1
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Đinh Văn Đô Lớp: DH9L
Đề 1. Biểu diễn rot, grad, div trong hệ tọa độ Đêcac và chứng minh rằng :
Rotgrad u = 0
Div rot
A
ur
= 0
Bài giải: Ta có: Grad
u
r
=
u u u
i j k
x y z
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
ur
r ur
Rot
A
ur
= =
Đại học an giang
1
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học

   
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂
   
 
∂ ∂ ∂
− − −
∂ ∂ ∂
ur
r ur
=
2 2 2 2 2 2
. . . . . .
u u u u u u
i j k
y z z y z x x z x y y x
     
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ur
r ur
= 0
2. Div rot
A
ur

x x
z z
x y x z y z y z z x z y
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
− + − + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= 0
Đề 2. Tính div
.I R
 
 
r ur
=? Trong đó
I
r
là vector không đổi,
R
ur
là bán kính vector.
Bài giải:
Ta có:
x y
z
I iI jI kI= + +
r r r r
và
R xi y j zk
= + +

( )
( )
( )
.
0
y z x z x y
x y z
div I R I z I y I z I x I y I x
x y z
y z z x x y
I I I
z y x z y x
∂ ∂ ∂
 
= − − − + −
 
∂ ∂ ∂
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − + − + − = ⇒
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
r ur
W
Đề 3. Tính
.div I R M

=
( )
( )
( )
z y z x y x
x y z
i j k
x y z i yZ zM j xZ zM k xM yM
M M Z
 
 ÷
= − − − + −
 ÷
 ÷
 
r r r
r r r
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
.
x y z
z y z x y x
y y x z z x
x y x z z y

 
+ − − −

 

r r r
r uuruur
r
r
r
Đại học an giang
1
Long Xuyên, 03/02/2011
Điện động lực học
Đinh Văn Đô Lớp: DH9L
( )
.
2
2
y y z z x x x x z z y y
x x y y z z
div I R M I M I M I M I M I M I M
I M I M I M
IM
 
 
= + + + + +
 
 
= + +

U R U xi y j zk= + +
ur r r r
( )
{ }
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
R R
R R R
R R R
R R
i zU yU
y z
i j k
rot U R j zU xU
x y z x z
xU yU zU

⇒ = = − −

 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 

 ÷

 ÷
 
∂ ∂
 
+ −

 
∂ ∂

 

∂ ∂
 
∂ ∂
−
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
∂ ∂
 
∂ ∂





∂
 
∂

 
∂ ∂

 

 
∂
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − − − + −
 
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
 
r r r
Mặc khác, ta có:
2 2 2 2
; ;

−


∂ ∂


∂ ∂
 
⇒ − = −
 
∂ ∂
 
∂ ∂
 
−
−
 
∂ ∂


Từ (1) và (2), ta được:
( )
{ }
0
R
rot U R
= ⇒
ur
W
b. Ta có:

r ur r r r

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
x y x z
x y y z
y z x z x y
x z y z
x x y y z z
x y
i I y I x I z I x
y z
i j k
rot I R j I y I x I z I y
x y z x z
I z I y I z I x I y I x
k I z I x I z I y
x y
i I I j I I k I I
iI jI

 
∂ ∂


 
∂ ∂

 

= + + + + +
= +
r
r r r
rur r
r
r r r
r r
( )
2
z
kI I+ = ⇒
r r
W
Đề 5. Tính:
3
PR
grad
R
urur
Trong đó:
P
ur
là vector không đổi

3 3 3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
6
3
6
3
3
.2
2
3
.2
2
3
.2
2
x y z x y z x y z
x x y z
y x y z
z x y z
xP yP zP xP yP zP xP yP zP
PR
grad i j k
R x y z
x y z x y z x y z
P R xP yP zP R x
i
R

1
3
x y z
z
R
PR xi y j zk
iP jP kP
R R
PR
P
R
R R













+ +
= + + −
= − ⇒
urur r r r
r r r

R
R R
R xi y j zk div R
x y z
∂
∂ ∂
= + + ⇒ = + +
∂ ∂ ∂
ur r r r ur
2
3 3
S V
Rd S dV a h
π
⇒ = = ⇒
∫ ∫
ur ur
W
Ñ
b. Tính trực tiếp:
( )
1 2 3
1
S S S S
Rd S RdS RdS RdS
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
ur ur ur ur ur ur ur ur
Ñ
( )

ϕ
ϕ
π
π

=
∫ ∫



=
∫ ∫



= ⊥
∫



= =
∫



= = =
∫


