SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM 2019
Môn: Toán.
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề).
Ngày thi: 22/09/2019.

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)

x +1
có đồ thị ( C ) .
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) .

Câu 1. (4 điểm) Cho hàm =
số y f=
( x)

b) Tìm hai điểm A, B thuộc về hai nhánh của đồ thị ( C ) sao cho AB ngắn nhất.

Câu 2. (6 điểm)
a) Giải phương trình: ( sin 2 x + cos 2 x ) cos x + 2 cos 2 x − sin x =
0.

2 xy 2 − y − y 2 + 1 + 2 xy 2 4 x 2 + 1 =
0
b) Giải hệ phương trình: 
3

+
>
 + 2
b+c 2  a+c
a+b 
a
2
Câu 6. (1 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định bởi

1; u=
2020; un +=
u=
1
2
1

1 1 1
1
Tính lim  + + + ... +  .
n →+∞ u
un 
 1 u2 u3

2019un  2019 
+ 1 +
 un −1 , ∀n ≥ 2
n
n −1 




( x − 1)

2

< 0 , ∀x ≠ 1 . Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .

+) y′ không xác định tại x = 1 .
+) lim y = 1 nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x →±∞

+) lim− y = −∞ ; lim+ y = +∞ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x →1

x →1

+) Đồ thị

 x +1

x +1 
b) Giả sử A  x1; 1  ; B  x2 ; 2  , với x1 < 1 < x2 .
x2 − 1 
 x1 − 1 

Đặt x1 = 1 − a ; x2 = 1 + b với a, b > 0 .

( x2 − x1 )
( a + b)
2

7ҥL  W j L  O L ӉX PL ӇQ SKt  KW W SV    Y QGRF  F RP


a = b
a = 2

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi 
. Vậy A 1 − 2;1 − 2 , B 1 + 2;1 + 2 .
2 ⇔
b = 2
1 = ab

(

) (

)

Bài 2.
a) Giải phương trình ( sin 2 x + cos 2 x ) cos x + 2 cos 2 x − sin x = 0
2 xy 2 − y − y 2 + 1 + 2 xy 2 4 x 2 + 1 = 0
b) Giải hệ phương trình 
3
 x − 2 2 x y = 2 3 x + 6 + 2

(1)
( 2)

c) Có 27 tấm thẻ được đánh các số tự nhiên từ 1 đến 27 (mỗi thẻ đánh đúng một số). Rút ngẫu
nhiên ba thẻ. Tính xác suất để rút được ba thẻ mà tổng các số trên ba thẻ chia hết cho 3 .

)

(

2 xy 2 − y − y 2 + 1 + 2 xy 2 4 x 2 + 1 = 0 ⇔ 2 xy 2 1 + 4 x 2 + 1 = y + y 2 + 1

)

(

⇔ 2 x 1 + 4 x2 + 1 =

1
1
+ 1+ 2
y
y

(

)

Xét hàm số f ( t ) = t 1 + 1 + t 2 , t > 0 , f ′ ( t ) = 1 + 1 + t 2 +
Hàm

(

f (t )

số

+ 1+ 2 ⇔ f (2x) = f   ⇔ 2x = ⇔ y =
y
y
y
2x
 y

Thay vào phương trình ( 2 ) ta có:

7ҥL  W j L  O L ӉX PL ӇQ SKt  KW W SV    Y QGRF  F RP



x − 2 = 2 x + 6 + 2 ⇔ x − 8 = 2 x + 6 − 4 ⇔ ( x − 2 )  x 2 + 2 x + 4 −


x = 2

2
⇔  x2 + 2 x + 4 −
=0
2
3

x + 6 + 23 x + 6 + 4

3

3


x+6

)

2

=0

+ 23 x + 6 + 4

2

(

(

)

2

3


=0
2

x + 6 + 23 x + 6 + 4 

2


Vậy hệ có nghiệm duy nhất 
1.
 y = 4
c) Gọi Ω không gian mẫu của phép thử: “Rút 3 thẻ trong 27 thẻ”. Khi đó, n ( & ) = C273 = 2925 .
Gọi biến cố A : “Rút 3 thẻ trong 27 thẻ mà tổng các số trên ba thẻ chia hết cho 3”.
Xét 3 tập hợp:
Tập B : “Các thẻ có số chia hết cho 3” ⇒ B = {3; 6;9;12 ;15;18; 21; 24 ; 27} .
Tập C : “Các thẻ có số chia cho 3 dư 1” ⇒ C = {1; 4; 7 ;10 ;13;16;19 ; 22 ; 25} .
Tập D : “Các thẻ có số chia cho 3 dư 2” ⇒ D = {2 ;5;8;11;14;17 ; 20 ; 23; 26} .
(Nhận xét: Ba tập hợp B, C, D là đôi một rời nhau với n ( B ) = n ( C ) = n ( D ) = 9 ; 27 tấm thẻ đều
được liệt kê 1 trong 3 tập trên, không có tấm thẻ nào được liệt kê 2 lần).
Theo tính chất đồng dư và phép chia hết cho 3, biến cố A xảy ra khi và chỉ khi một trong các
khả năng sau xảy ra:
KN1. 3 thẻ rút được đều nằm trong tập B , khi đó n1 ( A ) = C93 = 84 .
KN2. 3 thẻ rút được đều nằm trong tập C , khi đó n2 ( A ) = C93 = 84 .
KN3. 3 thẻ rút được đều nằm trong tập D , khi đó n3 ( A ) = C93 = 84 .
KN4. 3 thẻ rút được có 1 thẻ trong tập B , 1 thẻ trong tập C , 1 thẻ trong tập D , khi đó
n4 ( A ) = C91C91C91 = 729 .

Do đó, n ( A ) = n1 ( A ) + n2 ( A ) + n3 ( A ) + n4 ( A ) = 981 .

7ҥL  W j L  O L ӉX PL ӇQ SKt  KW W SV    Y QGRF  F RP


Vậy xác suất của biến cố A là: P ( A ) =

n ( A ) 981 109
=
=
.

=

2 HK
2

= 2 HK = 2d ( H ; AC ) = 2 10

 a = −1 ⇒ A ( −5; −1) ( l (
2
+ ( −3 − a ) = 2 10 ⇔ 
 a = 3 ⇒ A (1;3)

))

Vậy A (1;3 ) .
Phương trình đường thẳng BC qua H ( −1; −3) và vuông góc với AH có phương trình

x + 3 y + 10 = 0 .
Gọi B ( 3b − 10; b ) ∈ BC , ta có IB = ( 3b − 8; b + 1) ; IA = ( 3;4 )

7ҥL  W j L  O L ӉX PL ӇQ SKt  KW W SV    Y QGRF  F RP


Vì tam giác AIB vuông tại I nên IB. IA = 0 ⇔ 3 ( 3b − 8 ) + 4 ( b + 1) = 0 ⇔ b =

20
 20 
⇒ B  10; 
3
3

CD CE
Lại có:

MNE = 90° + ANM = 90° + ACB; DCE = ACB + BCD + NCE = ACB + NEC + NCE = ACB + 90°
Suy ra

MNE = DCE ⇒ *MNE ∼ *DCE ( c.g.c ) ⇒ MEN = DEC ⇒ MEN + OEH = DEC + OEH

7ҥL  W j L  O L ӉX PL ӇQ SKt  KW W SV    Y QGRF  F RP


⇔ MEH = OEC =

BAC
= MAD ⇒ DMAE là tứ giác nội tiếp suy ra DM ⊥ ME . (2)
2

Giả sử ME ∩ AD = I , ta đi chứng minh F , I , H ; F , M , D .
BAC
= IAH ⇒ IAEH là tứ giác nội tiếp suy ra IH ⊥ DE ⇒ I , F , H (do FH cũng
2
vuông góc với DE) (1)
Từ (1) kết hợp với DI ⊥ FE ⇒ I là trực tâm tam giác FDE suy ra FD ⊥ IE (3)

Có: IEH =

Từ (2) và (3) suy ra F , M , D .
1
FA AM
=

Gọi H là trung điểm của AB .
Vì tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB và SH =

a 3
.
2

( SAB ) ⊥ ( ABCD )

Khi đó ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .

 SH ⊂ ( SAB ) , SH ⊥ AB

1
a 3 a3 3
1
1 1
=
Ta có VS . ACD = S *ACD .SH = . . AD.CD.SH = .2a.a.
.
6
6
2
3
3 2

7ҥL  W j L  O L ӉX PL ӇQ SKt  KW W SV    Y QGRF  F RP


b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD .


=

2a 5
.
5

=

3a 17
.
17

3a 5
.
5

Xét tam giác SHI vuông tại H có HK =

SH .HI
2

SH + HI

2

2 3a 17 2a 17
Từ (*) ⇒ d ( BD, SC ) = .
.
=

c
.
+ 
+
, y = và P =
+2
b+c 2  a+c
a+b 
a
a
a

Từ a ≥ max {b, c} suy ra x ≤ 1, y ≤ 1.

x
1
11 
+ 
+
x + y 2  y +1
Do 0 ≤ x, y ≤ 1 nên
Khi đó P =

y 
 + 2 1+ 7( x + y)
x +1 

x (1 − y ) ≥ 0 ⇔ x ≥ xy ⇔ x + y ≥ y + xy ⇒
⇒


≥
y +1

x
.
x+ y

Khi đó

P≥

1
11  x
+ 
+
x+ y 2  x+ y

y 
 + 2 1+ 7(x + y) =
x+ y 

1
11
+
x + y + 2 1+ 7( x + y)
x+ y 2

Đặt t = x + y , ( 0 < t ≤ 2 ) ta được
1 11
P ≥ + t + 2 1 + 7t 2 = f ( t )


Bài 6. Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1; u2 = 2020; un+1 =
1 1 1
1
Tính lim  + + + ... +
n →+∞ u
un
 1 u2 u3

2019un  2019 
+ 1 +
 un −1 , n ≥ 2.
n
n −1 



.


Lời giải
2019un  2019 
 un un−1 
+ 1 +
Ta có un+1 =
 un−1 = 2019  +
 + un −1
n
n −1 


n
un
n



Do đó un =

( 2019 + 1)( 2019 + 2 ) ... ( 2019 + n − 1) .
( n − 1)!

Vậy
= 1+

1+

n
( k − 1)!
1 1 1
1
1
+ + + ... + = 1 +
+∑
u1 u2 u3
un
2020 k =3 ( 2019 + 1)( 2019 + 2 ) ... ( 2019 + k − 2 )


( k −1)!
1 

n →+∞ u
un
 1 u2 u3

 2019
.
=
 2018

---------- HẾT ----------

10

7ҥL  W j L  O L ӉX PL ӇQ SKt  KW W SV    Y QGRF  F RP