Đề số 1:
đề thi học sinh giỏi huyện
Môn Toán Lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:
a)
1
.16 2
8
n n
=
; b) 27 < 3
n
< 243
Bài 2. Thực hiện phép tính:

1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
( ... )
4.9 9.14 14.19 44.49 89

+ + + +
Bài 3. a) Tìm x biết:
2x3x2
+=+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x
+
Khi x thay đổi
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm
đối diện nhau trên một đờng thẳng.
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối

Tỡm x bit:
a.
( )
1 4 2
3,2
3 5 5
x
+ = +
b.
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x
x x
+ +
=
Bi 3: (4 im)
a) S A c chia thnh 3 s t l theo
2 3 1
: :
5 4 6
. Bit rng tng cỏc bỡnh phng ca ba s
ú bng 24309. Tỡm s A.
b) Cho
a c
c b
=
. Chng minh rng:
2 2
2 2

v
ã
BME
Bi 5: (4 im)
Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú
à
0
A 20=
, v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc ABC).
Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh:
a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC
b) AM = BC
Ht
Đáp án đề 1toán 7
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
2
a)
1
.16 2
8
n n
=
; => 2
4n-3
= 2
n
=> 4n 3 = n => n = 1
b) 27 < 3
n
< 243 => 3

Ta có: x + 2

0 => x

- 2.
+ Nếu x

-
2
3
thì
2x3x2
+=+
=> 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2

x < -
2
3
Thì
2x3x2
+=+
=> - 2x - 3 = x + 2 => x = -
3
5
(Thoả mãn)
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x
+

1
11
yx
1
y
12
x
1
12
y
x
==

===>=
=> x =
11
4
x)vũng(
33
12
==>
(giờ)
Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một
đờng thẳng là
11
4
giờ
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối
tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA,
qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC


CAB
=>AE = BC
Đề số 2:
đề thi học sinh giỏi huyện
Môn Toán Lớp 7
4
D
B
A
H
C
I
F
E
M
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
− −

5 4 6
. Biết rằng tổng các bình phương của ba số
đó bằng 24309. Tìm số A.
d) Cho
a c
c b
=
. Chứng minh rằng:
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho
ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba
điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ
EH BC⊥

( )
H BC∈
. Biết
·
HBE
= 50

( )
( )
( )
( )
10
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4
6 3
12 6 12 5 9 3 9 3 3
9 3
2 4 5
12 4 10 3
12 5
9 3 3
10 3
12 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1
5 .7 . 1 2
5 .7 . 6
2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9
1 10 7
6 3 2
A
− − − −

3 10 2 5 3 10 2 10
n n n n−
× − × = × − ×
= 10( 3
n
-2
n
)
Vậy
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
M 10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2:(4 điểm)
a) (2 điểm)
( )
1
2
3
1
2
3
1 7
2
3 3
1 5
2
3 3
1 4 2 1 4 16 2




⇔
6
b) (2 điểm)

( ) ( )
( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x
x
x x
x x
+ +
+
− − − =
 
⇔ − − − =
 

( )
( )
( )
1 10
1
10



⇔



Bài 3: (4 điểm)
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c =
2 3 1
: :
5 4 6
(1)
và a
2
+b
2
+c
2
= 24309 (2)
Từ (1)
⇒
2 3 1
5 4 6
a b c
= =
= k
⇒
2 3

72
−
+(
135
−
) + (
30
−
) =
237
−
.
b) (1,5 điểm)
Từ
a c
c b
=
suy ra
2
.c a b=
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
+ +
=
+ +

AC = EB
Vì
AMC∆
=
EMB∆

·
MAC⇒
=
·
MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE .
b/ (1 điểm )
Xét
AMI∆
và
EMK∆
có :
AM = EM (gt )
·
MAI
=
·
MEK
( vì
AMC EMB∆ = ∆
)
AI = EK (gt )
Nên

c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE (
µ
H
= 90
o
) có
·
HBE
= 50
o
·
HBE⇒
= 90
o
-
·
HBE
= 90
o
- 50
o
=40
o

·
HEM⇒
=
·
HEB

Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh
∆
ADB =
∆
ADC (c.c.c)
suy ra
·
·
DAB DAC=
Do đó
·
0 0
20 : 2 10DAB = =
8
K
H
E
M
B
A
C
I
20
0
M
A
B
C
D

·
0 0
20 ; 10BAM ABD ABM DAB= = = =
Vậy:
∆
ABM =
∆
BAD (g.c.g)
suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
9
Đề số 3:
đề thi học sinh giỏi
Môn Toán Lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết
a 4
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn
9
10

và nhỏ hơn
9
11

Câu 3. Cho 2 đa thức
P
( )
x
= x
2

2
+
+
x
x

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD
vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
a. Chứng minh: DC = BE và DC

BE
b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM.
Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA
c. Chứng minh: MA

BC
10
Đáp án đề 3 toán 7
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết
a 4
0


a 4
=>
a
= 0; 1; 2; 3 ; 4
*

70 9 77x
< <

=> -77 < 9x < -70. Vì 9x
M
9 => 9x = -72
=> x = 8
Vậy phân số cần tìm là
7
8

Câu 3. Cho 2 đa thức
P
( )
x
= x
2
+ 2mx + m
2
và
Q
( )
x
= x
2
+ (2m+1)x + m
2
Tìm m biết P (1) = Q (-1)
P(1) = 1
2

= = = =
=> x
2
= 4.49 = 196 => x =

14
=> y
2
= 4.4 = 16 => x =

4
Do x,y cùng dấu nên:
11
x = 6; y = 14
x = -6; y = -14
= =
1+3y 1+5y 1+7y
b/
12 5x 4x
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+ +
= = = = = =

1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=>
2 2
5 12
y y
x x

+
x


0. Dấu = xảy ra

x= -1.


A

5.
Dấu = xảy ra

x= -1.
Vậy: Min A = 5

x= -1.
B =
3
15
2
2
+
+
x
x
=
( )
3

2
+
x



3
12



3
12
2
+
x


4

1+
3
12
2
+
x


1+ 4


( do DAC = BAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 90
0
=> DC
⊥
BE
b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c)
=> D
1
= MEN, AD = ME
mµ AD = AB ( gt)
=> AB = ME (®pcm) (1)
V× D
1
= MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180
0
( trong cïng phÝa )
mµ BAC + DAE = 180
0
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3). Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm)
c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H. Tõ E h¹ EP
⊥
MH
XÐt AHC vµ EPA cã:
CAH = AEP ( do cïng phô víi gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA c©u b)
=> AHC = EPA





+














b-
( )
32
2003
23
12
5
.
5
2
1.



Câu 2 ( 2 điểm)
a- Tìm số nguyên a để
1
3
2
+
++
a
aa
là số nguyên
b- Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0
Câu 3 ( 2 điểm)
a- Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì
d
c
b
a
=
với b,d
khác 0
b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để đ ợc một số có ba chữ số
giống nhau .
Câu 4 ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 45
0
, góc C bằng 120
0
. Trên tia đối của tia CB lấy

a
a
a
aa
vì a là số nguyên nên
1
3
2
+
++
a
aa
là số nguyên khi
1
3
+
a
là số
nguyên hay a+1 là ớc của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1 -3 -1 1 3
a -4 -2 0 2
Vậy với a
{ }
2,0,2,4

thì
1
3
2
+

y
Hoặc



=
=




=
=
1
1
112
121
y
x
x
y
Vậy có 2 cặp số x, y nh trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra
d
c

không thoả mãn
Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó
666
2
)1(
=
+
nn
thoả mãn
Vậy số số hạng của tổng là 36
0,25
0,5
4
B C
D
H
A
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =60
0
do đó CDH = 30
0
Nên CH =
2
CD


CH = BC
Tam giác BCH cân tại C

CBH = 30

-1 chia hết cho 3 do đó 2y
2
chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x
2
=19
không thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu bài
là (2;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
16
§Ò sè 5:
®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (3đ):
1, Tính: P =
1 1 1 2 2 2
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 5 3 3 3
2003 2004 2005 2002 2003 2004
+ − + −
−
+ − + −
2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
3, Cho: A =
3 2 2
2