Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
182
5.6.2. Các Phương Pháp
Có 3 phương pháp chính để tổng hợp bộ lọc số
– Phương pháp cửa sổ
– Phương pháp lấy mẫu tần số
– Phương pháp lặp
* Phương pháp cửa sổ :
Biến đổi Fourier là phương pháp cơ bản để thiết kế các bộ lọc số. Về nguyên tắc
nó có thể dùng để thiết kế lọc cho bất cứ yêu cầu đáp ứng tần số biên độ. Tuy nhiên từ
hàm đáp tuyến tần số H(e
jω
) =
∑
∞
−∞=n
)n(h
e
-jnω
với các hệ số được tính : h(n) =
∫
π
ω
π
2
0
j
)e(H
2
1

– Cho 4 chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số δ
1
, δ
2
, ω
p
, ω
s
– Chọn dạng cửa sổ và chiều dài N của cửa sổ, trong miền n, cửa sổ có tâm đối
xứng tại n =
2
1N −
. Vậy trong miền tần số cửa sổ có pha tuyến tính θ(ω) = -
2
1N
−
ω
– Chọn loại bộ lọc số lý tưởng có đáp ứng xung là h(n), h(n) có tâm đối xứng tại
2
1N −
trong miền n. Vậy trong miền tần số, h(n) sẽ có pha tuyến tính θ(ω) = -
2
1N
−
ω
– Nhân cửa sổ W(n) với h(n) lý tưởng để được h
d
(n) của bộ lọc thực tế h
d
(n) =

W(e
j(ω-θ)
)dθ
Hàm cửa sổ W(e
jω
) cho bởi:
W(e
jω
) =
∑
∞
−∞=n
)n(W
e
-jnω
Hàm H
d
(e
jω
) được xác đònh lần lượt theo 3 bước :
– Tạo hàm W(e
j(ω-θ)
) bằng cách dời hàm W(e
jω
) về bên phải một khoảng ω trên trục
θ
– Nhân hai hàm H(e
jθ
) và W(e
j(ω-θ)

2
1N
−
ω.
Khi H(e
jω
) và W(e
jω
) đều có cùng pha tuyến tính là θ(ω) = -
2
1N
−
ω (FIR loại 1) thì
h(n) và W
R
(n)
N
sẽ có cùng tâm đối xứng tại n =
2
1N
−
(N lẻ). Ta có :
W
R
(e
jω
) =




j
2
j
2
N
j
2
N
j
2
N
j
j
Nj
1N
0n
jn
eee
eee
e1
e1
e
ωωω
ωωω
ω
ω
ω
=



Đáp ứng biên độ của hàm cửa sổ chữ nhật là :
2
sin
2
N
sin
)e(W
j
R
ω
ω
=
ω
Và đáp ứng pha :
2
)1N(
−
−
ω
nếu
2
sin
2
N
sin
ω
ω
≥ 0
2
)1N(

π
Tỷ số giữa biên độ của đỉnh trung tâm và đỉnh thứ cấp đầu tiên :
η =
)e(W
)e(W
N
3
j
R
0j
R
π
=
N2
3
sinN
N2
3
sin
2
3
sin
N
π
π
π
=
θ
w
(ω)

Cửa sổ lý tưởng là cửa sổ cho múi chính hẹp nhất và các múi bên có biên độ nhỏ
nhất. Nhưng đây là hai yếu tố đối chọi nhau cửa sổ có múi chính hẹp thì các múi bên
lớn và ngược lại. Lý do chính để cửa sổ vuông có các múi bên lớn không mong muốn là
sự cắt giảm đột ngột của cửa sổ trong miền thời gian dẫn đến sự trải rộng phổ trong
miền tần số, như vậy nếu chấm dứt cửa sổ nhẹ nhàng hơn thì các múi bên sẽ nhỏ hơn từ
đó ta đưa ra cửa sổ tam giác
b. Cửa sổ tam giác (cửa sổ Bartlett)
* Đònh nghóa :
Trước hết ta nhận xét : W(n) là tích chập của hai hàm cửa sổ chữ nhật. Thật vậy gọi
W
1
(n) là hàm cửa sổ chữ nhật chiều dài
2
1N
−
ta có :
W(n) =
1N
2
−
W
1
(n)
*
W
1
(n-1)
Theo trên ta có : W
1
(e

2
sin
2
1N
2
sin
e
1
2
)1N(
2
j
ω
ω
ω
W
1
(n – 1) có biến đổi Fourier là : e
-jω
W
1
(e
jω
)
Vậy W(e
jω
) =
1N
2
−




−
−
−
ω
ω
ω
=
1N
2
−
2
sin
)1N(
4
sin
e
2
2
2
1N
j
ω
ω
ω
−
−
−

2
1N −
)
2
1N
n2
−
−
(
2
1N −
≤ n ≤ N – 1)
0 (n còn lại )
1
2
3
4
5
67
8
n
W(n)
1
0
Hình 5.11
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
186
• Tại điểm không đầu tiên :
sin

−
π
2
1N
6
j
1N
3
sin
2
3
sin
1N
2
eW










−
−
=












−
π
π
=
2
2
1N






−
2
1N
3
sin




2
3
π
= 4,712
Gọi : λ =
η
1
đổi sang đơn vò db λ = 20 log
72,4
1
≈ -13db
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
187
* Đối với cửa sổ tam giác :
η =
2
2
1N






−
2
2
3
sin

sin






−
π
khi N rất lớn η =
2
2
1N






−
2
1N
3






−







−
−−
1N
n2
cos)1(
π
αα
W
R
(n)
W
R
(n) là cửa sổ chữ nhật cùng chiều dài N. Cửa sổ gồm 1 chu kỳ của cosin được
lấy mẫu cộng với thành phần 1 chiều để làm cho tất cả các biên độ đều dương. Biên độ
của cửa sổ bằng 1 ở trung tâm n =
2
1N
−
và giảm dần khi xa trung tâm.
Khai triển W(n) ta có :
W(n) = αW
R
(n) – (1-α)cos
1N

j
e
2
1
−
−
π
α
W
R
(n) –
1N
n2
j
e
2
1
−
−
−
π
α
W
R
(n)
2
1N
−
1
n

e
2
1N
j
ω
ω
ω
Suy ra
W(e
jω
) = α
2
1N
j
e
2
sin
2
N
sin
−
−
ω
ω
ω
–
2
1N
)
1N







−
−
π
ω
π
ω
–
-
2
1N
)
1N
2
(j
e
2
1
−
−
−−
−
π
ω
α







−
−







































−
−






−
−





1N2
sin
1N
N
2
N
sin
1
2
sin
2
N
sin
)e(W
ω
ω
πω
πω
α
α
πω
πω
α
α
ω
ω
α
• Đối với cửa sổ Hanning α = 0,5
• Đối với cửa sổ Hamming α = 0,54
Để đơn giản trong xác đònh độ rộng múi chính ta giả thiết N rất lớn so với 1 (phù





−
−
+












N2
sin
2
N
sin
.
2
1
N2
sin
2




−
−






−






−
−











ω
α
=




















+







sin
1
.
2
1
N2
sin
1
.
2
1
2
sin
2
N
sin
πω
α
πω
α
ω
α
ω
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
189
)e(W
j
ω
= 0 khi sin




−






N2
sin
2
N
sin
πω
ω
Có dạng vô đònh
0
0
, để phá dạng vô đònh này ta dùng quy tắc Hospital
N
2
lim
π
ω
→
)e(W
j
ω

2
1
α
−
2
1
)1(
2
N
−
= (1– α)
2
N
• Nếu k= -1 thì ω = -

N
2
π
Lúc này
)e(W
j
ω
= –
2
1
α
−




−→
–
2
1
α
−






+






N2
cos
2
1
2
N
cos
2
N
πω
ω

đònh tại trung tâm ω = 0.
)e(W
j
ω
=
2
N
ω










2
ω
α
= Nα
Các điểm không cho bởi ω

=
N
k2
π
(k ±≠ 1),
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
















−
−






−
−
N2
7
sin
1
2








−
−






−
−
N2
7
1
2
1
N2
3
1
2
1
N2
5
π

α
105
5092
N
1
−
=
• Đối với bộ lọc Hanning : α = 0,5 → λdb = -32db
• Đối với bộ lọc Hamming : α = 0,54 → λdb = -43db
So sánh với cửa sổ tam giác ta thấy rằng :
• ∆Ω
T
= ∆Ω
Hann
= ∆Ω
Hamm
. Vậy độ rộng múi chính của cửa sổ tam giác, Hanning
và Hamming là như nhau.
• λ
T
> λ
Hann
> λ
Hamm
. Vậy
biên độ của gợn sóng ở cả dải
thông và dải chắn sẽ nhỏ nhất đối
với cửa sổ Hamming.
Hình vẽ sau trình bày đáp ứng tần
số W(e

, và a
1
khác
không.
a
0
= α , a
1
= 1-α

, a
m
= 0 với 2 ≤ m ≤
2
1N −
Trong thực tế Blackman thường dùng 3 hệ số khác không a
0
, a
1
, a
2
. Việc xác đònh
các hệ số này với mục đích làm giảm gợn sóng của dải chắn. Bằng cách thử trên máy
tính để chọn giải pháp tối ưu, ta tìm được:
a
0
≈ 0,42 a
1
≈ 0,5 a
2

R
(n) : là cửa số chữ nhật chiều dài N
W(n) = 0,42W
R
(n) – 0,25 W
R
(n)
n
1N
2
j
e
−
π
– 0,25 W
R
(n)
n
1N
2
j
e
−
−
π
+
0,04W
R
(n)
1N






















−
+






−





−
+
+






−
−






−
−
+
−
−
2
1
1N
4

1
1N
2
sin
2
N
1N
2
sin
25,0
2
sin
2
N
sin
42,0
e
2
1N
j
π
ω
π
ω
π
ω
π
ω
π
ω







−
N2
sin
2
N
sin
πω
π
ω
+ 0,25






+






+

1N
2
π
0≤ n ≤ N–1
0 n còn lại
Chương 5 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Hữu Hạn
Xử Lý Tín Hiệu Số
192
0,04






−






−
N
2
2
sin
2
2
N

= 0,42
2
sin
2
N
sin
ω
ω
- 0,25






−
N2
sin
2
N
sin
πω
ω
- 0,25









+
N
2
2
sin
2
N
sin
πω
ω
Điểm không xảy ra tại tần số ω

thỏa :
sin
2
N
ω
= 0 ⇒
2
N
ω
= kπ ⇒ ω

=
N
k2
π
với điều kiện ω

= sin
2
7
π










++−−
N2
11
sin
04,0
N2
3
sin
04,0
N2
9
sin
25,0
N2
5
sin



++−−
• Tại ω

= 0,
)e(W
j
ω
= 0,42N
tỷ số λ =
42,0
002,0
π
đổi sang đơn vò db là : -57db
* Phương pháp lặp
Thiết kế bộ lọc FIR tối ưu: thiết kế tối ưu có nghóa là năng lượng của sóng bên là
tối thiểu. Ở đây, ta xem việc thiết kế tối ưu lọc FIR như là một bài toán gần đúng theo
nghóa Chebyschev. Sự tối ưu ở đây có nghóa là sự xấp xỉ các chỉ tiêu của bộ lọc. Trở lại
4 loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính. Ta đưa cách biểu diễn
∧
H
(e
jω
) của cả 4 loại về cùng
1 dạng tích của hai hàm như sau :
∧
H
(e
jω

)
→ Bộ lọc số FIR loại 1: theo kết quả ở phần trước của bài học, ta có :
∧
H
(e
jω
) =
∑
−
=
2
1N
0n
ncos)n(
ωα
= 1
∑
−
=
2
1N
0n
ncos)n(a
~
ω
So với dạng (5.1) ta có :
Q(e
jω
) =1, P(e
jω

2
ω
∑
−
=
1
2
N
0n
ncos)n(b
~
ω
Bây giờ ta xác đònh mối quan hệ giữa b(n) và
b
~
(n). Trước hết ta xét số hạng :
cos
2
ω
∑
−
=
1
2
N
0n
ncos)n(b
~
ω
Ta có :

−
=












−++
1
2
N
0n
)
2
1
n(cos)
2
1
n(cos
2
1
)n(b
~

n(cos
2
)n(b
~
ω
=
=
2
cos
2
)0(b
~
ω
+
2
cos
2
)0(b
~
ω
+
2
cos
2
)1(b
~
ω
+
[]
∑


−
2
1
2
N
cos
2
1
2
N
b
~
ω
=
])
2
1
n(cos[)n(b
2
N
1n
∑
=
−
ω
Suy ra kết quả :
• b(1) =
b
~