Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài giảng môn
học Toán B1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
1. Ma trận

Bài giảng môn học Toán B1
Nguyễn Anh Thi

2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình
tuyến tính
4. Ma trận khả
nghòch

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh

5. Phương trình ma
trận

2015

4. Ma trận khả
nghòch
5. Phương trình ma
trận

Nguyễn Anh Thi

Bài giảng môn học Toán B1


Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài giảng môn
học Toán B1

Nội dung

Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
1. Ma trận
2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình


1.
2.
3.
4.
5.

Ma trận
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận khả nghòch
Phương trình ma trận

1. Ma trận

Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
1. Ma trận
2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình
tuyến tính

1.1. Đònh nghóa và ký hiệu.

nghòch
5. Phương trình ma
trận

Ma trận
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận khả nghòch
Phương trình ma trận

1.1. Đònh nghóa và ký hiệu

Nguyễn Anh
Thi
Nội dung

1.
2.
3.
4.
5.

Đònh nghóa
Một ma trận loại m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m
dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
1. Ma trận
2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình
tuyến tính

aij là hệ số ở dòng i, cột j của ma trận A (hệ số này còn được
ký hiệu là Aij ).
Ký hiệu Mm×n (R) là tập hợp tất cả những ma trận loại m × n
trên R.

Ví dụ

4. Ma trận khả
nghòch
5. Phương trình ma
trận

A=

1 2 3
0 1 2

1.1. Đònh nghóa và ký hiệu

Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
1. Ma trận
2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình
tuyến tính
4. Ma trận khả
nghòch
5. Phương trình ma
trận

Ma trận có các hệ số bằng 0, được gọi là ma trận không, ký
hiệu 0m×n (hay 0).

Ví dụ 
03×4


0 0 0 0
= 0 0 0 0
0 0 0 0

TRẬN VÀ HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
1. Ma trận
2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình
tuyến tính
4. Ma trận khả
nghòch
5. Phương trình ma
trận

Đònh nghóa
Ma trận vuông cấp n là một ma trận loại n × n, (số dòng bằng
số cột). Ký hiệu Mn (R) là tập hợp các ma trận vuông cấp n.

Ví dụ





1 2 3
0 0 0
A ∈ M3 (R) = 4 5 6, 03×3 = 0 0 0
7 8 9
0 0 0


3.
4.
5.

Ma trận
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận khả nghòch
Phương trình ma trận

1.2. Ma trận vuông
Đònh nghóa
Nếu A = (aij ) ∈ Mn×n (R) thì đường chứa các phần tử
a11 , a22 , ..., ann được gọi là đường chéo chính hay đường chéo
của A.


a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n 

A=
. . . . . . . . . . . . 
an1 an2 . . . ann

Ví dụ


1 2 3
A = 4 5 6
7 8 9

Nguyễn Anh
Thi
Nội dung

1.
2.
3.
4.
5.

Đònh nghóa
Một ma trận chéo cấp n là một ma trận vuông cấp n mà tất cả
các hệ số nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Nếu A là
một ma trận chéo cấp n, ta ký hiệu A = diag(a11 , a22 , ..., ann ).

Ví dụ

4. Ma trận khả
nghòch
5. Phương trình ma
trận




1 0 0
A = diag(1, 5, 9) = 0 5 0
0 0 9

Nguyễn Anh Thi

3.
4.
5.

Đònh nghóa
Ma trận đơn vò cấp n, ký hiệu In hay I, là ma trận chéo cấp n
mà tất cả các hệ số nằm trên đường chéo chính đều bằng 1.

1. Ma trận
2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng

Ví dụ

3. Hệ phương trình
tuyến tính
4. Ma trận khả
nghòch
5. Phương trình ma
trận



1 0 0
I3 = 0 1 0
0 0 1

Nguyễn Anh Thi

Bài giảng môn học Toán B1

1. Ma trận
2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình
tuyến tính
4. Ma trận khả
nghòch
5. Phương trình ma
trận

Đònh nghóa
Ma trận tam giác trên (tương ứng ma trận tam giác dưới) là
một ma trận vuông mà tất cả các hệ số nằm phía dưới (tương
ứng phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. Như vậy,
• A = (aij )n×n là ma trận tam giác trên khi và chỉ khi

aij = 0, ∀1 ≤ j < i ≤ n.
• B = (bij )n×n là ma trận tam giác dưới khi và chỉ khi

bij = 0, ∀1 ≤ i < j ≤ n.

Nguyễn Anh Thi

Bài giảng môn học Toán B1


Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài giảng môn

nghòch
5. Phương trình ma
trận

Nhận xét
Ma trận vuông A là ma trận đường chéo khi và chỉ khi A vừa
là ma trận tam giác trên vừa là ma trận tam giác dưới.

Ví dụ




1 2 3
1 0 0
A = 0 5 6, B = 4 5 0
0 0 9
7 8 9

Nguyễn Anh Thi

Bài giảng môn học Toán B1


Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài giảng môn
học Toán B1


sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình
tuyến tính
4. Ma trận khả
nghòch
5. Phương trình ma
trận

Ví dụ
Tìm x, y, z để
x+1 1
2x − 1 z

Nguyễn Anh Thi

=

3y − 4
1
y − 1 2z + 2

Bài giảng môn học Toán B1


Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài giảng môn
học Toán B1
Nguyễn Anh

Đònh nghóa (phép lấy chuyển vò)
Cho A = (aij ) là một ma trận loại m × n. Ta gọi ma trận
chuyển vò của A, ký hiệu AT , là ma trận loại n × m, có được từ
A bằng cách xếp cá
c dòng của A thành cá
c cột tương ứng,
a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 

nghóa là nếu A = 
 . . . . . . . . . . . .  thì
am1 am2 . . . amn


a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2 

AT = 
. . . . . . . . . . . . .
a1n a2n . . . amn
Nguyễn Anh Thi

Bài giảng môn học Toán B1


Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài giảng môn
học Toán B1

5. Phương trình ma
trận

Nếu AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. Nếu AT = −A thì
nói A là ma trận phản xứng.

Tính chất
Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó
• (AT )T = A;
• AT = BT ⇔ A = B.

Nguyễn Anh Thi

Bài giảng môn học Toán B1


Nội dung
Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài giảng môn
học Toán B1

Chương 1: MA
TRẬN VÀ HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
1. Ma trận
2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng

0
1 −1
4 5

−8
4
−1
0 1  ta có AT = 
Với A =  6 −8
 4
0 −3
0
4 −3 6
1
6
5


1 2 −2
5  là ma trận đối xứng.
B= 2 4
−2 5
6


0 −2
1
0 −3  là ma trận phản xứng.
C= 2
−1

Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận khả nghòch
Phương trình ma trận

1.3. Các phép toán ma trận

Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
1. Ma trận
2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình
tuyến tính
4. Ma trận khả
nghòch
5. Phương trình ma
trận

Đònh nghóa (Phép nhân vô hướng với ma trận)
Cho ma trận A = (aij ) và số thực α ∈ R. Ta đònh nghóa αA là
ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α,
nghóa là
αA = (αaij )
Ma trận (−1)A được ký hiệu là −A, được gọi là ma trận đối
của A.


Phương trình ma trận

1.3. Các phép toán ma trận

Nguyễn Anh
Thi
Nội dung

1.
2.
3.
4.
5.

Ví dụ
Cho A =
−A =

3
0
−3
0

4
1
, ta có 2A =
1 −3
−4 −1
.
−1

Đònh nghóa (Phép cộng ma trận)
Cho A, B ∈ Mm×n (R). Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B,
là ma trận được xác đònh bởi:

1. Ma trận

A + B = (aij + bij )m×n .

2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình
tuyến tính
4. Ma trận khả
nghòch
5. Phương trình ma
trận

Ma trận
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận khả nghòch
Phương trình ma trận

1.3. Các phép toán ma trận

Nguyễn Anh
Thi
Nội dung

1.

học Toán B1

1.
2.
3.
4.
5.

Ma trận
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận khả nghòch
Phương trình ma trận

1.3. Các phép toán ma trận

Nguyễn Anh
Thi

Tính chất
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH

Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có
i. A + B = B + A;
ii. (A + B) + C = A + (B + C);

3.
4.
5.

Ma trận
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận khả nghòch
Phương trình ma trận

1.3. Các phép toán ma trận

Nguyễn Anh
Thi
Nội dung

Đònh nghóa (phép nhân ma trận)

Chương 1: MA
TRẬN VÀ HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH

Cho hai ma trận A = (aij ) loại m × n và B = (bij ) loại n × p.
Ta đònh nghóa tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB, là
ma trận đònh bởi:

1. Ma trận
2. Các phép biến đổi

4.
5.

Ma trận
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận khả nghòch
Phương trình ma trận

Bài giảng môn
học Toán B1
Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH
1. Ma trận
2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình
tuyến tính
4. Ma trận khả
nghòch

Ví dụ

5. Phương trình ma

Nguyễn Anh
Thi
Nội dung
Chương 1: MA
TRẬN VÀ HỆ
PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH

1.
2.
3.
4.
5.

Ma trận
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận khả nghòch
Phương trình ma trận

1.3. Các phép toán ma trận
Tính chất
Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R),
D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có
• Im A = A và AIn = A. Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có

1. Ma trận
2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng

PHƯƠNG
TRÌNH
TUYẾN TÍNH

1.
2.
3.
4.
5.

Ma trận
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận khả nghòch
Phương trình ma trận

1.3. Các phép toán ma trận
• Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp, nghóa là

(AB)C = A(BC).

1. Ma trận
2. Các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng
3. Hệ phương trình
tuyến tính

• Phép nhân ma trận có tính chất phân phối đối với phép

cộng , nghóa là