Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin
Bài 1 ( 3 điểm)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
( ) ( )
3 2
1
2 3 1
3
y f x x x x C= = − + −
( 2 điểm)
b. Tìm
m
để đường thẳng
( )
2 1d y mx= −
cắt
( )
C
tại 3 điểm phân biệt? ( 1 điểm)
Bài 2 ( 3 điểm)
a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

( )
1 2
2 2sin
2 3
f x cos x x
= + −
, với
0;
2

( )
( )
2
1 1

1
m
x m x m
y C
x
+ + + +
=
+
,
m
là tham số.
Chứng minh rằng
m
∀
bất kỳ, đồ thị
( )
m
C
luôn có cực đại, cực tiểu. Tìm
m
để khoảng
cách từ điểm cực đại của đồ thị
( )
m
C

Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
và thể tích khối cầu ngoại tiếp
hình chóp
.S ABC
. ( 1 điểm)
c. Gọi
, , M N P
lần lượt là trung điểm của
, , SB SC AC
. Mặt phẳng
( )
MNP
cắt
AB
tại
Q
.
Tính diện tích toàn phần của khối đa diện
MNPQBC
. ( 0,5 điểm)
--------------------------------------------------Hết ----------------------------------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
1
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I- MÔN TOÁN Lớp 12- Ban khoa học tự nhiên
Năm học 2010- 2011
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề chẵn
ĐỀ THI HỌC KỲ I- MÔN TOÁN Lớp 12- Ban khoa học tự nhiên
Năm học 2010- 2011

1
' 4 3; ' 0 4 3 0
3
3
1
x
y
y x x y x x
x
y

=
=


= − + = ⇔ − + = ⇔ ⇒


=

= −

( 0,25 điểm)
Bảng biến thiên

( 0,5 điểm)
Hàm số nghịch biến trên
( )
1;3
, đồng biến trên

( 0,25 điểm)
Điểm đặc biệt:
( )
0; 1A −
,
1
4;
3
B
 
 ÷
 
.
Đồ thị hàm số nhận
điểm uốn
1
2;
3
I
 
−
 ÷
 
làm
tâm đối xứng. ( 0,5 điểm)
b. Tìm
m
để đường thẳng
( )
2 1d y mx= −

x
y
I
1
-2
3
4
.
.
.
.
.
.
.
.
B
.
-1
Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và
( )
d
là:

3 2 3 2 2
2
1 1 1

0g x =
có 2 nghiệm phân
biệt khác
0

( )
( )
1
0
1 3 2 0
' 0
3
3
0 0
3
2
2
m
m
g
m
m

>
− − >


∆ >

  

Ta có
( )
( )
( )
2 2
1 2 1
1 2sin 2 sin 2sin , 0;
2 3 6 2
f x x sinx f x x x x
π
 
= − + − ⇔ = − + − ∈
 
 
( 0,25 điểm)
Đặt
( )
[ ]
2
1
sin , 0 t 1 2 , 0;1
6
t x f t t t t= ≤ ≤ ⇒ = − + − ∈
. ( 0,25 điểm)

( ) ( )
[ ]
' 2 2, ' 0 1, 0;1f t t f t t t= − + = ⇔ = ∀ ∈
. ( 0,25 điểm)
Ta có:

f t f khi f x khi x
π
 
 
 
= = − = ⇔ = − =
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là
1
6
−
khi
0x =
, đạt giá trị lớn nhất là
1

6 2
khi x
π
=
( 0,25 điểm)
b. Phương trình
2
1 9
3
log 6log 1 0x x− − =
. Điều kiện
0x
>
( 0,25 điểm)
Phương trình tương đương:

x
t
x
=
= 
=





− − = ⇔ ⇔ ⇒



=
= −
= −




( 0,5 điểm)
c. Giải hệ phương trình
( )
( )
2
3 +2 = 0 1

27 3 .9 0 2

y
y x
y y
y x
y
y
=



=
= − =


− + = ⇔ ⇔ ⇒



= =
=




= −

( 0,5 điểm)
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ) ( ) ( ) ( )
1;1 ; 1; 1 ; 4;2 ; 4; 2− −

2
0 1
' 0 2 0
2 3
x y m
y x x
x y m
= = +
 
= ⇔ + = ⇔ ⇒
 
= − = −
 
( 0,25 điểm)
Dựa vào đồ thị, điểm cực đại là:
( )
1
2; 3I m− −
( 0,25 điểm)
Phương trình đường thẳng
( )
3 4 2 0x y∆ − + =
.
Khoảng cách từ điểm cực đại
( )
1
2; 3I m− −
của hàm số đến đường thẳng
( )
3 4 2 0x y∆ − + =

0
− ∞
0
0
+∞
+∞
− ∞
+-
x
( )
'f x
( )
f x
-
1
−
Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin
Bài 4 (3 điểm)

Vẽ hình đúng ( 0,5 điểm)
a. Do
( )
SA ABC⊥
nên
SA
là đường cao
của hình chóp
.S ABC
.
Thể tích của khối chóp là:

b. Gọi
H
là trung điểm
BC
. Ta có:
HA HB HC= =
(do
ABC∆
vuông tại
A
)
Từ
H
dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
. Suy ra d là trục mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp
.S ABC
.
Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh
SA
đi qua trung điểm
E
của
SA
, cắt d tại điểm
I
.
Ta có

3 3
4 5 10
3 3
V R a
π π
= =
( 0,5 điểm)
c. Mặt phẳng
( )
MNP
cắt
( )
ABC
theo giao tuyến
PQ
song song với
BC
, với
Q
là trung
điểm của
AB
. ( 0,25 điểm)
Diện tích toàn phần của khối đa diện
MNPQBC
bằng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2