GV THỰC HIỆN : CAO LAM SƠN


ÔN TẬP CHƯƠNG III
I. Lý thuyết:
1) Nguyên hàm
2) Tích phân
3) Ứng dụng tích phân trong hình học


Nguyên hàm HS sơ cấp

dx = x + C
α

xα +1
+ C (α
=
α +1

−1)
x dx
dx
= ln x + C ( x 0)
xx
x
e dx = e + C
x
a
+ C ( 0 < a 1)
a x dx =

a
a u du =
+C(0 < a
ln a

cosudu = sin u + C
sinudu = −cosu + C
du
= tan u + C
2
cos u
du
= −cotu + C
2
sin u

1)


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

Bài 1: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

a)

( x + 1)

b) x

x

2 5/ 2 4 3/ 2
1/ 2
= x + x + 2x + C
5
3
2


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

b) x

x + 5dx

2

3

t = x +5
3

Đặt

�t = x +5
2

3

2
� 2tdt = 3 x dx � x dx = tdt

u = 2− x
�
�
dv = s inxdx
�

du = −dx
�
�
v = −cosx
�

(2
−
x
)
sin
xdx
=
−
(2
−
x
)
c
osx­
cos
xdx
�
�

1
1 1
1
�
= (
+
)
( x + 1)(2 − x) 3 x + 1 2 − x
.


ÔN TẬP: NGUYÊN HÀM

1
1 x +1
� F ( x) = (ln x + 1 − ln 2 − x ) + C = ln
+C
3
3 2−x
1 5
F (4) = 5 � ln + C = 5
3 2
1 5
� C = 5 − ln
3 2

1 1+ x
1 5
F ( x) = ln
+ 5 − ln

− ; �
.
thì ta đặt x = a sin t �
�
� �2 2�
�
β

Loại 2: Với các tích phân có dạng
α

β

dx
dx
hoặc
2
2
x2 + a2
(
ax
+
b
)
+
c
α

� �π π �
�

2

π
2

0

0

1. CMR: �
cos n xdx = �
sin n xdx

2. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

a

−a

0

f ( x)dx
�f ( x)dx = 2�

3. Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [-a ; a], a > 0 thì:
a

−a


f ( x)dx
�


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số

b

f (u ( x))u '( x)dx. Đặt t = u(x)

Đổi biến số dạng 2: Tích phân dạng:
a

Nhận xét: - Trong thực hành, ta có thể trình bày một cách thuận tiện
phép đổi biến số này mà không cần đưa ra biến t.
b

b

a

a

f (u ( x))u '( x)dx = �
f (u ( x))d (u ( x))
�
Ví dụ:

e

e
d
(sin
x
)
=
e
�
�

4

π
2 = e −1
0

4
4
dx
d ( x − 2)
=�
= ln x − 2 = ln 2 − ln1 = ln 2
�
3
x−2 3 x−2
3


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số

T�
nh:

sin 2 x cos3 xdx

0

2
2
sin
x
cos
x cos xdx =
�
0

π /4

2
2
sin
x
(1
−
sin
x) cos xdx.
�
0



Dạng 2:
a

Cách giải: Đặt u = lnx, dv = f(x)dx.
b

b

e x sin xdx, e x cos xdx. Tích phân hồi quy.

Dạng 3:
a

a

Cách giải: Đặt u = ex, dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx). Tích phân từng phần
2 lần.


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
2.Phương pháp tích phân từng phần
b
b b
udv = uv − �
vdu
�
a a
a
Ngoài ra ta còn gặp một số dạng tích phân sau:
b

x

1+ x

dx

xdx
b) I = 2
0 x + 3x + 2
c) I =

1
0

3x

x.e dx


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN

Đáp án:

a) 8/3

8
b) ln
9
2 3 1
c) e +

1

ln x
x

du =

�
�

1

dx = 2 x

1/ 2

= 2x

e
1

ln x |

1/ 2

2

e

2

1

2


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
3. Bài tập
Tính các tích phân sau:
1

3

dx

1)

4− x

0

π /2

3)

2

;

dx
2) 2

1


ÔN TẬP: TÍCH PHÂN
4. CỦNG CỐ
- Chú ý rèn luyện kĩ năng nhận dạng và vận dụng để tính tính phân.
- Đối với tích phân đổi biến khi tính toán cần chú ý điều gì?
- Đối với tích phân từng phần khi tính toán cần chú ý điều gì?

5. DẶN DÒ
- Về nhà xem và làm lại các bài tập trong SGK và sách bài tập.
- Ôn lại phần diện tích và thể tích, làm các bài tập trong SBT.