Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
168
Chương V
TỔNG HP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU
DÀI HỮU HẠN
5.1 Mở Đầu
Bộ lọc số là một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các
thành phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho. Một bộ lọc số là một hệ thống
tuyến tính bất biến trong miền thời gian n, sơ đồ khối được cho bởi hình 5.1
h(n) là đáp ứng xung của hệ thống.
Gọi H(e
jω
) là biến đổi Fourier của h(n)
H(e
jω
) chính là đáp ứng tần số của hệ thống.
Trong miền tần số, biến đổi Fourier của x(n) và y(n) là: X(e
jω
) và Y(e
jω
), ta có:
Y(e
jω
) = H(e
jω
).X(e
jω
)
Quan hệ trên cho thấy rằng việc phân bố tần số của biên độ và pha của tín hiệu ra y(n)
tuỳ thuộc vào H(e

1N
0n
)n(h
< ∞. Với N là chiều dài của
đáp ứng xung.
– Tính chất 2 : do chiều dài của h(n) là hữu hạn nên nếu h(n) là không nhân quả ta có
thể đưa nó về nhân quả bằng cách chuyển về gốc tọa độ (trong miền n) giá trò đầu
tiên khác không của h(n) mà vẫn bảo đảm
)e(H
jω
không đổi. Thật vậy, nếu h(n)
có biến đổi Fourier là H(e
jω
) thì :
h(n)
x(n)
y(n)
Hình 5.1
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
169
h(n – n
o
) = H(e
jω
).
ω−
o
jn
e

∑
=
2
1
N
Nk
)k(h
e
-jkω
Trong miền tần số ta có :
Y(e
jω
) = H(e
jω
).X(e
jω
) =
∑
=
2
1
N
Nk
)k(h
e
-jkω
X(e
jω
)
Thực hiện biến đổi ngược Fourier trở về miền thời gian :

Xử Lý Tín Hiệu Số
170
5.3
Đặc Trưng Tổng Quát Của Bộ Lọc FIR Có Pha Tuyến Tính
Đáp ứng tần số H(e
jω
) của hệ thống : H(e
jω
) =
)e(H
j
ω
)e(Hargj
j
e
ω
Thời gian lan truyền của tín hiệu T
c
được cho bởi: T
c
=
[ ]
ω
ω
d
)e(Hargd
j
−
= α
Để cho T

0n
)n(h
cosnω –j
∑
−
=
1N
0n
)n(h
sinnω
Vậy argH(e
jω
) = – αω = – argtg
∑
∑
−
=
−
=
1N
0n
1N
0n
ncos)n(h
nsin)n(h
ω
ω
tg(αω) =
∑
∑

)n(h
cosnω sinαω = 0
∑
−
=
1N
0n
)n(h
sin(α – n)ω = 0 để giải phương trình này, ta xét hai trường hợp sau :
• N chẳn :
Trong trường hợp này số số hạng là số chẳn. Để 2 vế đồng nhất thì ta phải có điều
kiện từng cặp một.
h(n)sin (α – n)ω và h(N – 1 – n)sin[α – (N – 1 – n)]ω trái dấu nhau. Suy ra 2 điều
kiện sau được thỏa :
h(n) = h(N – 1 – n) ; (0 ≤ n ≤ N – 1)
và (α – n)ω = - {α – (N – 1 – n)}ω
α – n = – α + N – 1 – n
2α = N – 1 ⇒ α =
2
1N
−
Vậy trường hợp N chẳn muốn phương trình
∑
−
=
1N
0n
)n(h
sin(α – n)ω = 0 được thỏa ta phải có
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn

h(n)sin






−
−
−
2
1N
2
1N
ω = 0
Tóm lại ta có lời giải chung : α =
2
1N
−
h(n) = h(N – 1 – n)
Vậy với mỗi giá trò N cho trước ta chỉ có một giá trò α để bộ lọc có pha tuyến tính.
→ Trường hợp 2 : β ≠ 0 arg(H(e
jω
)) = – αω + β
Chứng minh tương tự như trường hợp trên, ta có :
∑
−
=
1N
0n

±
; α =
2
1N
−
• N lẻ : số số hạng là số lẻ, cũng vậy ta xét số hạng chính giữa tại n =
2
1N
−
h(n)sin[β + (n – α)ω] = h(n)sin












−
−
−
+±
ω
π
2
1N

−
2
1N
= 0
Nhận xét :
các mẫu tín hiệu của h(n)sẽ phản đối xứng.
Một Số Ví Dụ
Ví dụ 5.1 :
Ví dụ 5.2 :
Lọc FIR có pha tuyến tính đáp ứng xung phản đối xứng
n
0
1
2
3
5
7
9
11
4
810
Trục đối xứng
6
12
Hình 5.4
N = 13
α = 6
n
0
1