BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Minh Nguyệt

TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
TRONG DẠY HỌC TỐN VÀ VẬT LÍ
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Minh Nguyệt

TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
TRONG DẠY HỌC TỐN VÀ VẬT LÍ
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 8140111
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG


- Các bạn cùng lớp Didactic Tốn khóa 27 về những chia sẻ, giúp đỡ và động
viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
- Gia đình tôi, nơi luôn là chỗ dựa và là nguồn động viên lớn nhất để tơi có thể
hồn thành tốt việc học và nghiên cứu của mình.
Cuối cùng cho tơi xin được dành vài dòng để gửi lời cảm ơn đến người cha quá
cố của tôi, người luôn yêu thương và động viên tơi. Niềm mơ ước của người là được
nhìn thấy tôi trong ngày tôi nhận bằng Thạc sĩ. Tuy nhiên niềm mơ ước của người
không thể thực hiện được vì người đã ra đi mãi mãi trong khoảng thời gian tơi đang
học khóa học. Nhờ tình u thương của người mà tơi đã quyết tâm hồn thành tốt
khóa học và luận văn này.
Người thực hiện
Nguyễn Thị Minh Nguyệt


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các hình
MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1
Chương 1. KHÁI NIỆM TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ở BẬC
ĐẠI HỌC ............................................................................................... 7
1.1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong giáo trình Hình học bậc
đại học ........................................................................................................... 7
1.1.1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ. ............................................ 7
1.1.2. Các tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm tích có hướng của
hai vectơ. ........................................................................................ 10
1.2. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong một số giáo trình Vật lí



DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

THPT : Trung học phổ thông
SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

Tp

: Thành phố

Nxb

: Nhà xuất bản

NC


thơng”, các tác giả Nguyễn Thị Nga, Trần Thị Túy Phượng nói về sự tồn tại đồng
thời của khái niệm vectơ trong Tốn và Vật lí ở phổ thông và sự cần thiết nghiên cứu
khái niệm vectơ trong mối liên hệ Tốn – Vật lí:
“Khái niệm vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của Toán học. Lí thuyết
vectơ có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác, đặc biệt là trong Vật lí và Kĩ
thuật.
Vectơ được đưa đồng thời vào chương trình sách giáo khoa Hình học và Vật lí ở
phổ thơng tạo điều kiện thuận lợi cho việc liên môn giữa hai ngành khoa học này.
Với học sinh lớp 10, vectơ không chỉ là một khái niệm toán học mới mà đây là lần
đầu tiên tiếp xúc với yếu tố định hướng của một đối tượng. Điều này gây ra ít nhiều
khó khăn cho học sinh trong việc học tập khái niệm này.
Hơn thế nữa sự trình bày của sách giáo khoa cùng với việc giảng dạy vectơ trong
Tốn và Vật lí ở phổ thơng có nhiều nối tiếp nhưng cũng có một số ngắt quãng.
Điều này dẫn đến khó khăn cho học sinh trong quá trình tiếp thu và vận dụng kiến
thức. Do đó, việc nghiên cứu khái niệm vectơ trong mối liên hệ Tốn – Vật lí là thật
sự cần thiết.”
(Nguyễn Thị Nga & Trần Thị Túy Phượng, 2015)

Cùng nghiên cứu về khái niệm vectơ có luận văn thạc sĩ giáo dục học với đề tài
“Một nghiên cứu didactic về dạy học vectơ ở trường phổ thơng: Vectơ hình học và
vectơ Vật lí” của tác giả Ngơ Thị Hồng Hạnh:
Ở nghiên cứu này, tác giả đã phân tích mối quan hệ thể chế của khái niệm vectơ
với các thể chế dạy học Tốn trung học phổ thơng và Vật lí phổ thơng hiện hành. Từ
đó tác giả đưa ra các nhận định:


2
Vectơ trong hình học là đối tượng nghiên cứu chính thức trong chương trình
Hình học 10, vectơ đóng vai trị là công cụ để nghiên cứu một số vấn đề trong hình
học phẳng và hình học khơng gian, cho phép trình bày kiến thức của hình học một

điều này đã giúp chúng tơi ý tưởng đến với khái niệm tích có hướng của hai vectơ.
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi ban đầu sau:
- Nếu như tích vơ hướng là “cơng cụ đắc lực” để giải quyết một số bài toán trong
Toán cũng như trong Vật Lí thì tích có hướng của hai vectơ có vai trị gì trong cả hai
lĩnh vực này?
- Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày như thế nào trong
chương trình và SGK Tốn ở THPT? Khái niệm này được đưa vào nhằm giải quyết
các vấn đề gì?
- Khái niệm tích có hướng của hai vectơ có vai trị gì trong Vật lí ở THPT? Nó
hiện diện như thế nào trong chương trình và SGK Vật lí THPT?
- Khái niệm tích có hướng của hai vectơ có mối liên hệ gì trong Tốn và Vật lí?
Để trả lời cho các câu hỏi trên chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Tích có hướng
của hai vectơ trong Tốn và Vật lí ở trung học phổ thơng”.
2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu
Đề tài được thực hiện trên cơ sở vận dụng những yếu tố cơng cụ của lí thuyết
Didactic Toán, bao gồm: thuyết nhân học trong dạy học Toán (cụ thể là các khái niệm
quan hệ cá nhân và quan hệ thể chế đối với một tri thức, tổ chức tốn học của lí thuyết
nhân chủng học), lí thuyết tình huống và khái niệm đồ án dạy học.
3. Mục tiêu nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu
Mục tiêu của nghiên cứu là: Xây dựng một tiểu đồ án dạy học để có thể kết nối
khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong Toán và khái niệm liên quan đến tích có
hướng của hai vectơ trong Vật lí.
Để thực hiện được mục tiêu chúng tôi đặt ra các câu hỏi nghiên cứu sau:
CH1: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong các giáo
trình Tốn và Vật lí ở bậc đại học? Có điểm gì giống và điểm gì khác nhau trong hai
lĩnh vực ? Có các tổ chức tri thức nào? Nhằm giải quyết những vấn đề gì?
CH2: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong thể chế
dạy học Tốn và Vật lí ở THPT? Có các tổ chức tri thức nào? Có gì khác biệt so với



hai vectơ trong các thể chế dạy học Tốn và Vật lí ở bậc THPT hiện hành thơng qua
việc phân tích chương trình, các bộ sách giáo khoa Hình học 12 và Vật lí 10 hiện
hành ở Việt Nam để trả lời cho các câu hỏi:
CH2: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong thể
chế dạy học Tốn và Vật lí ở THPT? Có các tổ chức tri thức nào? Có gì khác biệt so
với thể chế dạy học Tốn và Vật lí ở bậc đại học? Nhằm giải quyết vấn đề gì? Mối
liên hệ (nếu có) ở CH1 thì có tồn tại ở bậc THPT khơng?
 Xây dựng và thực nghiệm tiểu đồ án dạy học nhằm giúp học sinh thấy rõ mối
liên hệ khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong Tốn và khái niệm liên quan đến
khái niệm tích có hướng trong Vật lí.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm có 3 chương khơng kể phần mở đầu và phần kết luận.
Chương 1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ ở bậc Đại học
Trong chương này, chúng tơi trình bày các phân tích về khái niệm tích có hướng
của hai vectơ với hai phương diện là đối tượng và công cụ trong một số giáo trình
Hình học và Vật lí dùng trong đào tạo sinh viên các ngành sư phạm Toán học và sư
phạm Vật lí (cụ thể là giáo trình Hình học Cao cấp, Bài tập Hình học cao cấp của tác
giả Nguyễn Mộng Hy; Vật lí đại cương – tập 1, tập 2 do tác giả Lương Duyên Bình
làm chủ biên; Cơ sở Vật lí tập 1, 2 của nhóm tác giả David Halliday được dịch bởi
nhóm tác giả Ngơ Quốc Qnh). Đồng thời chúng tơi tìm kiếm các kiểu nhiệm vụ
liên quan đến khái niệm tích có hướng của hai vectơ ở cả trong hai lĩnh vực Tốn và
Vật lí trong các giáo trình chúng tơi chọn phân tích, từ đó đi đến nhận xét khái niệm
tích có hướng của hai vectơ có mối liên hệ gì giữa Tốn và Vật lí.
Chương 2. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong thể chế dạy học Tốn
và Vật lí ở THPT
Chúng tơi tập trung trình bày những phân tích về khái niệm tích có hướng của
hai vectơ ở hai phương diện là đối tượng và cơng cụ trong chương trình, SGK Hình
học 12 và Vật lí bậc THPT hiện hành ở Việt Nam. Đồng thời chúng tôi xem xét các



ơclit và hình học ơclit” và ngay bài đầu tiên, bài 1: “ Bổ sung về các phép tốn trên
khơng gian vectơ”. Tích có hướng của hai vectơ được định nghĩa ngay sau phần tích
vơ hướng, và được định nghĩa như sau:
Định nghĩa: Trong 𝑉𝐸3 tích có hướng của hai
vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ là một vectơ 𝑐⃗ thoả mãn các điều kiện
sau đây:
i.

𝑐⃗ ⊥ 𝑎⃗ và 𝑐⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗

ii.

̂⃗⃗
|𝑐⃗| = |𝑎⃗|. |𝑏⃗⃗|. 𝑠𝑖𝑛 (𝑎⃗,
𝑏) = dt hình bình

hành dựng trên các vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗.


8
Tam diện tạo bởi ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ là tam diện thuận (nếu vặn nút chai theo

iii.

chiều từ 𝑎⃗ đến 𝑏⃗⃗ thì nút chai chuyển động theo hướng của vectơ 𝑐⃗. – xem hình 6).
Ta thường kí hiệu tích có hướng của hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ là: 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = 𝑐⃗.
(Nguyễn Mộng Hy, 2006)

Ta nhận thấy rằng điều kiện (i) tác giả muốn xác định phương của vectơ tích có
hướng, điều kiện (ii) xác định độ dài của vectơ tích có hướng và cuối cùng điều kiện

và 𝑏⃗⃗ = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ). Hãy tìm tọa độ vectơ 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = 𝑐⃗. Ta dễ dàng tính được tọa
độ của 𝑐⃗ như sau:

𝑎2
𝑐⃗ = 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = (|𝑏
2

𝑎3 𝑎3
𝑏3 | , |𝑏3

𝑎1 𝑎1
𝑏1 | , |𝑏1

𝑎2
𝑏2 |)

(Nguyễn Mộng Hy, 2006)

- Phần b) trình bày hệ quả của biểu thức hay nói cách khác đi đó chính là ý nghĩa
hình học tích có hướng của hai vectơ theo hướng Giải tích.
Nếu 𝜑 là góc giữa hai vectơ 𝑎⃗ =
(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) và 𝑏⃗⃗ = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) ta có cơng
thức:

𝑠𝑖𝑛𝜑 =

⃗⃗|
|𝑎⃗⃗∧𝑏
± |𝑎⃗⃗|.|𝑏⃗⃗|



𝑎2 2
𝑏2 |
(Nguyễn Mộng Hy, 2006)

Giáo trình cũng giới thiệu biểu thức tọa độ của tích hỗn hợp trong VEn cũng như
chúng tơi có nhắc ở trên thì ý nghĩa hình học của tích hỗn hợp là tính thể tích của hình
hộp dựng trên các vectơ a⃗⃗, ⃗⃗
b, c⃗
𝑎1
⃗
⃗
(𝑎⃗, 𝑏, 𝑐⃗) = |𝑏1
𝑐1

𝑎2
𝑏2
𝑐2

𝑎3
𝑏3 | = ±𝑉
𝑐3
(Nguyễn Mộng Hy, 2006)


10
1.1.2. Các tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm tích có hướng của hai
vectơ
Hệ thống bài tập được tác giả đưa ra ngay sau phần trình bày lí thuyết của cả
chương. Về cơ bản là các bài tập trong giáo trình Hình học cao cấp và Bài tập Hình

a2

=

b1
b2

=

c1
c2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương nên ba điểm A, B, C thẳng hàng
thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB, AC


11
a1
a2

≠

b1
b2

≠

c1
c2

 𝐓𝟑𝟎 : “Tính diện tích tam giác ABC khi biết tọa độ ba điểm A, B, C”
Kĩ thuật τ03 :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (a2 ; b2 ; c2 )
- Tính tọa độ các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB = (a1 ; b1 ; c1 ), AC
- Tính ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AC
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
- Diện tích tam giác ABC là: S = |AB
2

Công nghệ θ03 : Định nghĩa tích có hướng hai vectơ, biểu thức tọa độ tích có
hướng.
Để minh họa cho hai kiểu nhiệm vụ trên chúng tôi chọn bài 2.10 trang 131, lời
giải trang 149 giáo trình Bài tập Hình học cao cấp.
2.10. Với hệ tọa độ trực chuẩn trong 𝐸 3 , cho ba điểm 𝐴(3,4, −1), 𝐵(2,0,3),
𝐶(−3,5,4). Hãy chứng tỏ ba điểm không thẳng hàng và tính diện tích của
tam giác ABC đó.
Lời giải
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (−1, −4,4); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (−6,1,5)


12
Ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng vì hai vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có: 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = (−10, −8,19) nên (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) = (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ ). 𝑐⃗ = −17
(Nguyễn Mộng Hy, 2009)

 𝐓𝟓𝟎 : “Chứng minh đẳng thức vectơ liên quan đến tích có hướng”
Kĩ thuật τ05 :
- Từ biểu thức ở vế trái sử dụng các cơng thức, tính chất biến đổi về biểu thức
vế phải (hoặc ngược lại hoặc biến đổi hai vế về cùng một biểu thức)
Công nghệ θ05 : Định nghĩa và các tính chất của tích có hướng, tích vơ hướng,…..
Minh họa cho (T50 , τ05 ): Bài 2.7 trang 131, lời giải trang 146 giáo trình Bài tập
Hình học cao cấp.
2.7. Chứng minh rằng
2

2

(𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗) + (𝑎⃗. 𝑏⃗⃗) = 𝑎⃗2 . 𝑏⃗⃗ 2


13

Lời giải
2
2
̂
̂
Trong 𝑉𝐸3 ta có:(𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗) + (𝑎⃗. 𝑏⃗⃗) = 𝑎⃗2 . 𝑏⃗⃗ 2 [𝑠𝑖𝑛2 (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗)]
2

2


𝑀0 𝑀1 = (𝑥1 − 𝑥10 , 𝑥2 − 𝑥20 , 𝑥3 − 𝑥30 )
Gọi 𝑀1 𝐻 là khoảng cách từ 𝑀1 đến đường thẳng d. Ta có cơng thức
𝑀1 𝐻 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝑀
⃗⃗|
0 𝑀1 ∧𝑎
|𝑎⃗⃗|


14

0

Vậy: 𝑀1 𝐻 =

√|𝑥2 −𝑥2
𝑎2

2

𝑥3 −𝑥30
𝑥 −𝑥 0
| +| 3 3
𝑎3
𝑎3

2


⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
kBC
BA
- Xác định k suy ra tọa độ đỉnh C
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ suy ra tọa độ đỉnh D
- Từ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
BD = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
BA + BC
Công nghệ θ07 : Định nghĩa của khái niệm tích có hướng, phép cộng vectơ.
Minh họa cho (T70 , τ07 ): Bài 2.6 trang 131, lời giải trang 145 giáo trình Bài tập
Hình học cao cấp.
2.6. Với hệ tọa độ trực chuẩn
{𝑂; ⃗⃗⃗⃗,
𝑒1 ⃗⃗⃗⃗,
𝑒2 ⃗⃗⃗⃗}
𝑒3 cho hai điểm A(2, -1, 3)
và B(1, 1, 5). Hình vng ABCD và
5

điểm 𝑀0 (2 , −3,0) thuộc mặt phẳng
(ABC). Hãy tìm tọa độ điểm C, D
Lời giải
Ta có:
3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴 = (1, −2, −2) ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑀 = ( , −4, −5)
2

Đặt 𝑚

𝑘𝐵𝐶
1

Chọn 𝑐3 = 1. Tính 𝑐1 = 1, 𝑐2 = − 2
1

Vậy (𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 ) = (1, − 2 , 1)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, −1,2) cùng phương với vectơ 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Ta chọn vectơ 𝑘𝐵𝐶
Cần xác định hệ số k. Hình vng ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng
⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √1 + 4 + 4 = √9 = 3 ⟹ 𝑘 = 1 . Vậy 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, −1,2).
|𝐵𝐴
Vì tọa độ B(1, 1, 5) nên tính được tọa độ đỉnh C là (3, 2, 7)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (3, −3,0). Do đó tính tọa độ điểm D là (4, 2, 5).
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴 + 𝐵𝐶
(Nguyễn Mộng Hy, 2009)

Nhận xét
Trong giáo trình Hình học cao cấp, khái niệm tích có hướng của hai vectơ được
xét trong khơng gian VE3 và được định nghĩa là một vectơ nên giáo trình có chú trọng
đến ba yếu tố (phương, độ dài, và hướng) của vectơ tích có hướng ngay từ định nghĩa.
Đặc biệt vectơ tích có hướng được xem như là một vectơ tự do, tức là không quan
tâm đến điểm đặt của nó.
Bên cạnh đó, giáo trình có xây dựng biểu thức tọa độ của tích có hướng, có
nghĩa là khái niệm này cũng được định nghĩa thông qua tọa độ các vectơ. Giáo trình
trình bày ý nghĩa hình học của khái niệm tích có hướng của hai vectơ (tính diện tích

1.2.1. Khái niệm tích có hướng và khái niệm momen lực trong giáo trình
Vật lí
Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được định nghĩa một cách tường minh
trong giáo trình Vật lí đại cương – tập 1 trong phần 4. Tích của hai vectơ của §2.
Các đại lượng vật lí. Khái niệm được trình bày sau phần: xác định một đại lượng


17
hữu hướng trong Vật lí, tọa độ của vectơ. Phần tích của hai vectơ mà giáo trình trình
bày gồm có hai dạng đó là tích vơ hướng (nội tích) của hai vectơ và tích vectơ (ngoại
tích) của hai vectơ đây chính là tích có hướng của hai vectơ.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và
Người ta gọi tích vectơ của hai vectơ 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là một vectơ 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵
-

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Có phương vng góc với ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 và 𝑂𝐵

-

Có chiều là chiều thuận đối với chiều

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (chiều tiến của đinh ốc
quay từ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 sang 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ quay theo chiều từ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗