Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR)
Xử Lý Tín Hiệu Số
230
Ưu điểm của phương pháp này là ta có thể tạo ra lọc thông thấp rời rạc với bất kỳ
phép chiếu nào, còn các bước tiếp theo không phụ thuộc vào phép chiếu. Trong phần
này ta tập trung khảo sát vào phương pháp 2. Tuy nhiên cũng cần nhắc lại các đặc
điểm chính trong phương pháp 1 mà ta có thể tham khảo trong giáo trình mạch lọc
tương tự. Bảng biến đổi tần số trong miền tương tự được cho :
Loại chuyển đổi Phép chuyển đổi Tần số ngắt mới
Từ thông thấp → thông thấp
s →
ac
ac
'ω
ω
s
ω’
ac
Từ thông thấp → thông cao
s →
s
'
acac
ωω
ω’
ac
Từ thông thấp → thông dải
s →
()
1ac2ac
2ac1ac

a
ω
thỏa mãn :
)(H
aa
ω
=
n2
a
1
1
ω
+
n gọi là bậc của bộ lọc
ω
a
tần số chuẩn hoá theo tần số cắt ω
ac
0
ω
a
n = 2
n = 8
n = 5
2
1
1
Hình 6.14
1
( )

)(H
ω
nên :
H
a
(s).H
a
(-s) =
n2
)s(1
1
−+
Điểm cực được xác đònh bởi :
1 + (–
)s
2
pk
n
= 0 ⇒ 1+ (-1)
n
n2
pk
s
= 0
– Nếu n chẵn
n2
pk
s
= – 1 = e
j(2k – 1)π

π
−
Vậy các điểm cực của H
a
(s).H
a
(-s) sẽ nằm trên một vòng tròn trong mặt phẳng S.
Vòng tròn này được gọi là vòng tròn Butterworth. Hai kết quả trên cũng có thể góp
chung thành 1 kết quả duy nhất là :
s
pk
=






−
+
n2
1k2
2
1
j
e
π
k= 1, 2, 3. . . 2n
Để bảo đảm hệ thống là ổn đònh thì các điểm cực của H
a

H
0
= 1
s
pk
=






−
+
n2
1k2
2
1
j
e
π
k= 1, 2, 3. . . n
- theo tần số không chuẩn hoá
H
0
=
n
ac
ω
s

+
=
δ
2
2
2
1
δ
δ
−
=
n2
as
ω
⇒ 2n log
10
ω
as
= log
10






−1
1
2
δ

= - 40 dB = 0,01
Vậy bậc của bộ lọc n =
()
2log2
110log
10
4
10
−
= 6,64
0
Cực
của
H(–s)
Cực
của
H(s)






+
n2
1
2
1
π
Hình 6.15







−
+
14
1k2
2
1
j
e
π
k = 1, 2, . . . 7
6.4.2 Bộ lọc Chebyshev
Đối với bộ lọc này ta có 2 loại :
– Loại 1 : đáp ứng biên độ gợn sóng ở dải thông, giảm đơn điệu ở dải chắn.
– Loại 2 : đáp ứng biên độ giảm đơn điệu ở dải thông, gợn sóng ở dải chắn.
Trước hết ta xét đa thức Chebyshev
Theo đònh nghóa :
Ta có các hệ thức:
T
n+1
(x) + T
n-1
(x) = 2xT
n
(x)

)(T1
1
a
2
n
2
ωε
+
n : bậc của đa thức Chebysher chính là bậc của bộ lọc
ε : là 1 tham số xác đònh biên độ gợn sóng ở dải thông
Về mặt toán học hàm T
n
(ω
a
) được đònh nghóa :
Với đònh nghóa này, T
2
n
(ω
a
) dao động giữa 0 và 1 đối với
a
ω
≤ 1 và tăng một cách đơn
T
n
(x) = cosnθ
x = cosθ
T
n

ε
+
đối với
a
ω
≤ 1 và
giảm một cách đơn điệu đối với
a
ω
> 1.
Ta phân biệt trường hợp n lẻ và n chẳn để vẽ đáp ứng tần số H
a
(ω
a
):
– Trường hợp n lẻ : T
n
(0) = 0
2
a
)0(H
= 1
– Trường hợp n chẳn :
)0(T
n
= 1
2
a
)0(H
=

2
1
1
ε
+
= 1 - δ
1
⇒
2
ε
=
()
2
1
1
1
δ
−
- 1
– Bộ lọc tương tự Chebysher loại 1 ở tần số không chuẩn hóa :
2
aa
)(H
ω
=






cos(n.arccos
ac
a
ω
ω
) với
ac
a
ω
ω
≤ 1
cosh[n.arccosh
ac
a
ω
ω
) với
ac
a
ω
ω
> 1
Hình 6.16
2
1
1
ε+
0
Trường hợp n lẻ
1

aa
H
ω
1
ac
as
ω
ω
ω
a
Trường hợp n chẳn
ω
a
Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR)
Xử Lý Tín Hiệu Số
235
• Tính toán bậc n của bộ lọc:
→ Ở dải chắn ta có ω
a
= ω
as
(chưa chuẩn hoá)
)(H
asa
ω
= δ
2
⇒



as
ω
ω

=
ε
δ
1
1
2
2
−
= cosh[n.arccos








ac
as
ω
ω
]
n.arccosh
ac
as
ω

=
2
a
as
asn
2
Tn
)(T
1
1





















sẽ dao động giữa 0 và 1 với
a
as
ω
ω
≤ 1 nghóa là
a
ω
≥
as
ω
. Vậy T
n








a
as
ω
ω
dao động trong dải chắn.
T
n
(x) =
cos(n.arcosx) với

ω
=
)(T1
1
as
2
n
2
ωε
+
= δ
2
2
(T
n
(1) = 1)
Vậy δ
2
còn gọi là biên độ tối đa của gợn sóng ở dải chắn.
• Trong dải thông
a
ω
<
as
ω
hay
a
as
ω
ω



a
as
ω
ω
→ ∞ ,
2
aa
)(H
ω
→ 1
• Tại ω
a
= 1,
2
aa
)(H
ω
=
2
1
1
ε
+
⇒
)(H
aa
ω
=

1
coshar
ω
ε
δ
−
Ở đây ω
as
là tần số đã được chuẩn hoá so với ω
ac
là tần số cắt của bộ lọc.
• Bây giờ ta xét phương pháp 2 : Trước hết ta xét nguyên tắc biến đổi tần số số.
1
δ
2
1 –
δ
1
1
ω
as
2
ω
as
ω
a
0
Hình 6.17
()
aa

hàm hữu tỷ theo Z và có thể thực hiện chúng bằng các mạch ổn đònh, nhân quả. Từ đó
ta đòi hỏi biến đổi G(Z
–1
) cần phải :
* Chiếu trên vòng tròn đơn vò trong mặt phẳng z thành trên vòng tròn đơn vò mặt
phẳng Z.
* Chiếu bên trong vòng tròn đơn vò mặt phẳng z thành bên trong vòng tròn đơn vò
mặt phẳng Z.
* G(Z
–1
) là hàm hữu tỷ theo Z
–1
.
Gọi θ và ω

là tần số góc trong mặt phẳng z và Z trên vòng tròn đơn vò, ta cóù z =
e
jθ
, Z = e
jω
. Vậy để các điều kiện ổn đònh ở trên được thoả mãn, ta phải có :
e
–jθ
=
)e(G
j
ω
−
e
jα

Z1
Z
α
α
Ta thấy ngay :
)e(G
j
ω
−
= 1
Để thoả điều kiện ổn đònh
k
α
< 1 :
Bằng cách chọn giá trò thích hợp N và α
k
, nhiều ánh xạ có thể thực hiện.
Đơn giản nhất là phép biến đổi từ một bộ lọc thông thấp chuẩn tới 1 bộ lọc thông
thấp khác.
Dạng ánh xạ đơn giản được chọn là :
z
–1
=
1
1
Z1
Z
−
−
−