Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Quảng Bình năm học 2013 – 2014
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12
Thời gian làm bài 180 phút
Câu 1 (4.0 điểm)
Giải phương trình 
Câu 2 (4.0 điểm)

Cho a là số thực dương tùy ý. Xét dãy số  được xác định như sau:
 (tử số có n dấu căn); 
Tính giới hạn của dãy số .
Câu 3 (4.0 điểm)
Tìm các hàm số  thỏa mãn:
.
Câu 4 (4.0 điểm)
Cho tam giác  và  là hai điểm di động trên đường thẳng  sao cho . Đường thẳng  đi qua  
và vuông góc với , đường thẳng  đi qua  và vuông góc với . Gọi  là giao điểm của  và . 
Chứng minh rằng trung điểm  của đoạn  luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 5 (4.0 điểm)
Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn có ít nhất một số có tổng 
các chữ số chia hết cho 11.
Câu 6 (5,0 điểm).
Giải hệ phương trình:

Câu 7 (5,0 điểm).


Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
.
Câu 8 (5,0 điểm).
Cho hai đường tròn  và  cắt nhau tại  và  sao cho . Đường thẳng  cắt hai đường tròn tại 
sao cho các điểm  nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó.  cắt đường tròn  tại điểm thứ