Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê I.1
CHƯƠNG 1
KHÁI NIỆM CƠ BẢN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Nội dung

Phép thử và biến cố, các loại biến cố và quan hệ giữa các biến cố.

Xác suất (quan điểm cổ điển, thống kê, hình học ).

Các cơng thức tính xác suất:
• Cơng thức cộng xác suất.
• Xác suất có điều kiện và cơng thức nhân xác suất.
• Cơng thức xác suất đầy đủ và cơng thức Bayes.
• Cơng thức Bernoulli.

1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ – CÁC LOẠI BIẾN CỐ
1.1. P
HÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

1.1.1. H
AI VÍ DỤ KINH ĐIỂN

Ví dụ 1.1.
Tung đồng xu hai mặt (sấp, ngửa) cân đối, đồng chất trên mặt phẳng nằm ngang –
đó là một phép thử. Vài kết cục có thể hoặc khơng thể xảy ra:
• Mặt sấp xuất hiện.
• Mặt ngửa xuất hiện.
• Hoặc mặt sấp, hoặc mặt ngửa xuất hiện.
• Khơng mặt nào xuất hiện.

1.2.1. B
IẾN CỐ CHẮC CHẮN

Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định phải xẩy ra sau khi thực hiện xong phép
thử. Ta thường ký hiệu biến cố chắc chắn là U.
1.2.2. B
IẾN CỐ KHÔNG THỂ CÓ

Biến cố khơng thể có là biến cố khơng thể xảy ra khi phép thử được thực hiện.
Biến cố khơng thể có được ký hiệu là ∅.
1.2.3. B
IẾN CỐ NGẪU NHIÊN

Biến cố ngẫu nhiên (BCNN) là biến cố có thể xảy ra, cũng có thể khơng xẩy ra
khi thực hiện xong phép thử; Trước khi phép thử được thực hiện, ta chỉ có thể dự đốn
nhưng khơng thể khẳng định chắc chắn về sự xẩy ra hay khơng xẩy ra của biến cố đó.
Biến cố ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các mẫu tự in hoa A, B, C…
Ví dụ 1.3.
• Bóc ngẫu nhiên 1 tờ lịch trong năm – đó là một phép thử.
Biến cố “bóc được tờ lịch ngày 30 tháng 2” là biến cố khơng thể có. Biến
cố “bóc được tờ lịch ghi ngày 14 tháng 2” là biến cố ngẫu nhiên. Biến cố
“bóc được tờ lịch ghi một trong các tháng 1, 2, 3, … , 12” là biến cố chắc
chắn.
• Một người mua một tờ vé số - đó là một phép thử. Các biến cố vé số đó
trúng độc đắc, trúng giải nhất, trúng giải nhì, trúng giải ba, trúng giải
khuyến khích, khơng trúng giải nào là những biến cố ngẫu nhiên. Biến cố
vé số đó hoặc trúng giải, hoặc khơng trúng giải là biến cố chắc chắn. Biến
cố vé số đó vừa trúng giải nhất vừa khơng trúng giải nào là biến cố khơng
thể có.
Ví dụ 1.4.

+ A
2
+ … + A
n
(hay
1
n
i
i
A
=
U
), là một biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một biến cố A
i
nào
đó ( i∈{1, 2, … , n}) xảy ra sau khi phép thử được thực hiện. Như vậy
(
1
n
i
i
A
=
∑
xẩy ra) ⇔ ( Hoặc A
1
xẩy ra, hoặc A
2
xẩy ra, …, hoặc A
n

i
i
A
=
I
), là
biến cố mà xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố A
i
đều xảy ra sau khi phép
thử được thực hiện.
(
n
i
in
A
=
∏
xẩy ra) ⇔ (A
1
xẩy ra, A
2
xẩy ra, … và A
n
xảy ra).
2.3. B
IẾN
C
Ố
X
UNG

= ∅
⎪
⎩

Nói riêng, hai biến cố đối lập thì xung khắc. Ngược lại nói chung là sai.
Ví dụ 1.5.
Một sinh viên thi hai mơn Tốn cao cấp và Kinh tế lượng. Gọi T là biến cố sinh
viên đó đậu mơn Tốn cao cấp, K là biến cố sinh viên đó đậu mơn Kinh tế lượng. Hãy
biểu diễn các biến cố sau qua T, K:
a) Sinh viên đó đậu ít nhất một mơn.
b) Sinh viên đó đậu cả hai mơn.
c) Sinh viên đó bị trượt mơn Tốn cao cấp.
d) Sinh viên đó bị trượt cả hai mơn.
e) Sinh viên đó chỉ đậu mơn Kinh tế lượng.
I.3
Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
f) Sinh viên đó chỉ đậu một mơn.
g) Sinh viên đó đậu khơng q một mơn.
Giải
Gọi các biến cố trong các câu a, b, c, d, e, f, g lần lượt là A, B, C, D, E, F, G. Ta có
a) A = T + K (= T
K
+
T
K + TK) ; b) B = TK ; c)
T
(=
T
K +

K
HÔNG
G
IAN CÁC BIẾN CỐ SƠ CẤP
–

N
HÓM
Đ
ẦY
Đ
Ủ
C
ÁC
B
IẾN
C
Ố

• Biến cố sơ cấp là biến cố khơng thể phân tích được qua các biến cố nào khác
∅

và khác chính nó. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử được gọi
là khơng gian mẫu. Khơng gian mẫu thường được ký hiệu là Ω. Cũng có khi
dùng chính ký hiệu U của biến cố chắc chắn để ký hiệu.
• Tập hợp n biến cố (n ≥ 2) A
1
, A
2
,…,A

• C là biến cố mặt chẵn chấm xuất hiện.
• L là biến cố mặt lẻ chấm xuất hiện.
Khi đó , , , , , là tất cả các biến cố sơ cấp. Khơng gian các biến cố
sơ cấp là .
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
{}
654321
,,,,, AAAAAA=Ω
Các biến cố C, L khơng là biến cố sơ cấp vì:
246
135
;
.
CAAA
LAA A
=++
⎧
⎨
=++

2
, … , A
n
độc lập với A
1
A
2
…A
n-1
.
I.4
Chương 1: Lý Thuyết Xác Suất PGS-TS. Lê Anh Vũ
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
Ví dụ 1.7.
Hai sinh viên Lan và Tuấn cùng đi thi mơn Kinh tế lượng. Gọi L, T lần lượt là
biến cố Lan, Tuấn đậu. Rõ ràng L và T độc lập với nhau.
Chú ý
Hai biến cố đối lập thì khơng thể độc lập vì sự xẩy ra của biến cố này đã phủ định
sự xẩy ra của biến cố kia.
2.6. V
ÀI
T
ÍNH
C
HẤT
C
ỦA
C
ÁC
P

AAA =+
;
AAA =.
;
( )
AA = .
5) Luật DeMorgan:
•
nn
AAAAAA LL
2121
.=+++
.
•
12 1 2
... ...
nn
A AA A A A=+++
.
3. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
3.1. N
HẬN XÉT
–
Ý NGHĨA CỦA XÁC SUẤT


Các biến cố ngẫu nhiên có đặc điểm chung là có thể xẩy ra, có thể khơng
xẩy ra sau khi thực hiện phép thử. Khi phép thử chưa thực hiện xong ta
khơng thể biết chắc chắn là biến cố ngẫu nhiên mà ta quan tâm có xẩy ra
hay khơng. Tuy nhiên dường như ta vẫn trực cảm được rằng biến cố này