Chuyên đề
TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thường gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Cxdx
+=
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx
( )
0ln

+=
∫
tan
cos
1
2
Cxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd
++=+
∫
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
≠+
+

Cbax
a
dxbax
++=+
∫
sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax
++−=+
∫
cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+
∫
tan
1
cos
1

α
C
u
duu
( )
0ln
≠+=
∫
uCu
u
du
Cedue
uu
+=
∫
( )
10
ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu
+=
∫
sincos

Bước 1. Đặt t = u(x) và tính
/
dt u (x)dx=
.
Bước 2. Đổi cận:
x a t u(a) , x b t u(b)= Þ = = a = Þ = = b
.
Bước 3.
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ò ò
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
xlnx
=
ò
.
Giải
Đặt
dx

1
Hướng dẫn:
4 4
3 3 2
0 0
cosx 1 dx
I dx .
(sinx cosx) (tanx 1) cos x
p p
= =
+ +
ò ò
. Đặt
t tanx 1= +
ĐS:
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò

(t 1)
-
= Þ
+
+
ò
L
; đặt
t tanu= L
ĐS:
I 3 2
3
p
= - +
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x= +
sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1

2
0
1
I dx
1 x
=
-
ò
.
Giải
Đặt
x sin t, t ; dx costdt
2 2
p p
é ù
= Î - Þ =
ê ú
ë û
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= Þ = = Þ =
6 6
2
0 0
cost cost
I dt dt
cost
1 sin t

Hướng dẫn:
Đặt
x 2sint=
ĐS:
I = p
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
1
2
0
dx
I
1 x
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x tant, t ; dx (tan x 1)dt
2 2
æ ö
p p
÷
ç
= Î - Þ = +
÷
ç
÷

0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.
Hướng dẫn:
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ò ò
.
Đặt
x 1 tan t+ =
ĐS:
I
12
p
=
.
Ví dụ 5. Tính tích phân

12
p
=
.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2 3
0
I cos xsin xdx
p
=
ò
.
Hướng dẫn:
Đặt
t cosx=
ĐS:
2
I
15
=
.
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p

= =
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx cos2xsin 2xdx
16 4
p p
= - +
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx sin 2xd(sin2x)
16 8
p p
= - +
ò ò
3
2
0
x 1 sin 2x
sin4x
16 64 24 32
p
æ ö
p
÷

=
.
ĐS:
I ln2=
.
Biểu diễn các hàm số LG theo
tan
2
a
t =
:
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t
−
= = =
+ + −
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
0
xdx
I
sinx 1
p
=

( )
( )
2
2
0 0
dt dt
t
t t
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
p p
p p
= =
p
-
+
ò ò
2
0
0
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4

÷
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy
I = p
.
Tổng quát:
0 0
xf(sin x)dx f(sinx)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò

2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
= =
+
ũ
(1).
Mt khỏc
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ũ
(2). T (1) v (2) suy ra
I
4
p
=
.
Tng quỏt:
2 2
n n

sinx 3cosx
p
=
+
ũ
.
Gii
I 3J 1 3- = -
(1).
( )
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sinx 3cosx
sin x
3
p p
+ = =
p
+
+
ũ ũ
t
t x dt dx
3
p
= + ị =


p
= ị = = ị =
(
)
4 4
2
2
0 0
ln(1 tan t)
I 1 tan t dt ln(1 tant)dt
1 tan t
p p
+
ị = + = +
+
ũ ũ
.
t
t u dt du
4
p
= - ị = -
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= ị = = ị =
0
4
0
4

ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+ +
ũ ũ
5
( )
4 4
0 0
ln2du ln 1 tanu du ln2 I
4
p p
p
= - + = -
ò ò
.
Vậy
I ln2
8
p
=
.
Ví dụ 19. Tính tích phân
4
x
4
cosx

0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
a a
- a
=
+
ò ò
.
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên
¡
và thỏa
f( x) 2f(x) cosx- + =
.
Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ò
.
Giải
Đặt
2
2
J f( x)dx

Vậy
2
I
3
=
.
3.3. Các kết quả cần nhớ
i/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)
lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a
a
f(x)dx 0
-
=
ò
.
ii/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
-
=
ò ò

ợ
ũ ũ
neỏu n leỷ
neỏu n chaỹn
.
Trong ú
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = =
6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = =
.
Vớ d 21.
2
11
0
10!! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
= = =
ũ
.
Vớ d 22.
2
10
0
9!! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10!! 2 2.4.6.8.10 2 512
p
p p p

ũ ũ
(1).
Cụng thc (1) cũn c vit di dng:
b b
b
/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= -
ũ ũ
(2).
2. Phng phỏp gii toỏn
Gi s cn tớnh tớch phõn
b
a
f(x)g(x)dx
ũ
ta thc hin
Cỏch 1.
Bc 1. t
u f(x), dv g(x)dx= =
(hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm
v(x)
v vi phõn
/
du u (x)dx=
khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn
b
a
vdu