...2
,n lẻ
n(n2)(n4)...3
---p
ì
ï

và I
n+2
.
ĐS:
nn2
1
II.
n1
+
+=
+

Bài 47. Cho
1
n
*
n
0
x
Idx,(nN)
1x
=Ỵ
-
ò

Chứng minh rằng:
nn1
(2n1)I2n.I22.
-
++=

+
b/
n1
1n)
nI
1
I(e1)
1n
-
-
+
=-
-

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 125
Vấn đề 13: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

· Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a ; b]

Dạng 1: Nếu f(x)0,x[a;b]³"Ỵ thì :
b
a
f(x)0³
ò

dấu “=” xảy ra khi f(x)0,x[a;b]="Ỵ
Dạng 4: Để chứng minh:
b
a
Af(x).dxB££
ò
.
§ ta tìm 2 hàm số h(x) và g(x) thỏa điều kiện:

bb
aa
h(x)f(x)g(x),x[a;b]
h(x).dxA,g(x).dxB
££"Ỵ
ì
ï
í
==
ï
ỵ
òò

§ Hoặc ta chứng minh: mf(x)M,££ với mminf(x),Mmaxf(x)==
sao cho:
bb
aa
m.dxm(ba)A,M.dxM(ba)B.=-==-=
òò



Kỹ thuật 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương hoặc chặn trên, chặn dưới

BÀI TẬP
Bài 49. Chứng minh các bất đẳng thức:
a/
1
19
3
3 6
0
1x.dx1
20
202
1x
<<
+
ò
b/
1
23
0
dx2
.
68
4xx
pp
<<
--
ò

0
e.
e.dx
22
p
pp
<<
ò
b/
2
1
x
0
1
1e.dx1.
e
-
-££
ò

c/
3
x
2
1
e.sinx
0dx
x112e
-
p

lnx
J(t)dx,
x
ỉư
=
ç÷
èø
ò
với t > 1.
Tính J(t) theo t, từ đó suy ra: J(t) < 2,
t1.">Kỹ thuật 2: Dùng bất đẳng thức Côsi hay Bu Nhia Cốp Ski

BÀI TẬP
Bài 53. Chứng minh các bất đẳng thức:
a/
/2
0
27
sinx(23sinx)(74sinx)dx
2
p
p
+-<
ò

b/
/3