Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R)
Xử Lý Tín Hiệu Số
212
CHƯƠNG VI
TỔNG HP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU
DÀI VÔ HẠN ( I I R)
6.1 Mở Đầu
Bộ lọc số có độ dài đáp ứng xung vô hạn (IIR = Infinitive Impulse Response) có
phương trình sai phân được viết dưới dạng :
∑
=
N
0k
k
a
y(n – k) =
∑
=
M
0r
r
b
x(n – r) (6.1)
Đây là một phương trình đệ quy bởi vì ta có thể rút ra được :
y(n) =
o
a
1




k
M
0r
r
r
za1
zb
(ta chuẩn hoá a
o
= 1)
Trong chương này ta sẽ nghiên cứu các phương pháp tổng hợp bộ lọc số, tức là tìm
ra các hệ số của bộ lọc số IIR sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc.
6.2 Các Tính Chất Tổng Quát Của Bộ Lọc
Để thực hiện được về mặt vật lý, bộ lọc số phải có tính chất ổn đònh và nhân quả,
nghóa là ta có điều kiện sau đây :
h(n) = 0 với n < 0
và
∑
∞
=0n
)n(h
< ∞
Hàm truyền đạt H(z) có dạng tổng quát H(z) =
∑
∑
=
−
=
−
N

*
j
)e(H
ω
= H(e
jω
).H(e
-jω
)
mà H(e
jω
) =
∑
∑
=
−
=
−
N
0k
jk
k
M
0r
jr
r
ea
eb
ω
ω





















∑∑
∑∑
==
−
==
−
N
0k
jk
k

ω
Trong đó các hệ số B
i
, A
i
được xác đònh như sau :
B
0
=
∑
=
M
0k
2
k
b
,B
i
= 2
∑
−
=
+
iM
0k
kik
bb
(i ≠ 0)
A
0

) =
)e(H
j
ω
)(j
e
ωϕ
H
*
(e
jω
) = H(e
-jω
) =
)e(H
j
ω
)(j
e
ωϕ
−
Suy ra
)(2j
e
ωϕ
=
)e(H
)e(H
j
j

−
)e(H
)e(H
j
j
ω
ω
• Thời gian truyền nhóm T(ω) được đònh nghóa như sau :
T(ω) =
ω
ωϕ
d
)(d
−
= -
j2
1

ω
d
d
ln






−
)e(H

Xử Lý Tín Hiệu Số
214
= -
2
1
e
jω
[ ] [ ]






−
−
)e(d
)e(Hlnd
)e(d
)e(Hlnd
j
j
j
j
ω
ω
ω
ω
= -
2

ω
ω
ω
ω
với H’(e
jω
) =
)e(d
)e(dH
j
j
ω
ω
H’(e
-jω
) =
)e(d
)e(dH
j
j
ω
ω
−
−
Vậy T(ω) = –
2
1















+
*
j
j
j
j
j
j
e
)e(H
)e('H
e
)e(H
)e('H
ω
ω
ω
ω
ω



Vì đặc tuyến pha của bộ lọc IIR không tuyến tính, nên thời gian truyền nhóm được
dùng để đặc trưng cho sự phụ thuộc vào tần số của hàm truyền tốt hơn là dùng pha.
6.3 Thiết Kế Bộ Lọc IIR Bằng Phương Pháp Biến Đổi Từ Bộ Lọc Tương
Tự
Thiết kế bộ lọc đơn giản nhất là xuất phát từ bộ lọc tương tự rồi từ đó dùng các
phép biến đổi xác đònh các hệ số lọc của bộ lọc IIR. Một mạch lọc tương tự có thể biểu
diễn bởi hàm truyền đạt :
• H
a
(s) =
)s(A
)s(B
=
∑
∑
=
=
N
0k
k
k
M
0k
k
k
s
s
α

)t(yd
=
∑
=
M
0k
k
β
k
k
dt
)t(xd
(6.3)
Với x(t) là tín hiệu tác động ngõ vào, và y(t) là ngõ ra của mạch lọc. Ba phương
trình trên cho ta 3 cách chuyển đổi 1 mạch lọc tương tự thành 1 mạch lọc số.
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R)
Xử Lý Tín Hiệu Số
215
• Công cụ toán học dùng để khảo sát tính chất mạch lọc tương tự là phép biến
đổi Laplace :
h
a
(t) → H
a
(s) =
∫
∞
∞−
)t(h
a

(t) của lọc tương tự và dãy
h(n) rời rạc được xác đònh bởi lấy mẫu h
A
(t) :
h(n) = h
A
(nT)
Có nghóa là dãy đáp ứng xung của bộ lọc rời rạc được nhận từ việc lấy mẫu đáp
ứng xung của bộ lọc tương tự, T là chu kỳ lấy mẫu.
Theo trên ta có : h(n) = h
A
(nT) =
∑
∞
−∞=n
h
A
(t)
δ
(t – nT)
0
jω
a
σ
σ > 0
σ < 0
Mặt phẳng S trong biến
đổi Laplace
Hình 6.1
0

h
A
(t)
δ
(t – nT) = h
A
(t)
∑
∞
−∞=n
δ
(t – nT)
Trong miền thời gian liên tục, gọi :
– Biến đổi Fourier của h
A
(t) là H
a
(ω
a
)
– Biến đổi Fourier của
∑
∞
−∞=n
δ
(t – nT) là
T
1
∑
∞

−∞=n
a
)
T
2n
(
T
1
π
ωδ
=
T
1
∑
∞
−∞=n
H
a
(ω
a
)
*
δ
(ω
a
-
T
2n
π
)

a
(ω
a
-
T
2n
π
)
Vậy H(e
jω
) =
T
1
∑
∞
−∞=
n
H
a
(ω
a
-
T
2n
π
)(6.5)
Về mối quan hệ giữa 2 tần số ω

và ω
a

3T-T
()
∑
−δ nTt
t
h(n)
01 2
3-1
-2
n
Hình
6.3
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R)
Xử Lý Tín Hiệu Số
217
• Để tránh hiện tượng chồng phổ ta phải có điều kiện :
ω
a
max ≤
T
2
π
- ω
a
max
ω
a
max ≤
T
π

≤
T
π
=
2
s
ω
hay là f
s
≥ 2f
a
) f
s
là tần số lấy mẫu, f
a
là tần số tín hiệu liên tục vào.
→ Cần tìm hàm truyền đạt tương tự H
A
(s) thỏa mãn các chỉ tiêu tương tự đã đặt ra.
Trong nhiều trường hợp H
A
(s) coi như được cho và chỉ cần thực hiện các bước sau :
→ Từ hàm H
A
(s) với biến đổi ngược Laplace cần xác đònh hàm đáp ứng xung tương
tự h
A
(t)
→ Từ h
A

π
– ω
a
max

T
2
π

T
4
π
Hình 6.4
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R)
Xử Lý Tín Hiệu Số
218
f(nT) =
∑
∞
−∞=n
)t(f
δ
(t – nT)
với
δ
(t – nT) là hàm xung Dirac.
Biến đổi Laplace của hàm f(nT), ký hiệu là : F
*
(s)
F

∞
−∞=
∞
∞−
n
)t(f
δ
(t – nT) e
-st
dt
F
*
(s) =
∑
∞
−∞=n
)nT(f
e
-snT
Đặt z = e
sT
với s = σ + jω
Ta có biến đổi Z của hàm f(t) tại thời điểm t = nT (hàm rời rạc) :
F
*
(s) = F(z)
=
∑
∞
−∞=n

Từ kết quả này ta rút ra kết luận :
0
Vòng tròn
đơn vò
R
e
Z
Mặt phẳng Z
Hình 6.5
ω σ
Mặt phẳng S
0
I
m
(Z)
jω
a
1