KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 

   SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

Đề chính
thức

Môn thi: TOÁN (BẢNG A) 

Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: 
a) Giải phương trình: 

3� x+
�
log 2 � x + �+ 2
2�
�

x−

3
4

=2

b) Chứng minh phương trình:  x5 – 4x2 – 4x = 1    có đúng một nghiệm và 
nghiệm đó nhận giá trị dương.

(

Tìm tọa độ các đỉnh B; C.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho điểm B(­3;0), C(3;0) 
Điểm A di động trong mặt phẳng Oxy sao cho tam giác ABC thỏa mãn: độ dài  
đường cao kẻ từ đỉnh A tới BC bằng 3 lần bán kính đường tròn tâm I nội tiếp 
tam giác ABC. Chứng minh khi A thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) 
thì điểm I thuộc một đường cong cố định.
­­­­­­­­­HẾT­­­­­­­­­­­­

Họ và tên thí sinh.............................................SBD:.................................


SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

Năm học 2006 ­ 2007
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN (Bảng A)
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
BÀI

NỘI DUNG

Bài 1:  a.(2,5đ) ­ TXĐ: D = [0; + ). Đặt  x = t    0
3
(5,5đ)
� 3 � t2 +t− 4
t + �+ 2
− 2 = 0          (1)
PT trở thành:  log2 �


0.75

pt (1) có một nghiệm duy nhất t =
Vậy pt đã cho có một nghiệm x = 

ĐIỂM

1
4

1
.
2

0.25

0.25


b.(3đ): Ta có pt   x5 = (2x + 1)2
Nếu x là nghiệm thì   x5   0   x5 = (2x + 1)2   1   x   1
Với x   1 xét f(x) = x5 ­ 4x2 ­ 4x ­ 1
Ta có: f '(x) = 5x4 ­ 8x ­ 4;  f "(x) = 20x3 ­ 8 > 0 với   x   1

'(x) = +
 f '(x) đồng biến trên [1, + ), mà f '(1) = ­7;  Limf
x +

   x0   (1; + ) để f '(x0) = 0

2
 
     x = 4
4x 4 − 11x 2 − 20 = 0

x=2
x = −2

x2

Có f(2) = 8, f(­2) = ­8,  f

( 5) = 3

(

)

5 ,  f − 5 = −3 5

 Max f(x) = 8 khi x = 2; Min f(x) = ­8 khi x = ­2
b. (3đ) Do 0  0   t   (0;  )
 g(t) đồng biến trên (0;  )   g(t) > g(0) = 0
 f'(t) > 0 với   t   (0;  )   f(t) đồng biến trên (0;  )
mà x   y   f(x)   f(y) suy ra đpcm.

)



ABC = 90

có pt đường thẳng AC là: 2x ­ y ­ 4 = 0
Có S

 = 4   khoảng cách từ B đến AC là: d = 

ABC

2S
4
=
AC
5

 B   đường thẳng     AC, cách AC một khoảng bằng d
 pt của   có dạng: 2x ­ y + m = 0.
mà     AC   khoảng cách từ A đến   bằng d
Vậy 

4+m
5

=

4
5

0.5

 hoặc 
�
y=0
12
y=−
5
x=−

0.5

+ Với m = ­8 Pt của   : 2x­y­ 8 = 0   toạ độ B là nghiệm của hệ:

y = 2x − 8
�
2
2
( x − 1) + ( y + 2 ) = 5

16
x=2
5
 hoặc 
�
y = −4
8
y=−
5
x=

0.5


K H

B
C
.cot g  = 3    (*)
2
2
B BK
C CK
mà cotg =
; cot g =
2 IK
2 IK

 cotg
3
C x

Từ (*)   BK.CK = 3IK2 (**)
Do I là tâm đường tròn nội tiếp   K thuộc đoạn BC
nên BK.CK = (3 + x)(3 ­ x), IK2 = y2
Thay vào (**) ta có: x2 + 3y2 = 9.
Suy ra I thuộc đường cong có phương trình: x2 + 3y2 = 9
 Ghi chú: Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.

0.5
0.5
0.25
0.25