ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
2
+ 2011x + 2010
b) b)
4
x
+ 2012
2
x
+2011x + 2010
Câu 2: Tìm giá trị của x và y, biết x
2
+ y
2
+ x – xy + ½ = 0
Câu 3: Chứng minh rằng
2
44
ba
+
2233
babaab
−+≥
Câu 4: Cho hai số dương a, b và a = 5 – b
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P =
ba

1
y
z
y
=
+

2
2
2
;
1
z
x
z
=
+
. Tìm giá trị của S = (x + y + z)
4
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H
∈
BC).
Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA. Đường thẳng vuông góc với BC
tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng
b) Chứng minh tam giác ABE vuông cân tại A.
c) Gọi M là trung điểm của BE, vẽ tia AM cắt BC tại G.
Chứng minh rằng:
HCAH
HD

+
x
+1)
= (
2
x
+
x
+1)(
2
x
-
x
+1)+ 2008(
2
x
+
x
+1) = (
2
x
+
x
+1)(
2
x
-
x
+2010)
Câu 2: = 2x

2233
222 babaab
+−
0
≥

)2()2(
22342234
baabbbabaa
+−++−⇔

0)()(
2222
≥−+−⇔
abbaba

Bất đẳng thức đúng. Dấu bằng xẩy ra khi a = b = 1
Câu 4: P=
ba
11
+
=
ab
ba
+
=
ab
5
=
2
⇔
1=
abba
−+
⇔
0)1)(1(
=−−
ba

⇒
1,1
==
ba
; Vậy S=1+1=2
Câu 6: Ta có số đường chéo của 1 đa giác có n cạnh là:
( 3)
2
n n −

 Số cạnh của đa giác có 2010 cạnh là:
−
= =
2010(2010 3)
1005.2007 2017035
2
(cạnh)
Câu 7: Chuyển
2

x


− + =
=


+


 


   
= ⇔ − + = ⇔ − + − + − =
 
 ÷
 ÷  ÷
+
   
 
 
 
− + =
=
 

+

Suy ra x = y = z = 1. Vậy S = (1 + 1 + 1)

45AEB =
=> Tam giác ABE vuông cân tại A
c) Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
, mà
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= ∆ ∆ = =:

Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= ⇒ = ⇒ =
+ + +

Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì giáo viên phân theo
từng bước và cho điểm tối đa của bài ./.