Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 27

TP 04: TAM GIC

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho DABC bit: B(2; 1), ng cao qua A cú phng
trỡnh d
1
: xy34270+=, phõn giỏc trong gúc C cú phng trỡnh d
2
: xy250+=. Tỡm to
im A.

ã
Phng trỡnh BC:
xy21
34
-+
=
-

ị
To im C(1;3)-
+ Gi B l im i xng ca B qua d
2
, I l giao im ca BB v d
2
.

ị
phng trỡnh BB:

=-=
Â
ị
ớ
=-=
ợ

+ ng AC qua C v B nờn cú phng trỡnh: y 3 =0.
+ To im A l nghim ca h:
yx
A
xyy
305
(5;3)
342703
ỡỡ
-==-
ị-
ớớ
-+==
ợợCõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú ng cao AH, trung tuyn CM
v phõn giỏc trong BD. Bit HM
17
(4;1),;12
5
ổử
-

ng phõn giỏc trong (AD): xy250+-=, ng trung tuyn (AM): xy413100+-=.
Tỡm to nh B.

ã
Ta cú A = AD
ầ
AM
ị
A(9; 2). Gi C
Â
l im i xng ca C qua AD
ị
C
Â

ẻ
AB.
Ta tỡm c: C
Â
(2; 1). Suy ra phng trỡnh (AB):
xy92
2912
-+
=
--+


xy750++=.
Vit phng trỡnh ng thng Cx // AB
ị

=
3
2


tt
2
4413++=


t
t
2
1
ộ
=-
ờ
=
ởị
C(2; 10) hoc C(1;1).

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 28

Cõu 5. Trong mt phng Oxy, cho tam giỏc ABC bit A(2; 3), B(3; 2), cú din tớch bng
3
2

ị

tt(38)51
22
---
=


t
t
1
2
ộ
=
ờ
=
ởã
Vi t 1=
ị
G(1; 5)
ị
C(2; 10)
ã
Vi t 2=
ị
G(2; 2)
ị

10.2
2
10
-
=
a
a
6
2
ộ
=

ờ
=-
ởã
Vi a 6= ta cú C(9;6)-
ã
Vi a 2=- ta cú C(7;2)- .
Cõu hi tng t:
a) Vi dxy:210--= , A(1; 0), B(3; -1) ,
ABC
S 6= . S: C(7;3) hoc C(5;3)-- .

Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(2; 3), B(3; 2), din tớch tam
giỏc bng 1,5 v trng tõm I nm trờn ng thng d: xy380--=. Tỡm to im C.

ã

a
2
1
ộ
=
ờ
=
ở

ị
I(2; 2) hoc I(1; 5).
+ Vi I(2; 2)
ị
C(1; 1) + Vi I(1; 5)
ị
C(2; 10).

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú AB(1;0),(0;2) , din tớch tam
giỏc bng 2 v trung im I ca AC nm trờn ng thng d: yx= . Tỡm to im C.

ã
Phng trỡnh ABxy:220+-=. Gi s Ittd(;)ẻ
ị
Ctt(21;2)- .
Theo gi thit:
ABC
SABdCAB
1
.(,)2
2

Trang 29 ã
Gi E l im i xng ca A qua d
ị
E
ẻ
BC. Tỡm c E(1;1)

ị
PT ng thng BC: xy4310++= . CdBC=ầ
ị
C(2;5)- .
Phng trỡnh ng trũn (ABC) cú dng: xyaxbycabc
2222
220;0+--+=+->
Ta cú A, B, C
ẻ
(ABC)
ị

abc
abcabc
abc
41029
1599
61034;;
284
8625

xy
30
210
ỡ
-+=
ớ
++=
ợ

ị
A
45
;
33
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
M(1;2)- l trung im ca AB nờn B
27
;
33
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
ng thng BC qua B v nhn n (2;1)=
r

ổửổửổửổử
=-++=+
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ


tloaùivỡCB
t
0()
4
5
ộ
=
ờ
=
ờ
ở

Vy: C
1447
;
1515
ổử
ỗữ
ốứ
.

Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi AB 5= , nh C(1;1)-- ,
ng thng AB cú phng trỡnh xy230+-=, trng tõm ca DABC thuc ng thng
dxy:20+-=. Xỏc nh to cỏc nh A, B ca tam giỏc ABC.

ù
=
ợ

Do Gdẻ nờn
ab2121
20
33
--
+-=
ị
To im I l nghim ca h:

ab
ab
230
2121
20
33
ỡ
+-=
ù
--
ớ
+-=
ù
ợ

ị


22
230
5
(5)(1)
4
ỡ
+-=
ù
ớ
-++=
ù
ợ

PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 30

xy
xy
1
4;
2
3
6;
2
ộ
==-
ờ

12
,ẻẻ sao cho tam giỏc ABC
nhn im G lm trng tõm, bit A l giao im ca dd
12
, .

ã
To im A l nghim ca h:
xy
xy
270
580
ỡ
+-=
ớ
+-=
ợ



x
y
1
3
ỡ
=
ớ
=
ợ


ị

bc
bc
22
58
ỡ
-=
ớ
-=-
ợ

ị

b
c
2
2
ỡ
=
ớ
=
ợ
.
Vy: BC(3;2),(2;2)- .

Cõu 13. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(2;1) . ng cao BH cú
phng trỡnh xy370--=. ng trung tuyn CM cú phng trỡnh xy10++= . Xỏc nh
to cỏc nh B, C. Tớnh din tớch tam giỏc ABC.


xy21
10
22
++
++= .
To im B l nghim ca h:
BB
xy
xy
370
21
10
22
ỡ
--=
ù
++
ớ
++=
ù
ợ

ị
B(2;3)-- .
To im H l nghim ca h:
xy
xy
370
370
ỡ

Cõu 14. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(4;2)- , phng trỡnh ng
cao k t C v ng trung trc ca BC ln lt l: xy20-+=, xy3420+-=. Tỡm to
cỏc nh B v C.

ã
ng thng AB qua A v vuụng gúc vi ng cao CH
ị
ABxy():20-+=.
Gi BbbAB(;2)()-ẻ , CccCH(;2)()+ẻ
ị
Trung im M ca BC:
bcbc
M
4
;
22
ổử
+-+
ỗữ
ốứ
.
Vỡ M thuc trung trc ca BC nờn: bcbc3()4(4)40++-+-=

bc7120-++= (1)
BCcbcb(;)=-+
uuur
l 1 VTPT ca trung trc BC nờn cbcb4()3()-=+

cb7= (2)
T (1) v (2)

H
71
;
22
ổử
-
ỗữ
ốứ

ị
AH
9
2
=
Theo gi thit:
ABC
SBCAHBC
1
18.1842
2
D
=ị=ị=
ị
HBHC 22== .
To cỏc im B, C l cỏc nghim ca h:
xy
xy
22
40
71


Vy BC
11335
;,;
2222
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ
hoc BC
35113
;,;
2222
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ
.

Cõu 16. Trong mt phng vi h trc ta Oxy, cho hai ng thng d
1
: xy50++=, d
2
:
xy270+= v tam giỏc ABC cú A(2; 3), trng tõm l im G(2; 0), im B thuc d
1
v

im C thuc d
2

=-

ớ
=
ợ

ị
B(1; 4), C(5; 1)

ị
PT ng trũn ngoi tip
D
ABC: xyxy
22
8317338
0
27927
+-+-=

Cõu 17. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(4;6) , phng trỡnh cỏc
ng thng cha ng cao v trung tuyn k t nh C ln lt l dxy
1
:2130-+= v
dxy
2
:613290-+=. Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC .

ã
ng cao CH : xy2130-+=, trung tuyn CM : xy613290-+= C(7;1)ị--
PT ng thng AB: xy2160+-=. MCMAB=ầ

6
72
ỡ
=-
ù
=
ớ
ù
=-
ợ
.
Suy ra PT ng trũn: xyxy
22
46720+-+-=.

Cõu 18. Trong mt phng to Oxy, cho tam giỏc ABC, cú im A(2; 3), trng tõm G(2; 0). Hai
nh B v C ln lt nm trờn hai ng thng dxy
1
:50 ++= v dxy
2
:270+=. Vit
phng trỡnh ng trũn cú tõm C v tip xỳc vi ng thng BG.

ã
Gi s BbbdCccd
12
(5;);(72;)--ẻ-ẻ.
Vỡ G l trng tõm
D
ABC nờn ta cú h:


Cõu 19. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(3;6)- , trc tõm H(2;1) ,
trng tõm G
47
;
33
ổử
ỗữ
ốứ
. Xỏc nh to cỏc nh B v C.

ã
Gi I l trung im ca BC. Ta cú AGAII
271
;
322
ổử
=ị
ỗữ
ốứ
uuuruur

ng thng BC qua I vuụng gúc vi AH cú phng trỡnh: xy30--=
Vỡ I l trung im ca BC nờn gi s
BB
Bxy(;) thỡ
BB
Cxy(7;1)-- v
BB
xy30--=.

tớch tam giỏc ABC.

ã
Do ABCH^ nờn phng trỡnh AB: xy10++= .
+ B = ABBNầ
ị
To im B l nghim ca h:
xy
xy
250
10
ỡ
++=
ớ
++=
ợ



x
y
4
3
ỡ
=-
ớ
=
ợ
ị
B(4;3)- .

ốứ
.
+ BC
22
139450
43
444
ổửổử
=-+++=
ỗữỗữ
ốứốứ
, dABC
22
7.11(2)25
(;)32
71
+-+
==
+
.
Suy ra:
ABC
SdABCBC
1145045
(;)..32..
2244
===

Cõu 21. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ABC
D

Â
(5; 1)

ị
Phng trỡnh BC: xy270+-=;
xy
CCEBCC
xy
870
:(7;0)
270
ỡ
+-=
=ầị
ớ
+-=
ợ
.

Cõu 22. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC cú nh A(3; 4). Phng trỡnh
ng trung trc cnh BC, ng trung tuyn xut phỏt t C ln lt l dxy
1
:10+-= v
dxy
2
:390--=. Tỡm ta cỏc nh B, C ca tam giỏc ABC.
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 33

ã


m 2=
ị
M(2;1)-

ị
Phng trỡnh BC: xy30--=. CBCdCB
2
(3;0)(1;2)=ầịị-.

Cõu 23. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A cú nh A(6; 6), ng
thng d i qua trung im ca cỏc cnh AB v AC cú phng trỡnh x + y
-
4 = 0. Tỡm ta
cỏc nh B v C, bit im E(1; -3) nm trờn ng cao i qua nh C ca tam giỏc ó cho.

ã
Gi H l chõn ng cao xut phỏt t A
ị
H i xng vi A qua d
ị
H(2;2)--

ị
PT ng thng BC: xy40++=. Gi s BmmBC(;4)--ẻ
ị
Cmm(4;)--

ị
CEmm, ABmm(5;3)(6;10)=+--=---

5
;2
2
ổử
ỗữ
ốứ
.
Gi s
t
CtBC
31
;()
2
ổử
-
ẻ
ỗữ
ốứ
. Ta cú
ABC
SdABCBCBCBC
1717
(;)..13
222
13
D
===
CM
13
2

: 2x 5y + 3 = 0 v
d
2
: x + y 5 = 0. Tỡm ta cỏc nh A v C ca tam giỏc ABC.

ã
Gi M l trung im AB thỡ M
ẻ
d
2
nờn Maa(;5)- . nh A
ẻ
d
1
nờn
b
Ab
53
;
2
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
M l trung im AB:
ABM
ABM
xxx
yyy

phng trỡnh cnh ABxy:230+-= v trng tõm G ca ABC
D
thuc ng thng
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 34

dxy:20+-=. Xỏc nh ta cỏc nh AB, ca tam giỏc.

ã
Gi Ixy(;) l trung im AB ,
GG
Gxy(;) l trng tõm ca
D
ABC

ị

G
G
x
x
CGCI
y
y
21
2
3
21
3
3

33
ỡ
+-=
ù
ị-
--
ớ
+-=
ù
ợ

Gi
AAAA
AB
AxyIAxy
2
222
5
(;)(5)(1)
24
ổử
ị=-++==
ỗữ
ốứ
.
Hn na AABxy:230ẻ+-= suy ra ta im A l nghim ca h:

( ) ( )
AAAA
AAAA

ỗữỗữ
ốứốứ
.

Cõu 27. Trong mt phng vi h to Oxy , tỡm to cỏc nh ca mt tam giỏc vuụng cõn, bit
nh C(3;1)- v phng trỡnh ca cnh huyn l dxy:320-+=.

ã
To im C khụng tho món phng trỡnh cnh huyn nờn
D
ABC vuụng cõn ti C. Gi I
l trung im ca AB . Phng trỡnh ng thng CI: xy30+=.
ICIAB=ầ
ị
I
31
;
55
ổử
-
ỗữ
ốứ

ị
AIBICI
72
5
===
Ta cú:
ABd




xy
xy
319
;
55
917
;
55
ộ
==
ờ
ờ
ờ
=-=-
ở

Vy to 2 nh cn tỡm l:
319917
;,;
5555
ổửổử
--
ỗữỗữ
ốứốứ
.

Cõu 28. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im C(2; 5) v ng thng D cú phng trỡnh:

2
D
==
ị
AB = 5.

a
a
ABa
a
2
2
63
4
5(42)25
0
2
ổử
-
ộ
=
=-+=
ỗữ
ờ
=
ở
ốứ
. Vy hai im cn tỡm l A(0; 1) v B(4; 4).

Cõu 29. Trong mt phng vi h trc ta Oxy cho tam giỏc ABC vi B(1;2)- ng cao