PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

Chủ đề 2: Hình thang
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1. Hình thang
Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hình

thang

ABCD:

AB // CD

Cạnh đáy:
Cạnh bên:
Đường cao:

AB, CD
AD, BC
AH

Tính chất: trong một hình thang, góc kề một cạnh bên thì bù nhau.
Nhận xét:
+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên
bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
+ Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên
song song và bằng nhau
2. Hình thang vng
Định nghĩa: Hình thang vng là hình thang có một cạnh bên vng góc
với hai đáy.

�  600 và B
�  1200 .
Suy ra: C

Bài tập mẫu 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Tính số đo.
Hướng dẫn giải:
ABCD hình thang, AB//CD
�
�  1800  �
A D
A
�  1800  1300  500
D
�C
�  1800 � B
�  1800  C
�
B
�  1800  700  1100
B

Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang
vng
Bài tập mẫu 3: Cho tứ giác ABCD, AB=BC và AC là tia phân giác
của góc A. Chứng minh ABCD là hình thang.
Hướng dẫn giải
Xét ABC : AB  BC (giả thuyết). Suy ra: ABC cân tại B
�  BCA
�
Từ đây suy ra: BAC

Suy ra:M là trung điểm của cạnh BC.
� AM  MB  MC 

BC
2

Suy ra: AMB cân tại M
b. Chứng minh tứ giác MNAC là hình thang vng:
Trong AMB : AN = NB (giả thiết)
MN  AB
Suy ra:
AC  AB ( ABC vuông tại A)
�  900
� MN // AC và CAN
Suy ra: tứ giác MNAC là hình thang vng.

Nguyễn Quốc Tuấn (Tởng biên tập của Xuctu.com) [email protected] Trang số 25


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

Bài tập mẫu 5: Cho tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ơ vng
(hình vẽ). Quan sát rồi đốn nhận xem các tứ giác đó là hình gì,
sau đó dùng thước và eke để kiểm tra lại dự đốn đó.

Hướng dẫn giải:
�  BDA
� ).
Tứ giác ABCD là hình thang ( vì BDC
�EF  900 và G


(1)

� D
�
Xét DAN có D
1
2

Nên DM đồng thời là đường trung
tuyến: MA = MN.
Nên: ABM = NCM (g.c.g)
Do đó: AB = CN.
Ta có : DC + AB = DC + CN = DN = DA = 7cm. Vậy AB + CD < 8cm.
Vậy một trong hai đáy AB, CD phải có độ dài nhỏ hơn 4cm.
Bài tập mẫu 7: Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết: AB =
2cm, CD = 5cm,
Hướng dẫn giải
a. Phân tích: Giả sử ta đã dựng được hình thang ABCD thoả mãn đề bài.
Vẽ AE // BC (E  CD).
� C
�  40o , EC = AB =
Ta được: AED

2cm và DE = DC – EC = 5 – 2 =
3cm.
- ADE dựng được ngay (g.c.g).
- Điểm C thoả mãn hai điều kiện:
C nằm trên tia DE và C cách D là
5cm.

a) Phân tích: Giả sử ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn đề bài.
Trên tia AC ta lấy điểm D sao cho AD = AB.
Khi đó DC = AC – AD = AC – AB = 2cm.
�  70o � ADB
�  55o � BDC
�  125o.
ABD cân, A
�  125o ; CB = 5cm).
- DBC xác định được (CD = 2cm; D

- Điểm A thoả mãn hai điều kiện:
A nằm trên tia CD và A nằm trên đường trung trực của BD.
b) Cách dựng
�  125o ; DC = 2cm và CB = 5cm.
- Dựng DBC sao cho D

- Dựng đường trung trực của BD cắt tia CD tại A.
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com) [email protected] Trang số 28


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

- Nối AB ta được ABC phải dựng.
c) Chứng minh

Ta có: ABC thoả mãn đề bài vì theo
cách dựng, điểm A nằm trên đường
trung trực của BD nên AD = AB.
Do đó AC – AB = AC – AD = DC =
2cm;

BDC
Nguyễn Quốc Tuấn (Tởng biên tập của Xuctu.com) [email protected] Trang số 29


PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ
HD  AC , HE  AB . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

HB, HC. Chứng minh tứ giác DEMN là hình thang vng.
Bài tập 3: Cho hình thang ABCD

 AB // CD  . Hai đường phân giác của

góc A và B cắt nhau tại điểm K thuộc đáy CD. Chứng minh AD+BC=DC.
Bài tập 4: Cho hình thang ABCD vng tại A và D. Cho biết AD = 20,
AC = 52 và BC = 29. Tính độ dài AB.
Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD. Các tia phân giác của góc A, góc D cắt
nhau tại M. Các tia phân giác của B, góc C cắt nhau tại N. Cho biết
�
AMD
 90o , chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD là hình thang;

b) NB  NC.

Bài tập 6: Cho hình thang ABCD vng tại A và D. Gọi M là trung điểm
của AD. Cho biết MB  MC.


�  1800  �
�  600.
DAB
ADB  �
ABD  1800  600  1200 � �
ADB  BDC

Từ B, kẻ BE//AD. Suy ra: AD = BE và AB = DE.
Mà: AB < DC nên điểm E nằm giữa hai điểm C và D.
Mặt khác: BC=AD (giả thiết). Suy ra:

BC=BE � BEC

cân tại B

�  BEC
�
� BCD
� �
�  600.
Ta có: BEC
ADC (đồng vị) . Do đó: BCD
�  1800 nên �
�  1800  600  1200
Ta có: �
ABC  BCD
ABC  1800  BCD

Bài tập 2: Chứng minh DEMN là hình thang vng.
Ta có: HE  AB (giả thiết) � BEH vuông tại E


(2)

�  DEH
�  MHE
� �
Từ (1) và (2), cộng vế theo vế: MEH
AHE
�  MHA
�  900  AH  BC  � ME  ED
MED

Tương tự, ta chứng minh được: ND  ED
�  900 . Do đó: Tứ giác DEMN là hình thang vuông.
Suy ra: ME // ND và MED

Bài tập 3: ABCD là hình thang, AB//CD.
�  KAB
�
DKA

�  KBA
� (so le trong)
CKB
�  KAB
�
(AK phân giác �
DAK
A)


CD2 =

AC2 – AD2 = 522 – 202 = 2304.
Do đó: CD = 48.
Do đó DH = CD – HC = 48 – 21 = 27  AB = 27.
Nhận xét: Bài này đã vẽ thêm đường cao BH của hình thang. Đó là
một cách vẽ hình phụ thường dùng khi giải tốn về hình thang.
� D
�  90o �
�  90o � A
Bài tập 5: a. Xét MAD có M
1
1

�D
�
A
 90o
2

�D
�  180o  AB // CD.
�A

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.
�  BCD
�  180o (hai góc kề
b. Ta có ABC

với một cạnh bên).

PP GIẢI TOÁN TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO – HÌNH HỌC 8-TẬP 1

CBE có CM vừa là đường trung
tuyến vừa là đường cao nên là tam
giác cân
Nên CB = CE
Suy ra: CB = CD + DE
Do đó: CB = CD + AB (vì AB = DE).
b. CBE cân tại C, CM  BM

(1)

�C
�  MH = MD (tính chất điểm nằm trên tia phân giác).
�C
1
2

HCM = DCM (cạnh huyền – góc nhọn)  CH = CD  CHD cân
 CM  DH.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra BM // DH do đó tứ giác MBHD là hình thang.
Bài tập 7: Xét hình thang ABCD vng tại A và D. Giả sử AB  CD.
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
AC2 = AD2 + DC2; BD2 = AD2 + AB2.
Suy ra: AC2 – BD2 = (AD2 + DC2) – (AD2 +
AB2).
Do đó AC2 – BD2 = CD2 – AB2.