TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Tổ Tốn


Tài liệu lưu hành nội bộ
Năm 20108
Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay
MỤC LỤC
PHẦN I . THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TRỤ
1. Thể tích khối chóp, khối lăng trụ2-11Các Sai Lầm và Thiết Sót Khi Tính Giới
Hạn.
2. Kỹ Năng Giải Tốn Trắc Nghiệm Về Giới HạnThể Tích khối chóp, khối lăng trụ
liên quan đến góc................................................................................................12-16
I. Giới hạn dãy có dạng
( )
( )
n
P n
u
Q n
=
, Giới hạn hàm số dạng
∞
∞
……..10 - 11
II. Giới hạn hàm số dạng
0
0
và dạng
∞ − ∞
…………………………....12 - 13

− Hình vuông, chữ nhật
− Hình chóp đều
A
C
B
S
O
- Hình chóp tam giác đều
- Hình chóp tứ giác đều
Thông thường bài toán về hình lăng trụ:
.V B h
=
B: diện tích đáy
h : đường cao
Lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
Lăng trụ xiên ABC.A
1
B
1
C
1
A
1
A
⊥

∆
=
*
1
. .
2
ABC
S BC AH
∆
=
− Các tam giác đặc biệt :
o Tam giác vng :
+ Định lý pitago:
2 2 2
BC AB AC= +
+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vng

µ
= =
Đối
sin
Huyền
b
B
a

µ
= =
Kề
cos

S BC AH
∆
=
o Tam giác đều
+ Đường cao của tam giác đều
= =
3
.
2
h AM AB
( đường cao h = cạnh x
3
2
)
+ Diện tích :
2
3
( ) .
4
ABC
S AB
∆
=
Tài liệu lưu hành nội bộ 4
h
H
A
B
C
c

+ Din tớch hỡnh vuụng :
.
ABCD
S AB AD=

( Din tớch bng di nhõn rng)
+ ng chộo hỡnh cha nht bng nhau v
OA = OB = OC = OD
B. Th Tớch Khi Chúp:
+ Th tớch khi chúp
=
1
. .
3
V B h
Trong ú : B l din tớch a giỏc ỏy
h : l ng cao ca hỡnh chúp
Cỏc khi chúp c bit :
Khi t din u:
+ Tt c cỏc cnh u bng nhau
+ Tt c cỏc mt u l cỏc tam giỏc u
+ O l trng tõm ca tam giỏc ỏy
V AO

(BCD)
B
Khi chúp t giỏc u
+ Tt c cỏc cnh bờn bng nhau
+ a giỏc ỏy l hỡnh vuụng tõm O
+ SO

C.Gúc:
Cỏch xỏc nh gúc
Gúc gia ng thng d v mt phng (P):
o Tỡm hỡnh chiu d
/
ca d lờn mt phng (P)
o Khi ú gúc gia d v (P) l gúc gia d v d
/

Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD l hỡnh vuụng, SA vuụng gúc vi (ABCD) v gúc
gia SC vi (ABCD) bng 45
0
. Hóy xỏc nh gúc ú.
Gii
Ta cú :
=
( )ABCD
AC hc SC


ã
ã
ã
= = =( ,( )) ( , ) 45
o
SC ABCD SC AC SCA
Gúc gia hai mt phng (P) v (Q) :
o Xỏc nh giao tuyn d ca (P) v (Q)
o Tỡm trong (P) ng thng a





ã
ã
ã
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABCD SM AM SMA= = =
Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 3 Lửu Tuaỏn Hieọp
45O
S
C
D
B
A
60
M
O
S
A
B
C
Baứi Toaựn 1.1:
Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng ti B, AB = a
2
, AC = a
3
,
cnh bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SB =

2 2 2
a
BA BC a a

= = =
*

SAB vuụng ti A cú
2 2
SA SB AB a= =
* Th tớch khi chúp S.ABC
2 3
.
1 1 . 2 . 2
. . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
Baứi Toaựn 1.2:
Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng cõn ti B, AC = a
2
, cnh bờn
SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SB =
3a
.Tớnh th tớch khi chúp S.ABC
Gii
Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
V tam giỏc ỏy, v ng cao SA


SAB vuụng ti A cú
2 2
SA SB AB a= =
* Th tớch khi chúp S.ABC
2 3
.
1 1
. . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 4 Lửu Tuaỏn Hieọp
A
C
B
S
A
C
B
S
Baứi Toaựn 1.3:
Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC u cnh 2a, cnh bờn SA vuụng gúc vi
mt phng ỏy v SB =
5a
.Tớnh th tớch khi chúp S.ABC
Gii
Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
V tam giỏc ỏy, v ng cao SA


. . . . 3.
3 3 3
S ABC ABC
a
V S SA a a= = =
Baứi Toaựn 1.4:
Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC cõn ti A, BC = 2a
3
,
ã
0
AC 120B =
,cnh
bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SA =2a.Tớnh th tớch khi chúp S.ABC
Gii
Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
V tam giỏc ỏy, v ng cao SA

(ABC) v v thng ng
Tam giỏc ABC cõn ti A v = 120
0

Li gii:
*

ABC cõn ti A,
ã
0
AC 120B =
, BC = 2a

.
1 1 . 3
. . . . 3.
3 3 3
S ABC ABC
a
V S SA a a= = =
Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 5 Lửu Tuaỏn Hieọp
S
B
C
A
M
S
B
C
A
Baứi Toaựn 1.5:
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a
2
, cnh bờn SA
vuụng gúc vi mt phng ỏy v SC =
5a
.Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD
Gii
Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
V ỏy l hỡnh vuụng ( v nh hỡnh bỡnh hnh), cao SA

(ABCD) v v thng
ng

.
1 1 2
. . .2 .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
Baứi Toaựn 1.6:
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, cnh bờn SA vuụng gúc
vi mt phng ỏy v SA = AC = a
2
.Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD
Gii
Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
V ỏy l hỡnh vuụng ( v nh hỡnh bỡnh hnh), cao SA

(ABCD) v v thng
ng
Bit AC v suy ra cnh ca hỡnh vuụng (ng chộo hỡnh vuụng bng cnh
nhõn vi
2
)
Li gii:
Ta cú : SA = AC = a
2

* ABCD l hỡnh vuụng
AC = AB.
2


C
S
Bài Toán 1.7:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
3
, cạnh bên bằng
2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O
+ Gọi M là trung điểm BC
+ O là trọng tâm của tam ABC
+ AM là đường cao trong
∆
ABC
− Đường cao của hình chóp là SO ( SO
⊥
(ABC))
 Lời giải:
* S.ABC là hình chóp tam giác đều
Gọi M là trung điểm BC
∆
ABC đều cạnh
3a
, tâm O
SO
⊥
(ABC)
SA=SB=SC = 2a
*

*
∆
SAO vng tại A có
2 2
. 3SO SA AO a= − =
* Thể tích khối chóp S.ABC
2 3
.
1 1 3 3 . 3
. . . .
3 3 4 4
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
 Nhận xét: học sinh thường làm sai bài tốn trên
− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì
+ khơng xác định được vị trí điểm O
+ khơng hiểu tính chất của hình chóp đều là SO
⊥
(ABC)
+ khơng tính được AM và khơng tính được AO
− Tính tốn sai kết quả thể tích
Tài liệu lưu hành nội bộ 7 Lưu Tuấn Hiệp
A
C
B
S
M
O
Bài Toán 1.8:


AC 2 2
AO= 2
2 2
a
a= =
⇒

( )
2
2
ABCD
S 2 4a a= =
*
∆
SAO vng tại O có
2 2
SO SA AO a= − =
* Thể tích khối chóp S.ABCD
3
2
.
1 1 4
. . .4 .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
 Nhận xét: học sinh thường làm sai bài tốn trên
− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều

BCD u cnh a, tõm O

AO

(BCD)
*

BCD u cnh a

BM =
3
2
a


2 2 3 3
BO= . .
3 3 2 3
= =
a a
BM


2
BCD
. 3
S
4

=

/
C
/
cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, AB=a,
AC=a
3
, cnh A
/
B = 2a. Tớnh th tớch khi lng tr
Gii
* Tam giỏc ABC vuụng ti B

BC =
2 2
2AC AB a =


2
1 2
.
2 2
ABC
a
S AB BC= =
* Tam giỏc A
/
AB vuụng ti A


/ / 2 2

A C
B
Dạng 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP- KHỐI LĂNG TRỤ
LIÊN QUAN ĐẾN GÓC
Trong chương trình Toán phổ thông , Hình học Không gian được phân phối học ở
cuối năm lớp 11 và đầu năm lớp 12, kiến thức về góc ( góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng ; góc giữa hai mặt phẳng) được học vào cuối năm lớp 11 và đến đầu năm lớp 12
sẽ được vận dùng vào bài toán tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ. Đó là một vấn
đề rất khó đối với học sinh lớp 12 khi vận dụng vì đa số học sinh quên và không biết
cách vận dụng, từ đó đa số học sinh đều bỏ hoặc làm sai bài toán tính thể tích của khối
chóp , khối lăng trụ trong các kỳ thi học kỳ, thi Tốt nghiệp THPT
Ở đây, tôi hệ thống lại một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải bài toán
tính thể tích liên quan đến giả thuyết về góc
Góc
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
A
C
B
S
Xác đònh Góc giữa SB và (ABC)
Ta có :
( )
SB
ABC
AB hc=

⇒

·
·

tuyến tại một điểm
Tài liệu lưu hành nội bộ 10 Lưu Tuấn Hiệp