Đề 1. Biểu diễn rot, grad, div trong hệ tọa độ Đêcac và chứng minh rằng :
Rotgrad u = 0
Div rot
A
ur
= 0
Bài giải: Ta có: Grad
u
r
=
u u u
i j k
x y z
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
ur
r ur
Rot
A
ur
= =
Div
A
ur
= + +
1. Rot grad u =
=
i
y
∂

r ur
=
2 2 2 2 2 2
. . . . . .
u u u u u u
i j k
y z z y z x x z x y y x
     
     
     
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ur
r ur
= 0
2. Div rot
A
ur
=
A A
A A
A A
y y
x x
z z
x y z y z x z x y
   
 

Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm
Đề 2. Tính div
.I R
 
 
r ur
=? Trong đó
I
r
là vector không đổi,
R
ur
là bán kính vector.
Bài giải:
Ta có:
x y
z
I iI jI kI= + +
r r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
.
x y z
i j k
I R I I I
x y z

z y x z y x
∂ ∂ ∂
 
= − − − + −
 
∂ ∂ ∂
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − + − + − = ⇒
 
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
r ur
W
2
Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm
Đề 3. Tính
.div I R M
 
 
 
 
r ur uur
, Trong đó
I va M

x y z i yZ zM j xZ zM k xM yM
M M Z
 
 
= − − − + −
 
 
 
r r r
r r r
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
.
x y z
z y z x y x
y y x z z x
x y x z z y
x z x y z y
i j k
I R M I I I
yZ zM xZ zM xM yM
i I xM yM I xZ zM
j I xM yM I yZ zM
k I xZ zM I yZ zM

r
r
r
( )
.
2
2
y y z z x x x x z z y y
x x y y z z
div I R M I M I M I M I M I M I M
I M I M I M
IM
 
 
= + + + + +
 
 
= + +
= ⇒
r uuruur
W
Đề 4. Tính:
2
Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm
( )
{ }
.
R

( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
R R
R R R
R R R
R R
i zU yU
y z
i j k
rot U R j zU xU
x y z x z
xU yU zU
k yU xU
x y
U R U R
R R
i z y
R y R z
U R U R
R R
j z x
R x R z
U R
R
k y x

+ −

 
∂ ∂

 

∂ ∂
 
∂ ∂
−
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
∂ ∂
 
∂ ∂
= − −
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
∂
∂
+ −
∂ ∂
r
r r r
ur r
r
r

 
∂
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − − − + −
 
 
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
 
r r r
Mặc khác, ta có:
2 2 2 2
; ;
R x R y R z
R x y z
x R y R z R
 
∂ ∂ ∂
= + + ⇒ = = =
 
∂ ∂ ∂
 
2
Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm

 
∂ ∂
 
∂ ∂
 
−
−
 
∂ ∂


Từ (1) và (2), ta được:
( )
{ }
0
R
rot U R
= ⇒
ur
W
b. Ta có:
x y
z
I iI jI kI= + +
r r r r
và
R xi y j zk
= + +
ur r r r
( )

x z y z
x x y y z z
x y
i I y I x I z I x
y z
i j k
rot I R j I y I x I z I y
x y z x z
I z I y I z I x I y I x
k I z I x I z I y
x y
i I I j I I k I I
iI jI

 
∂ ∂
− − −

 
 
∂ ∂
 

 

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 
 
 

( )
2
z
kI I+ = ⇒
r r
W
2
Điện Động Lực Học | 12/17/2010
Sv: Đinh Văn Đô
AGU-Khoa sư phạm
Đề 5. Tính:
3
PR
grad
R
urur
Trong đó:
P
ur
là vector không đổi

R
ur
là bán kính vector.
Bài giải:
Ta có:
( )
3
3 2 2 2
2

2
3
.2
2
3
.2
2
x y z x y z x y z
x x y z
y x y z
z x y z
xP yP zP xP yP zP xP yP zP
PR
grad i j k
R x y z
x y z x y z x y z
P R xP yP zP R x
i
R
P R xP yP zP R y
j
R
P R xP yP zP R
k
     
+ + + + + +
∂ ∂ ∂
     
⇒ = + +
     

R R













+ +
= + + −
= − ⇒
urur r r r
r r r
urur
ur
ur
W

Đề 6: Tính thông lượng của bán
kính vector
R
ur
qua một mặt trụ có
bán kính a và chiều cao h,

Rd S dV a h
π
⇒ = = ⇒
∫ ∫
ur ur
W
Ñ
b. Tính trực tiếp:
( )
1 2 3
1
S S S S
RdS Rd S RdS Rd S
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
ur ur ur ur ur ur ur ur
Ñ
( )
( )
1 1
2 2
3
3
2
1 1
1
2
2 2
2
cos




= ⊥
∫



= =
∫



= = =
∫





ur ur
ur ur
ur ur ur ur
#
Từ (1) và (2), ta được:
2
3
S
RdS a h
π

O
lần lượt là
1
A
và
2
A
. Tính
các điện tích
1
e
và
2
e
Bài giải:
- Xét vành
1
O
:
Thế vô hướng tại
1
O
gây bởi 2 vành điện tích
1
e
và
2
e
với khoảng cách R và
2 2

∞ ∞

=


= = ⇒
∫ ∫


=

+

ur r
Theo nguyên lý chồng chất điện trường ta có:
- Thế vông hướng tại O1 do
1
e
và
2
e
gây ra là: