
CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN
A./ C Ơ SỞ LÝ THUYẾT :
 !"#$%&'!(
)dx C=
∫
*) +,
-
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
dx x C= +
∫
.! !/xdx x C= +
∫
+
* +,
+
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+

ba 2
thì tích phân của f(x) trên đoạn
[ ]
ba 2

được xác đònh bởi:
∫
b
a
dxxf ,3*
= F(x)
a
b
= F(b) - F(a) (1) .
Chú ý : Tích phân
∫
b
a
dxxf ,3*
chỉ phụ thuộc vào f , a , b mà không phụ thuộc vào các kí hiệu biến số tích
phân, vì vậy mà ta có thể viết :
∫
b
a
dxxf ,3*
=
∫
b
a
dttf ,3*

a
dxxf ,*
( k là hằng số )

[ ]
∫
±
b
a
dxxgxf ,*,*
=
∫
b
a
dxxf ,*

±

∫
b
a
dxxg ,*
;
∫
b
a
dxxf ,*
=
∫
c

g(x)
∀
x
[ ]
ba 2
∈
thì
∫
b
a
dxxf ,*

≥

∫
b
a
dxxg ,*

Ta luôn có :
∫
b
a
dxxf ,*

≤

∫
b
a

a
b
= F(b) - F(a)
VẤN ĐỀ 2 : CÁCH VIẾT VI PHÂN HOÁ TRONG TÍCH PHÂN
1

I./ Phương pháp :
Ta đã biết 4#5#67/'8: df(x) = f’(x).dx
Do đó muốn tìm tích phân : I =
[ ]
dxxhxgf 3,*9,*
∫
, ta có thể làm theo các bước sau:
+/ Tìm hàm u(x) nào đó mà đạo hàm của u(x) sè có mặt trong các hàm
[ ]
,*9,* xhxgf

+/ Sau đó xem u(x) là biến số tích phân (khi đó x không còn là biến số nửa ) .
Tìm tích phân mới theo biến số mới.
II/ Bài tập áp dụng:
Câu 1 : Tìm các tích phân sau: a/
∫
dxxx 3!/3.!
:
b/
∫
−
;
0
0x

+ C b/ (1/cosx) + C c/ 2.
x
e
+ C .
BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUN HÀM CƠ BẢN
+3
+
<
)
* +,x x dx+ +
∫
2.
0
0
+
+ +
* ,
e
x x dx
x x
+ + +
∫
2.
<
+
0x dx−
∫
3.
0
+

8.
0
<
+
*<!/ 0 ,x cosx dx
x
π
π
+ +
∫
9.
+
0
)
* +,
x
e x dx+ +
∫
10.
0
0
<
+
* ,x x x x dx+ +
∫
11.
0
+
* +,* +,x x x dx− + +
∫

2
dx
x 2+ + −
∫
16.
0
0
+
= + >=
= = =
( ).
ln
+
+
∫
17.
0
<
<
;
= >=
=
cos .
sin
π
π
∫
18.
A
0

∫
21.
0
0
+
>=
A= B=+
∫
22.
<
= =
)
>=
? ?
ln
.
−
+
∫
22.
0
)
>=
+ =sin
π
+
∫
VẤN ĐỀ 3 : TÌM TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ( DẠNG ĐƠN GIẢN )
I./ Phương pháp :
2

b
a
dttf
ϕ
ϕ
là tích phân cần tìm.
II/ Bài tập áp dụng :
Câu 1 : Tìm các tích phân sau :
a/
∫
−
A
A
3
π
π
dxtgx
b/
( )
dx
x
x
e
3
+-0
+
0
∫
+
c/

e
x
dx
+
b/
∫
−
+
dx
xx
xx
3
.!!/0
.!0!/
c/
∫
+
+
dx
x
x
3
+
+
A

ĐSỐ : a/ 1 b/ ln
xx .!!/0
−
+ C c/ .......

x
x
ĐSỐ : a/
<
0
+
x
+ C b/ (1/2).tg
2
x + C c/ 1/6 .
Câu 3 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
A
)
A
.!
π
x
dx
b/
∫
x
dx
!/
c/
( )
∫
+
0))B
+

<
0
HD : a/ 2
( )
<
A<
+
x
+ ...b/ (2/3).
x<0:
+
+ C c/ (1/2).x
2
– 2x + ln
+
+
x
+ C
Câu 5 : Tìm các tích phân sau :
a/
( )
∫
+
dxbax
m
, ( m
+
≠
, a
)

dxex
x
b/
∫
+
e
x
dxx
+
,3-0*
c/
∫
A
)
0
3
.!
π
dx
x
e
tgx
3

Câu 7 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
<
)
<
.!

+
−
+
)
0
3
<
<
-
D
+
dx
x
x
x
b/
∫
+
0
-+
e
e
xx
dx
c/
( )
∫
−
+
)

dxx
c/
∫
0
-3
e
e
xx
dx
ĐSỐ : a/ (1/3e).(e
2
- 1) b/ (4/3).(
0
- 1) c/ ln2 .
ĐSỐ : a/ 2(
0<
−
) b/ (1/2).(ln2)
2
c/ - 7/2 .
Câu 10 : Tìm các tích phân sau :
a/
∫
+
dxebea
xmx
3,3*
,(a
≠
0 ,m

.!
.!3!/3<A
A
A
0
0
∫
−
−
π
π
HD : a/ Đặt t = ... b/ 5 c/ .......... d/ Đặt ... f/ 8 .
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
4#5#6'8#E'F
* ,7C*=, = * , * , * , C* ,
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
hay
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a

 
 
 
∫
&#
* , C* ,
!/ !/
.!
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= =
 
 
   
 
⇒
 
   
= =
 
   
 
   
   
 
∫
GDa

∫
GDa
̣
ng 3:
!/
3
 
 
 
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α

J
K
>
I
#J
K
(
K
#J
K
'8!(
4


NL
<
B
A <
0
* +,
x dx
x

MH
I
#
:
<
A <
* +,
u x
x dx
dv
x

=


=



L
+ + + +

'M4
R
/N/
K
!4
K
J
K
O
0
S
+
0
0 0
)
*+ ,
x dx
x+

NH
P
'$Q'(
K
'#$
P
'8
P
MH
I
#


; +) R(x,
00
xa

) Đặt x =
ta !/
hoặc x =
ta .!
+) R(x,
n
dcx
bax
+
+
) Đặt t =
n
dcx
bax
+
+
; +) R(x, f(x)) =

+++
xxbax
0
,*
+
Với (



) Đặt x =
x
a
.!
, t
V
0
WXT2)U



+) R
( )
+ 0 /

= = =; ;...;
Gọi k = BCNH(n
1
; n
2
; ...; n
i
) Đặt x = t
k

VAN ẹE 6: MT S TCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:

+=


+
+
+
+
0
A
+
!/
dx
x
xx
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:


a
a
dxxf ,*
= 0.
Ví dụ: Tính:


++
+
+
0
,+-* dxxx


++