Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a) Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: ax + b
> 0 ( hoặc ax + b < 0: ax + b �0 ; ax + b �0 ) trong đó x là ẩn a, b là
các số đã cho a �0 .
b) Bất phương trình tương đương
ĐN: hai bất phương trình được gọi à tương đương nếu chúng có cùng
một tập hợp nghiệm.
Các phép biến đổi tương đương
+ Định lí 1: Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một
bất phương trình thì được một bất phương trình mới tương đương.
-

Hệ quả 1; Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất
phương trình thì được một bất phương trình tương đương.

-

Hệ quả 2: Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu
của nó thì được một bất phương trình tương đương.

+ Định lí 2:
- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì
được một bất phương trình tuơng đương.
- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm và đổi
chiều của bất phương trình thì được một bất phương đương

II. Các dạng bài tập


2

< 2x ( x + 2) +4

b ) (x + 2 ) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) (x

+ tập
8) +
26sẽ làm cho học sinh hơi bối rối vì các em thấy lũy thừa của x không là
Bài
này
bậc nhất nên không biết làm như thế nào vì vậy giáo viên đưa ra một gợi ý nhỏ
cho các em: Hãy thực hiện các phép tính ở hai vế và thu gọn.

Hướng dẫn giải
a. ( x + 2 )

2

< 2x ( x + 2) + 4 � x2 + 4x + 4 < 2 x2 + 4x + 4

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

� x2 < 2 x2 ↔ x2 > 0 � x > 0 hoặc x < 0.
Sau khi giải đến bất phương trình x 2 > 0 sẽ có nhiều học sinh biến đổi

�
2 �
4
8
�
+ 4�+
x 5
x 14 1
a;

2  4 x  16
8
x 15

1  5x
8

2 4 x 16 1 5 x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x / x ≤ 15}
x 1
x 1
3 x  3  12 4 x  4  96
�
1 ۳
8
b) 4
3
12
12

chia (m-1)(m+1) cho (m-1) mà quên mất điều kiện để một phép chia
có nghĩa là số chia phải khác khơng và quy tắc chia hai vế của bất
phương trình cho một số âm phải đổi chiều bất phương trình. Vậy giáo
Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

viên phải hướng dẫn các em phân chia trường hợp của m- 1 là ( m-1)
> 0; (m – 1 ) 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≥ m + 1
+ Nếu x = 1 thì bất phương trình có dạng 0x ≥ 0 nghiệm đúng với
mọi giá trị của x.
Bài tập mẫu 5: Giải bất phương trình ( với a là hằng số ).
>
Đây là bất phương trình có chứa mẫu do đó cần phải tìm điều kiện để
cho mẫu có nghĩa sau đó biến đổi và rút gọn bất phương trình.
Hướng dẫn giải
Bất phương trình có nghĩa khi a ≠ 0
x 1
x2
x 1
x 2
 ax >
 2 x �   ax >   2 x
a
a
a a

1
nghiệm đúng với
2

mọi x

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Bài tập mẫu 6: Giải bất phương trình:

Với bài tập này phần lớn học sinh sẽ vận dụng cách làm một cách
máy móc đó là quy đồng, rút gọn rồi mới giải bất phương trình, làm
như vậy thì các em sẽ khá vất vả hoặc có em thì lại tách thành

x
2
x
5
x
8
x 11








89
86
83
80
�x  2
� �x  5
� �x  8
� �x  11 �
��
 1�
�
 1� �
 1�
�
 1�
�89
� �86
� �83
� � 80
�
x  91 x  91 x  91 x  91
�



89
86
83

2 x 3  2 x 3x  2

�
� 12 x  30  20 x �45 x  30
5
3
2
�
12���
x 20 x 45 x 0
53 x 0 x 0

*

*

(1)

x 3  2 x 3x  5

�
2
5
6

� 15 x  18  12 x �15 x  30 � 12 x �48
( 2)

ۣ x



12

(1)

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Xét bất phương trình:

1

2x  5 3  x

6
4

� 12  4 x  10  9  3 x � 4 x  3 x  9  22
�  x  13 � x  13

(2)

Từ (1) và (2) ta có 12 ≤ x
Vậy số nguyên x lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là 26.
Bài tập mẫu 10: Với giá trị nào của x thì
Giá trị phân thức lớn hơn giá trị phân thức
Giá trị phân thức nhỏ hơn giá trị phân thức

Ở bài tập này học sinh phải thiết lập được mối quan hệ giữa các phân
thức và đưa về giải bất phương trình.
Hướng dẫn giải
a. Giá trị phân thức

5x  2
5  2x
lớn hơn giá trị phân thức
nghĩa
6
3

là

5  2 x 5x  2

� 5  2 x  10 x  4
6
3
� 2 x  10 x  4  5 � 12 x  9 � x 

Vậy giá trị của phân thức




Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

 3  2 x  20 x  25

 22 x   22
 x1
Vậy với x > - 1 thì Giá trị phân thức

1, 5  x
nhỏ hơn giá trị phân thức
5

4x  5
2
Dạng bài tập này sau khi giải học sinh thường hay kết luận nghiệm
của bất phương trình do vậy giáo viên chú ý học sinh hãy kết luận theo
yêu cầu của bài.
Bài tập mẫu 11: Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình
sau dương

Đây là phương trình chứa mẫu vì vậy cần tìm điều kiện để phương
trình có nghĩa: Điều kiện x – 1 ≠ 0 suy ra x ≠ 1
Là bài toán về phương trình nhưng để trả lời được nó thì lại phải sử
dụng đến bất phương trình
Hướng dẫn giải

m 1
 1  m � (1  m)  (1  m) x  1  m
x 1

2
với m ≠ +-1
1 m
�m �  1 �m �  1 �m  1
��
��
.
1  m  0 �m  1
�
�m �1

Phương trình có nghiệm dương khi �

Bài tập mẫu 12: Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức A.
Tìm x để A > 0.

Hướng dẫn giải
Điều kiện

1
x �1; x �1; x �
2

2
2
�x  1  2  2 x  5  x �1  x
.

a) A  �


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Giáo viên chú ý học sinh với một biểu thức trong đó có liên quan đế
giá trị của biểu thức thì bao giờ cũng phải tìm điều kiện để cho biểu
thức có nghĩa: các mẫu thức khác 0; phân thức chia khác 0. Sau khi tìm
được các giá trị của biến thì phải so sánh với điều kiện trước khi kết
luận.
Bài tập mẫu 13: Tìm các số nguyên a và b sao cho a2 - 2ab + b2 4a +7 < 0
Giáo viên hướng dẫn, dẫn dắt học sinh biến đổi vế trái của bất
đẳng thức sau đó đánh giá để tìm được a, b.
Hướng dẫn giải
Do a, b nguyên ta cộng 1 vào vế trái của bất đẳng thức đã cho ta
được
a2- 2ab + b2 - 4a +7 < 0

� a 2  2ab  2b 2  4a  8 �0 � 2a 2  4ab  4b 2  8a  16 �0

�  a 2  4ab  4b2    a 2  8a  16  �0 �  a  2b    a  4  �0
2

2

� a  4; b  2 .
Bài tập mẫu 14: Tìm x biết rằng

Giáo viên giới thiệu cho học sinh biết khái niệm phần nguyên: Phần
nguyên của a kí hiệu [a] là số ngun lớn nhất khơng vượt q a
Ví d ụ;


�0 �
�3x  5 �

x
�
7
�
�
�7 �
�
�
�x �Z
3x  5
 x  1 ta có:
7

Giải bất phương trình 0 �

4 x  5
0 �

11
�
�
� 11 �
�
�
�2 x  1�Z
Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

34 x  19
0

35 �+
 �

2
17
2

n 70

7
17

n 2

68

14
17

n 70

14
17

Do n là số tự nhiên nên n = 69 hoặc n = 70
Nếu n = 70 thì tổng của 69 số cịn lại là 35

7
.69 �N loại
17

+ Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
Bài tập mẫu 1: Giải các bất phương trình sau
a) │3x - 1│ > 5

b) │3-2x│ < x + 1
Hướng dẫn giải

a)

│3x - 1│ > 5

(1)

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

1
thì ( 1) có dạng
3

* Xét khoảng x
5 � 3 x  5  1 � 3 x  4 � x 

4
3


x4
2

3
2

* Xét khoảng x � , ( 2 ) có dạng

3  2 x  x  1 � 2 x  x  1  3 � 3x  2 � x 

Vậy bất phương trình có nghiệm trong khoảng này là

2
3

2
3
x�
3
2

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là:

2

+

│

+

│

-

0

+

* Xét khoảng x < 0; ( 1) có dạng
- x – x + 2 ≤ 2 ( 4 – x ) � 0x  6
Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét x < 0
* Xét khoảng 0 ≤ x < 4 ,(1) có dạng
x – x + 2 ≤ 8 - 2x ۣ x 3
Nghiệm của bất phương trình đang xét trong khoảng này là 0 ≤ x ≤ 3
* Xét khoảng x ≥ 4, (1) có dạng
x – x + 2 ≤ 2x – 8 ↔ x ≥ 5 thỏa mãn x ≥ 4
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 3; x ≥ 5
b) Lập bảng xét dấu các biểu thức ( x – 1 ); ( x – 5 )

x

1

Phát hành toàn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh tốn tại nhà- ĐT:


* Xét khoảng x < 1, (2) có dạng

1  x  5  x  8 � 2 x  2 � x  1 thỏa mãn x < 1
* Xét khoảng 1 ≤ x < 5, (2) có dạng
x  1  5  x  8 � 0 x  2 không xảy ra với mọi x do đó bất

phương trình vơ nghiệm trong khoảng đang xét.
* Xét khoảng x ≥ 5, ( 2) có dạng

x  1  x  5  8 � 2 x  14 � x  7

nghiệm đúng với mọi x ≥ 5

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là x < - 1; x > 7.
Nhận xét: Trong cách cách giải trên ta đã khử dấu GTTĐ bằng cách xét
từng khoảng giá trị

của biến. Trong một số trường hợp, có thể giải

nhanh hơn cách dùng phương pháp chung nói trên bởi các biến đổi
tương đương sau:
Dạng 1:
a) Với a là số dương, ta có: │f(x) │ < a � a  f ( x)  a
b) │f(x) │ < g (x)

�  g ( x )  f ( x)  g ( x)

Dạng 2:
a) Với số a dương ta có: │f(x) │ > a

* Xét khoảng x

�4 x  4
�
�x  1

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

� 1
x
�
5 x  3  (3x  2)
8x  1
�
�
8
��
��
b) │5x - 3│ < 3x + 2 � �
5
x

3

3
x

2


Bài tập mẫu 1: Tìm x sao cho
a) (x – 2 ) (x – 5 ) > 0

b) < 0
Hướng dẫn giải

a) Cách 1: lập bảng xét dấu x – 2 và x - 5
x

2

x–2

5

-

0

+

│

-

│

-


�
�
x5
�
�x  5  0
�x  5
�
�
�
��
(x–2)(x–5)>0 �
�
x2
�x  2  0
�x  2
�
�
�
�
�
�x  5  0
�x  5
�
�

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là: x > 5; x < 2
c) Lập bảng xét dấu của các nhị thức
x

-2

0

+

║

+

-

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x < -2; x > 5.
Bài tập mẫu 2: Giải các bất phương trình sau
a. x2 - 2x + 1 < 9

b. ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0
Hướng dẫn giải

2
a) Cách 1: a. x2 - 2x + 1 < 9 � ( x  1)  9 � x  1  9

� 3  x  1  3 � 2  x  4

Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dang bất phương trình tích

x2  2 x  1  9 � x2  2x  8  0
�  x  2  x  4  0
Lập bảng xét dấu của nhị thức (x + 2 ), ( x – 4 )
x
x+2



+
(x + 2) ( x – 4 )

-

0

+
Nghiệm của bất phương trình là – 2 < x < 4
b. ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0

�  x  3  x 2  3x  9   x  1  x 2  x  1  3  x   x  1 �0
�  x  3  x  1

2

 3  x  �0 �   x  3  x  1
2

2

x3
�
�0 � �
x  1
�

Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 3, x = - 1.
Bài 3: Giải bất phương trình sau

2

 5

 x  1  x  2 

 0 � ( x  1)( x  2)  0

-2
-

-1
0

+

Phát hành tồn quốc- Miễn Phí SHIP- Xem và thanh toán tại nhà- ĐT:
0918.972.605(Zalo)

│


Xuctu.com – Chun cung cấp sách tham khảo mơn Tốn THCS-THPT

+
x+1

-

│

�

�

x 1
x2
x 1
x2

x 2  2 x  2 x 2  3x  3
( x 2  2 x  2)( x  2) ( x 2  3x  3)
�

0�

0
x 1
x2
( x  1)( x  2)
( x  1)( x  2)
�

1
 0 � ( x  1)( x  2)  0
( x  1)( x  2)

Vì (x + 2) > ( x + 1 ) nên ta có

(x + 1)( x + 2) > 0


=

x y
y
 1  . Với A > 1
x
x

�y
�xy  0
� 0
� �x
��
�x � y
�
xy
�
0,
x
�
y
,
x
�

y
�
Vậy A nhận giá trị lớn hơn 1 khi xy < 0 và x + y ≠ 0.
TRON BÔ SACH THAM KHAO TOAN 8 MƠI NHÂT-2020