BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Chí Tơn

KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ TRONG DẠY HỌC
TỐN VÀ VẬT LÍ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Chí Tơn

KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ TRONG DẠY HỌC
TỐN VÀ VẬT LÍ
Chun ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017




MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Danh mục các từ viết tắt
Dạnh mục các bảng
Danh mục các hình
Mục lục

MỞ ĐẦU .............................................................................................................1
Chương 1. KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC
KHOA HỌC......................................................................................... 6
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tâm tỉ cự.....................................6
1.2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong một số giáo trình Hình học và Vật lí
bậc đại học ............................................................................................................9
1.2.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong giáo trình Hình học bậc đại học ......9
1.2.2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong giáo trình Vật lí bậc đại học ..........18
Kết luận Chương 1 .....................................................................................................24
Chương 2. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI KHÁI NIỆM
TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM TRONG HAI THỂ CHẾ DẠY HỌC
HÌNH HỌC 10 VÀ VẬT LÍ 10 HIỆN HÀNH Ở VIỆT NAM ............ 26
2.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong hai bộ sách giáo khoa Hình học 10
hiện hành ............................................................................................................28
2.1.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm .................................................................29
2.1.2. Các praxéologie gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm ...................36
2.2. Khái niệm tâm của hệ lực song song trong hai bộ sách giáo khoa Vật lí 10
hiện hành ............................................................................................................51
2.2.1. Các quy tắc hợp lực song song.....................................................................52
2.2.2. Các praxéologie gắn liền với các quy tắc hợp lực song song ......................56

HHNC
HS
HSHS
N
Nxb
SGK
SGV
VD
VL10
VL10NC
tr.

Cơ học lý thuyết
Bài tập
Bài tập hình học 10
Bài tập hình học 10 nâng cao
Câu hỏi
Đẳng thức
Giáo viên
Hình học
Hình học cao cấp
Hình học nâng cao
Học sinh
Nhiều học sinh
Nhóm
Nhà xuất bản
Sách giáo khoa
Sách giáo viên
Ví dụ
Vật lí 10


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài và những ghi nhận ban đầu
1.1. Những ghi nhận ban đầu
Trong chương trình Toán trung học ở Pháp, khái niệm tâm tỉ cự là đối tượng tri
thức được giảng dạy. Cụ thể sách Maths Déclic 1re S, 2005, chương 15

2. Cân Roman: Định luật Archimedes

Để xác định một khối lượng chưa biết 𝑀𝑀 người ta dùng chiếc cân Roman, 𝐴𝐴 là điểm
treo khối lượng 𝑀𝑀.
Với một chiếc móc có thể di chuyển được, một khối lượng đã biết 𝑚𝑚 (ví dụ 1 kg) được
di chuyển trên thanh đòn cho đến khi thanh cân bằng, khi đó tất cả các khối lượng này
được nâng tại điểm 𝑂𝑂. Nếu giả sử trạng thái cân bằng đạt
được khi khối lượng 𝑚𝑚 treo tại 𝐵𝐵, thì ta có đẳng thức
𝑂𝑂𝑂𝑂 = 4𝑂𝑂𝑂𝑂, suy ra 𝑀𝑀 = 4𝑚𝑚.
Chiếc cân này là ứng dụng trực tiếp từ định luật Archimedes, theo định luật này ở trạng thái cân bằng ta có
𝑀𝑀. 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑚𝑚. 𝑂𝑂𝑂𝑂.
1o Hãy chứng minh rằng ở trạng thái cân bằng ta có đẳng thức vectơ:
�����⃗ + 𝑚𝑚𝑂𝑂𝑂𝑂
�����⃗ = 0
�⃗ (∗).
𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂

Vị trí của các điểm 𝐴𝐴, 𝑂𝑂 và 𝐵𝐵 sẽ như thế nào khi các khối lượng 𝑚𝑚 và 𝑀𝑀 bằng nhau?
Chú ý:

�����⃗ + 𝑚𝑚𝑂𝑂𝑂𝑂
�����⃗ = �0⃗ được gọi là tâm tỉ cự của các điểm
(*) Điểm 𝑂𝑂 thỏa đẳng thức 𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂

các khối lượng (3o).
và đặt ra các câu hỏi ban đầu sau đây:
CH1. Trong chương trình Hình học 10 hiện hành ở Việt Nam, khái niệm tâm tỉ cự
của hệ điểm có được giảng dạy? Khái niệm này có được giới thiệu gắn liền với Vật lí
và thực tế?
CH2. Khái niệm tâm tỉ cự được trình bày như thế nào trong các giáo trình Hình
học, Vật lí bậc đại học và trong sách giáo khoa Vật lí bậc trung học? Nhằm để giải
quyết những dạng bài tập nào?
1.2. Tổng quan về các cơng trình nghiên cứu
Từ những câu hỏi đặt ra định hướng cho quá trình nghiên cứu, chúng tơi tìm thấy
một số tài liệu sau:
Đồn Cơng Thành (2014), với luận văn thạc sĩ “Mơ hình hóa trong dạy học khái
niệm vectơ ở Hình học lớp 10”, đã chỉ ra việc dạy học khái niệm và các phép tốn
vectơ trong thể chế dạy học Hình học 10 ở Việt Nam chưa quan tâm đến mơ hình hóa
đối tượng tri thức này. Từ kết quả của những phân tích, tác giả tiến hành xây dựng đồ


3

án dạy học tạo nên sự kết nối giữa vectơ, các phép tốn vectơ với Vật lí và thực tế.
Nguyễn Xuân Quang (2016), trong luận văn thạc sĩ “Dạy học tích vơ hướng trong
Hình học 10 theo quan điểm liên mơn”, tác giả cho thấy ý nghĩa vật lí của tích vơ
hướng thể hiện khá mờ nhạt trong thể chế dạy học Vật lí 10 và 11 hiện hành ở Việt
Nam. Để khắc phục điều này, tác giả đã thiết kế đồ án dạy học tích vơ hướng thể hiện
rõ tính liên mơn giữa Hình học vectơ và Vật lí.
Từ các cơng trình đã tổng quan, chúng tơi nhận thấy nghiên cứu về khái niệm tâm
tỉ cự của hệ điểm trong thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 ở Việt Nam chưa
được các tác giả đề cập.
2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu
Đề tài được thực hiện trên cơ sở vận dụng những yếu tố công cụ của lí thuyết

praxéologie nào liên quan đến khái niệm này trong các thể chế dạy học Hình
học 10 và Vật lí 10 hiện hành?
CH3. Để xây dựng tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ ý nghĩa vật lí của điểm 𝑀𝑀

������⃗𝑖𝑖 = �0⃗, với ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ≠ 0 cần tính đến những
trong đẳng thức vectơ ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑀𝑀

yếu tố nào?

4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu được trình bày tóm lược bằng sơ đồ sau:
Nghiên cứu tri thức khoa học về khái niệm tâm tỉ cự
(các tài liệu khoa học, giáo trình Hình học cao cấp, giáo trình Vật lí đại cương)

Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy trong hai bộ mơn Tốn và Vật lí lớp 10
(các bộ sách Hình học 10 và Vật lí 10 hiện hành)

Nghiên cứu thực nghiệm tiểu đồ án didactic
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Chúng tôi nghiên cứu các tài liệu khoa học và phân tích các giáo trình Hình học
Cao cấp, Bài tập Hình học cao cấp của tác giả Nguyễn Mộng Hy, Cơ học lý thuyết –
tập 1 do tác giả Nguyễn Trọng làm chủ biên hướng đến trả lời cho câu hỏi:
CH1. Khái niệm tâm tỉ cự được hình thành và phát triển như thế nào? Khái
niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày ra sao trong các giáo trình Hình học
và Vật lí bậc đại học?


5

 Chúng tơi phân tích mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tâm tỉ cự của hệ


6

Chương 1. KHÁI NIỆM TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM Ở CẤP ĐỘ
TRI THỨC KHOA HỌC
Mục tiêu của chương là đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu:
CH1. Khái niệm tâm tỉ cự được hình thành và phát triển như thế nào?
Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày ra sao trong các giáo
trình Hình học và Vật lí bậc đại học?
Nội dung Chương 1 gồm hai phần: phần thứ nhất trình bày các nghiên cứu về khía
cạnh lịch sử của khái niệm tâm tỉ cự; phần thứ hai trình bày các phân tích đối với khái
niệm này trong một số giáo trình Hình học và Vật lí bậc đại học.
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tâm tỉ cự
Từ quá trình nghiên cứu các cơng trình của August Ferdinant Mӧbius (1827) và
(1846), Abraham Albert Ungar (2010), Andre Koch Torres Asis (2010), H. S. M.
Coxeter (1969), John Stillwell (2010), Michael S. Floater (2016), Peter Alfeld, Marian
Neamtu, Larry L. Schumaker (1996) và Roger Cooke (2005), chúng tơi chia lịch sử
hình thành, phát triển của khái niệm tâm tỉ cự trong Toán học thành ba giai đoạn.
Giai đoạn ngầm ẩn, kéo dài từ trước Công nguyên đến trước năm 1827. Khái niệm
tâm tỉ cự bị đồng nhất với khái niệm trọng tâm trong Vật lí. Những vấn đề làm nảy
sinh khái niệm trọng tâm đó là: cân các vật nặng bằng cân địn; nghiên cứu trạng thái
cân bằng mà các vật rắn đạt được khi nâng bởi một thanh đòn hoặc được treo tại một
vài điểm nào đó. Vị trí của tâm tỉ cự hay vị trí trọng tâm được xác định thơng qua các
mệnh đề 6 và mệnh đề 7 trong tác phẩm On the Equilibrium of Planes của Archimedes
và gọi là Quy tắc momen trong Vật lí hiện đại.
Mệnh đề 6. Các vật thể có thể so sánh được cân bằng tại các khoảng cách tỉ lệ nghịch
với trọng lượng của chúng.
Mệnh đề 7. Tuy nhiên, thậm chí nếu các vật thể không so sánh được, chúng sẽ vẫn
cân bằng tại các khoảng cách tỉ lệ nghịch với các trọng lượng ấy.


[37, tr.8]
Do đó, trọng tâm trong Vật lí khơng thể bị đồng nhất với trung điểm hay trọng
tâm của hệ điểm trong Toán học.
Với sự ra đời của khái niệm vectơ, Coxeter (1961) phát biểu định nghĩa tâm tỉ cự
của hệ điểm bằng đẳng thức vectơ trong tác phẩm Introduction to Geometry.

Giả sử các trọng số 𝑡𝑡1 , … , 𝑡𝑡𝑘𝑘 được gắn vào 𝑘𝑘 điểm phân biệt 𝐴𝐴1 , … , 𝐴𝐴𝑘𝑘 , 𝑂𝑂 là điểm bất

����⃗, điểm P độc
kì, khi 𝑡𝑡1 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑘𝑘 ≠ 0, ta có 𝑡𝑡1 ������⃗
𝑂𝑂𝐴𝐴1 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑘𝑘 ������⃗
𝑂𝑂𝐴𝐴𝑘𝑘 = (𝑡𝑡1 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑘𝑘 )𝑂𝑂𝑂𝑂
lập với cách chọn điểm 𝑂𝑂. […]
����⃗ = ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖 ������⃗
Điểm P cho bởi ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑂𝑂𝐴𝐴𝑖𝑖 gọi là tâm (tâm tỉ cự) của 𝑘𝑘 trọng số 𝑡𝑡𝑖𝑖 gắn tại 𝐴𝐴𝑖𝑖 .
Ta có thể chọn P trùng 𝑂𝑂 để được ∑ 𝑡𝑡𝑖𝑖 �����⃗
𝑃𝑃𝐴𝐴𝑖𝑖 = Ο.

[32, tr.214-215]

Khái niệm tâm tỉ cự của Möbius được sử dụng để xây dựng định nghĩa hiện đại về
tâm của hệ lực song song, trọng tâm của hệ chất điểm hoặc của vật rắn khi biết các
trọng lượng và vị trí các chất điểm.


8

• Nếu hệ 𝑛𝑛 lực 𝐹𝐹⃗𝑖𝑖 song song có tổng đại số khác khơng thì vị trí tâm của hệ lực
là 𝑥𝑥𝐶𝐶 =

𝑟𝑟⃗.

Với 𝑥𝑥𝐶𝐶 là hoành độ tâm của hệ lực hoặc trọng tâm; 𝑟𝑟���⃗𝐶𝐶 là vectơ vị trí trọng tâm.

�⃗ , gia
Một nghĩa vật lí khác của khái niệm tâm tỉ cự là xác định các vectơ vận tốc 𝑉𝑉

tốc 𝑎𝑎⃗ của khối tâm trong một hệ hữu hạn chất điểm 𝑚𝑚𝑖𝑖 :
�⃗

�⃗ = ∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝑣𝑣�⃗𝑖𝑖 = 𝑃𝑃 ,
𝑉𝑉
∑
∑
𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖

𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖

𝑎𝑎⃗ =

�⃗
𝑑𝑑𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑑𝑑

=

∑𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖

�⃗𝑖𝑖
𝑑𝑑𝑣𝑣

phương pháp phần tử hữu hạn, các phép nội suy, .... Ánh xạ tỉ cự ra đời, cho phép khái
niệm thể hiện tính chất cơng cụ của nó trong đồ họa vi tính ở mảng phối màu và hiệu
ứng chuyển động của hình ảnh.
Một mảng khác của khái niệm tâm tỉ cự là tọa độ cầu cũng được Mӧbius xây dựng
vào năm 1846. Các định nghĩa về tâm tỉ cự cầu của hệ điểm được Mӧbius xây dựng
với các cung định hướng. Các nghiên cứu sau đó xây dựng tọa độ cầu của một điểm
đối với một đa giác cầu lồi, hai tọa độ phổ biến là tọa độ cầu Wachspress và tọa độ cầu
trung bình. Tọa độ cầu được sử dụng để xây dựng các mặt Bézier trên các miền cầu,
xây dựng các tọa độ tỉ cự 3D đối với đa diện có các mặt đa giác bất kì. Tọa độ tỉ cự
cầu vẫn đang là đối tượng được quan tâm nghiên cứu.
1.2. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong một số giáo trình Hình học và Vật lí
bậc đại học
1.2.1. Khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm trong giáo trình Hình học bậc đại học
Trong mục này, chúng tơi sẽ tiến hành nghiên cứu các giáo trình:
 Hình học cao cấp, Bài tập hình học cao cấp do tác giả Nguyễn Mộng Hy biên
soạn. Đây là tài liệu được sử dụng phổ biến trong chương trình đào tạo sinh viên
ngành sư phạm Toán ở các trường cao đẳng, đại học của Việt Nam. Tác giả cũng là
chủ biên của bộ sách Hình học 10 hiện hành.
 Cơ học lý thuyết – tập 1, tác giả Nguyễn Trọng làm chủ biên. Giáo trình này được
sử dụng trong đào tạo sinh viên ngành sư phạm Vật lí ở nhiều trường đại học.
 Vật lí đại cương – tập 1, tác giả Lương Duyên Bình. Giáo trình này được dùng
làm tài liệu tham khảo và đào tạo sinh viên các trường cao đẳng đại học. Tác giả
còn là chủ biên của bộ sách Vật lí 10 hiện hành.
Đầu tiên, chúng tơi tập trung phân tích nội dung lí thuyết trong §4. Tâm tỉ cự của
một hệ điểm thuộc giáo trình Hình học cao cấp và xác định các praxéologie gắn liền
với khái niệm này trong Bài tập Hình học cao cấp.


10



𝑖𝑖=1 𝑖𝑖

(1)

Vậy điểm 𝐺𝐺 tồn tại và được xác định duy nhất do biểu thức (1) ở trên.

[15, tr.23]

“Điểm” được xem là điểm trong không gian Euclide, vectơ trong không gian
vectơ, bộ số có tính thứ tự (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) trong không gian 𝑹𝑹𝒏𝒏 . 𝑲𝑲 là một trường tùy ý.

Kỹ thuật sử dụng để chứng minh định lí 1 là áp dụng quy tắc ba điểm được nêu ra

ở trang 7 của giáo trình: “Với ba điểm bất kì 𝑂𝑂, 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ∈ 𝑨𝑨 ta có �����⃗
𝐴𝐴𝐴𝐴 = �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 − �����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂.”

Định nghĩa phát biểu sau chứng minh đem lại cho điểm 𝐺𝐺 tên gọi tâm tỉ cự của hệ

điểm gắn với họ hệ số (chúng tôi gọi tắt là tâm tỉ cự hoặc tâm tỉ cự của hệ điểm).

Định nghĩa. Điểm 𝐺𝐺 nói trong định lí trên đây được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm 𝑃𝑃𝑖𝑖
gắn với họ hệ số 𝜆𝜆 i . [15, tr.24]
R

Tác giả nhấn mạnh điều kiện tồn tại tâm tỉ cự của một hệ điểm gắn với họ hệ số,
đó là: tổng tất cả các số trong họ hệ số phải khác khơng. Khi đã tồn tại thì vị trí của
1

b) Khi 𝑘𝑘 = 2 trọng tâm 𝐺𝐺 của hai điểm P1 và P2 còn gọi là trung điểm của cặp điểm
(P1 , P2 ).

[15, tr.24]
Tính thuần nhất của tâm tỉ cự được xác định trong chú ý: “Nếu thay các hệ số

𝜆𝜆1 , 𝜆𝜆2 , … , 𝜆𝜆𝑘𝑘 với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0 bởi 𝑘𝑘𝜆𝜆1 , 𝑘𝑘𝜆𝜆2 , … , 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑘𝑘 với 𝑘𝑘 ∈ 𝐾𝐾\{0} thì tâm tỉ cự 𝐺𝐺 không
thay đổi.”

Chúng tôi xếp khái niệm tâm tỉ cự được tác giả Nguyễn Mộng Hy giới thiệu thuộc
giai đoạn tường minh của khái niệm. Từ đó, nghĩa vật lí mà chúng tơi quan tâm trong
phân tích này là khái niệm tâm tỉ cự dùng để xác định vị trí tâm của hệ lực song song,
điểm cân bằng hoặc trọng tâm.
Một số tính chất khác của khái niệm cũng được trình bày sau đó.
Định lí 2. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm Po , P1 , … , Pk với các họ hệ số khác
nhau là cái phẳng có số chiều bé nhất chứa các điểm P i ấy.
Hệ quả. Cho 𝑚𝑚–phẳng 𝛼𝛼 đi qua 𝑚𝑚 + 1 điểm độc lập Po , P1 , … , Pm . Khi đó 𝛼𝛼 chính là
tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm đó gắn với các họ hệ số khác nhau.

[15, tr.24- 25]

Hệ quả trên cho thấy: tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của một hệ điểm xác định nên
cái phẳng có số chiều bé nhất được tạo nên từ hệ điểm đó. Như vậy, mỗi điểm bất kì
thuộc vào một cái phẳng gồm 𝑘𝑘 điểm luôn là tâm tỉ cự của hệ điểm này ứng với một

họ hệ số cụ thể nào đó. Kết quả này cũng chính thức được xác nhận trong phần chứng
minh của định lí 3.

Định lý 3. Cho 𝑚𝑚–phẳng 𝛼𝛼 đi qua 𝑚𝑚 + 1 điểm độc lập Po , P1 , … , Pm và một điểm 𝑂𝑂
tùy ý. Điều kiện cần và đủ để điểm 𝑀𝑀 thuộc 𝛼𝛼 là:

�����⃗
thì 𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑖𝑖 và ∑𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 1.

[15, tr.25-26]


12

Định lí 2 và định nghĩa của khái niệm tâm tỉ cự được sử dụng để chứng minh định
lí 3 – định lí xác định điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc vào một phẳng.
Nhận xét
Các nội dung lí thuyết xoay quanh khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm được trình bày
gói gọn trong nội bộ Tốn học. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm ứng với
những họ hệ số khác nhau được quan tâm giới thiệu. So với các tính chất của tâm tỉ cự
được Mưbius xây dựng thì chỉ có tính thuần nhất được trình bày.
Phần tiếp theo, chúng tơi sẽ xác định các praxéologie gắn liền với khái niệm tâm tỉ
cự trong giáo trình Hình học cao cấp và Bài tập hình học cao cấp bằng cách phân
tích các bài tập được tác giả đưa vào.
1.2.1.2. Các praxéologie gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm
Các bài tập được đưa ra sau phần lí thuyết gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự trong
giáo trình Hình học cao cấp và Bài tập Hình học cao cấp là giống nhau. Từ q trình
phân tích các bài tập và lời giải được trình bày, chúng tơi tìm thấy năm kiểu nhiệm vụ
gắn liền với khái niệm tâm tỉ cự của hệ điểm.
 𝑻𝑻𝒐𝒐𝟏𝟏 : “Chứng minh tọa độ của tâm tỉ cự là tổ hợp tuyến tính các tọa độ của các
điểm và các hệ số tương ứng trong một mục tiêu affine.”

Kỹ thuật 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟏𝟏 :

1


𝑚𝑚1 𝑥𝑥j1 + 𝑚𝑚2 𝑥𝑥𝑗𝑗2 +⋯+ 𝑚𝑚𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑗𝑗𝑘𝑘
𝑚𝑚1 +𝑚𝑚2 +⋯+ 𝑚𝑚𝑘𝑘

.

Lời giải
Với O là gốc tọa độ và G là tâm tỉ cự của hệ điểm M 1 , M 2 , ..., M k ta có:
���������⃗

���������⃗

����������⃗

𝑚𝑚 𝑂𝑂𝑀𝑀 +𝑚𝑚2 𝑂𝑂𝑀𝑀2 +⋯+𝑚𝑚𝑘𝑘 𝑂𝑂𝑀𝑀𝑘𝑘
�����⃗
𝑂𝑂𝑂𝑂 = 1 1𝑚𝑚 +𝑚𝑚
.
+⋯+𝑚𝑚
1

𝑚𝑚1 𝑥𝑥j1 + 𝑚𝑚2 𝑥𝑥𝑗𝑗2 +⋯+ 𝑚𝑚𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑗𝑗𝑘𝑘

Do đó ta suy ra: 𝑋𝑋𝑗𝑗 =

𝑚𝑚1 +𝑚𝑚2 +⋯+ 𝑚𝑚𝑘𝑘

2

𝑘𝑘

𝑝𝑝

𝑝𝑝

𝑝𝑝

Bước 2: Phân tích ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �����⃗
𝐶𝐶𝐶𝐶𝚤𝚤 thành ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 + ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �����⃗
𝐶𝐶𝐶𝐶 + ∑𝑖𝑖=𝑘𝑘+1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 .
𝑝𝑝

Bước 3: Sử dụng định nghĩa tâm tỉ cự và quy tắc ba điểm để được ∑𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 �����⃗
𝐺𝐺𝐺𝐺 = �0⃗.

Công nghệ 𝜽𝜽𝒐𝒐𝟐𝟐 : Định nghĩa tâm tỉ cự, một số tính chất đơn giản của không gian affine.
Minh họa cho (𝑻𝑻𝒐𝒐𝟐𝟐 , 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟐𝟐 ): bài tập 1.30 trang 29; lời giải trang 64 sách BTHHCC.

Bài tập. Trong An giả sử họ 𝑝𝑝 điểm {M 1 , M 2 , ..., M p } có G là tâm tỉ cự ứng với họ
các hệ số {m 1 , m 2 , ..., m p } với m 1+ m 2+ ...+m p≠ 0 và H là tâm tỉ cự của hệ điểm
{M 1 , M 2 , ..., M k } với k < p, là hệ con của hệ điểm đã cho, ứng với các hệ số {m 1 , m 2 ,
..., m k } với m 1+ m 2+ ...+m k ≠ 0.
Chứng minh rằng tâm tỉ cự G nói trên trùng với tâm tỉ cự C của hệ điểm {H, M k+1 , ...,
M p } ứng với các hệ số {∑𝑘𝑘𝑗𝑗=1 𝑚𝑚𝑗𝑗 , m k+1 , m k+2 , ..., m p } với ∑𝑘𝑘𝑗𝑗=1 𝑚𝑚𝑗𝑗 + m k+1+ ...+ m p
R

R

R

𝐺𝐺𝐺𝐺 + ∑𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 �𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 � = �0⃗
𝑝𝑝

𝑝𝑝

�����⃗ + ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ��������⃗
�����⃗ + ∑
��������⃗ �⃗
⇔ ∑𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝐺𝐺𝐺𝐺
𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 + ∑𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑖𝑖=𝑘𝑘+1 𝑚𝑚𝑖𝑖 𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 = 0 (2)

Theo giả thiết H là tâm tỉ cự của hệ điểm {𝑀𝑀1 , 𝑀𝑀2 , … , 𝑀𝑀𝑘𝑘 } với 𝑘𝑘 < 𝑝𝑝 ứng với các hệ
số {𝑚𝑚1 , 𝑚𝑚2 , … , 𝑚𝑚𝑘𝑘 } với 𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚𝑘𝑘 ≠ 0 nên ta có:
∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 ��������⃗
𝐻𝐻𝐻𝐻𝚤𝚤 = �0⃗
(3)

Mặt khác ta có 𝐶𝐶 là tâm tỉ cự của hệ điểm {H, M k+1 , ..., M p } ứng với các hệ số
{∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 , 𝑚𝑚𝑘𝑘+1 , 𝑚𝑚𝑘𝑘+2 , 𝑚𝑚𝑝𝑝 } với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 + 𝑚𝑚𝑘𝑘+1 + 𝑚𝑚𝑘𝑘+2 + 𝑚𝑚𝑝𝑝 ≠ 0 nên ta có:
𝑝𝑝
∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 �����⃗
𝐶𝐶𝐶𝐶 + ∑𝑗𝑗=𝑘𝑘+1 𝑚𝑚𝑗𝑗 �������⃗
𝐶𝐶𝐶𝐶𝚥𝚥 = �0⃗ (4)

𝑝𝑝
Thay các giá trị của (3) và (4) vào (2) ta có ∑𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 �����⃗
𝐺𝐺𝐺𝐺 = �0⃗.
Ta suy ra tâm tỉ cự G của hệ điểm {M 1 , M 2 , ...,M p } trùng với tâm tỉ cự C của hệ điểm

𝜆𝜆1 𝐺𝐺𝑃𝑃
𝐺𝐺𝑃𝑃𝑘𝑘 = �0⃗ với ∑𝑘𝑘𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0
�⃗
Thay 𝜆𝜆𝑖𝑖 = 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑖𝑖 với i = 1, 2, ..., k ta vẫn có: 𝑘𝑘𝑘𝑘1 �������⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃1 + 𝑘𝑘𝑘𝑘2 �������⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃2 + ⋯ + 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 �������⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃𝑘𝑘 = 0

Do đó ta có G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P 1 , P 2 , ..., P k } gắn với họ các hệ số
{𝑘𝑘𝜆𝜆1 , 𝑘𝑘𝜆𝜆2 , … , 𝑘𝑘𝜆𝜆𝑘𝑘 }.


15

 𝑻𝑻𝒐𝒐𝟒𝟒 : “Tìm vị trí trọng tâm của đoạn thẳng AB và của tam giác ABC.”
Kỹ thuật 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟒𝟒 :

�����⃗ = −𝐺𝐺𝐺𝐺
�����⃗ . Tiếp đến, dựng hình
Nếu 𝑖𝑖 = 2: Sử dụng định nghĩa trọng tâm để được 𝐺𝐺𝐺𝐺

minh họa cho kết quả.

Nếu 𝑖𝑖 = 3: Sử dụng định nghĩa trọng tâm, tính chất kết hợp của tâm tỉ cự để được

kết quả 𝐺𝐺 nằm trên các đường trung tuyến. Sau đó, dựng hình minh họa cho kết quả.

Cơng nghệ 𝜽𝜽𝒐𝒐𝟑𝟑 : Định nghĩa tâm tỉ cự, tính chất kết hợp của tâm tỉ cự trong T 2 .

Minh họa cho (𝑻𝑻𝒐𝒐𝟒𝟒 , 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟒𝟒 ): Bài tập 1.31, câu b) trang 29; lời giải trang 66 sách BTHHCC.

Lý luận tương tự ta có G thuộc trung tuyến BB 1 (B 1 là trung điểm AC). Vậy trọng tâm
G của tam giác ABC là giao điểm của hai đường trung tuyến AA 1 và BB 1 .

 𝑻𝑻𝒐𝒐𝟓𝟓 : “Chứng minh m – phẳng 𝜶𝜶 xác định bởi m + 1 điểm độc lập là tập hợp các
tâm tỉ cự của hệ điểm đó gắn với họ các hệ số khác nhau.”

Kỹ thuật 𝝉𝝉𝒐𝒐𝟓𝟓 :

Chiều thuận

�⃗.
Bước 1: Gọi 𝐺𝐺 là tâm tỉ cự của họ điểm đã cho, lập đẳng thức ∑𝑖𝑖 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
G𝑃𝑃𝚤𝚤 = 0


16

�⃗ về đẳng thức
Bước 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, biến đổi đẳng thức ∑𝑖𝑖 𝜆𝜆𝑖𝑖 ������⃗
G𝑃𝑃𝚤𝚤 = 0

�����⃗
�������⃗
𝑃𝑃𝚥𝚥 𝐺𝐺 = ∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑃𝑃𝚥𝚥 𝑃𝑃𝚤𝚤 , với 𝑃𝑃𝑖𝑖 là 𝑚𝑚 + 1 điểm độc lập xác định 𝑚𝑚-phẳng 𝜶𝜶.

Chiều nghịch

Bước 1: Gọi 𝐺𝐺 là điểm thuộc 𝑚𝑚- phẳng 𝜶𝜶, khi đó theo định lí 3 ln xây dựng được


𝐺𝐺𝑃𝑃1 + ⋯ + 𝜆𝜆𝑚𝑚 ��������⃗
𝐺𝐺𝑃𝑃𝑚𝑚 = 0
𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 ≠ 0 ⇔ ∑𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖 (𝐺𝐺𝑃𝑃0 + 𝑃𝑃0 𝑃𝑃𝚤𝚤 ) = 0.
Do đó: �������⃗
𝑃𝑃0 𝐺𝐺 =

����������⃗
∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝑃𝑃0 𝑃𝑃𝚤𝚤
∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=0 𝜆𝜆𝑖𝑖

. Vậy G ϵ 𝛼𝛼.

Bây giờ ta lấy điểm G bất kì thuộc m – phẳng 𝛼𝛼 ta có:
𝑚𝑚
�������⃗
�������⃗
������⃗ �������⃗
��������⃗
���������⃗
𝑃𝑃
0 𝐺𝐺 = 𝑡𝑡1 𝑃𝑃0 𝑃𝑃1 + ⋯ + 𝑡𝑡𝑚𝑚 𝑃𝑃0 𝑃𝑃𝑚𝑚 ⇔ 𝑃𝑃0 𝐺𝐺 = ∑𝑖𝑖=1 𝑡𝑡𝑖𝑖 �𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 − 𝐺𝐺𝐺𝐺0 �

𝑚𝑚
�������⃗
������⃗ �⃗
⇔ (1 − ∑𝑚𝑚
𝑖𝑖=1 𝑡𝑡𝑖𝑖 ) 𝐺𝐺𝐺𝐺0 + ∑𝑖𝑖=1 𝑡𝑡𝑖𝑖 𝐺𝐺𝑃𝑃𝚤𝚤 = 0 (1).
Đẳng thức (1) ở trên chứng tỏ G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P 0 , P 1 , ..., P m } gắn với họ


𝝉𝝉𝒐𝒐𝟓𝟓

1

𝝉𝝉𝒐𝒐𝟑𝟑

1

𝝉𝝉𝒐𝒐𝟒𝟒

2

5

6