TRẦN SĨ TÙNG
---- ›š & ›š ----
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

2
)
Hàm số f nghòch biến trên K Û ("x
1
, x
2
Ỵ K, x
1
< x
2
Þ f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Ỵ I
b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Ỵ I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I.
c) Nếu f¢(x) = 0, "x Ỵ I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y

42
1
21
4
yxx=-- h)
42
23yxx=--+ i)
42
11
2
1010
yxx=+-
k)
21
5
x
y
x
-
=
+
l)
1
2
x
y
x
-
=
-

3
xx
y
x
-+
=
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 2
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
432
6831yxxx=-+-- b)
2
2
1
4
x
y
x
-
=
-
c)
2
2
1

yxx
ỉư
=-<<
ç÷
èø
pp
l) sin2
22
yxxx
ỉư
=--<<
ç÷
èø
ppVẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)
Cho hàm số (,)yfxm= , m là tham số, có tập xác đònh D.

·
Hàm số f đồng biến trên D
Û
y
¢

³
0,
"
x

0
ab
c
yxR
a
é
ì
==
í
ê
³
ỵ
³"ỴÛ
ê
ì
>
ê
í
ê
£
ỵ
ë
D

·

0
0
'0,
0

D
< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

·
Nếu
D
= 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
2
b
a
-)

·
Nếu
D
> 0 thì g(x) có hai nghiệm x
1
, x
2
và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của tam thức bậc hai
2
()gxaxbxc=++ với số 0:

·

ï
>
ỵ
D

·

12
00xxP<<Û<
5) Để hàm số
32
yaxbxcxd=+++ có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x
1
; x
2
) bằng
d thì ta thực hiện các bước sau:

·
Tính y
¢
.

·
Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến:

0
0
a
ì

391
3
x
yxx=-++ c)
21
2
x
y
x
-
=
+

d)
2
23
1
xx
y
x
+-
=
+
e) 3sin(31)yxx=-+ f)
2
21xmx
y
xm
--
=

2
21xmx
y
xm
--
=
-
f)
22
23
2
xmxm
y
xm
-+
=
-

Bài 4. Tìm m để hàm số:
a)
32
3yxxmxm=+++ nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
b)
32
11
231
32
yxmxmxm=-+-+ nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
c)
32

=
-
đồng biến trong khoảng (–1; +¥).
e)
22
23
2
xmxm
y
xm
-+
=
-
đồng biến trên khoảng (1; +¥).
f)
2
23
21
xxm
y
x
--+
=
+
nghòch biến trên khoảng
1
;
2
ỉư
-+¥

tiếp tục xét dấu h
¢
(x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
3
sin,0
6
x
xxxvớix-<<> b)
21
sintan,0
332
xxxvớix+><<
p

c) tan,0
2
xxvớix<<<
p
d) sintan2,0
2
xxxvớix+><<
p

Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

66120
xxx
xxxvớix-<<-+>
Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 1,0
x
exvớix>+> b) ln(1),0xxvớix+<>
c)
1
ln(1)ln,0
1
xxvớix
x
+->>
+
d)
( )
22
1ln11xxxx+++³+
Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
0
tan551,4> b)
0
17
sin20
320
<< c)
23
log3log4>


11
;
22
ỉư
-
ç÷
èø
.
c) Xét hàm số ()log(1)
x
fxx=+ với x > 1.
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 5
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

·
Chọn được nghiệm x
0
của phương trình.

·
Xét các hàm số y = f(x) (C
1
) và y = g(x) (C
2

157751378xxxx++-+-+-< b)
2
272735xxxxx+++++<
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
32
32
32
21
21
21
xyyy
yzzz
zxxx
ì
+=++
ï
í
+=++
ï
+=++
ỵ
b)
32
32
32
2
2
2
xyyy

6128
6128
6128
yxx
zyy
xzz
ì
=-+
ï
í
=-+
ï
=-+
ỵ

HD: a, b) Xét hàm số
32
()ftttt=++ c) Xét hàm số f(t) = tant + t
d) Xét hàm số
2
()6128fttt=-+

Ỵ (a; b) sao cho
f(x) > f(x
0
), với "x Ỵ (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x
0
là điểm cực trò của f thì điểm (x
0
; f(x
0
)) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trò tại điểm đó thì f¢ (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò
1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm
trên (a; b)\{x
0


VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.

·
Tìm f
¢
(x).

·
Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

·
Xét dấu f
¢
(x). Nếu f
¢
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trò tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.

·
Tính f
¢
(x).

II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 7
Bài 1. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
23
32yxx=- b)
32
221yxxx=-+- c)
32
1
415
3
yxxx=-+-
d)
4
2
3
2
x
yx=-+ e)
42
45yxx=-+ f)
4
2
3
22
x
yx=-++
g)

Bài 2. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
34
(2)(1)yxx=-+ b)
2
2
421
23
xx
y
xx
+-
=
+-
c)
2
2
344
1
xx
y
xx
++
=
++

d)
2
4yxx=- e)
2
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x
0
thì f
¢
(x
0
) = 0 hoặc tại x
0
không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x
0
thì f
¢
(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
.
Chú ý:

·
Hàm số bậc ba
32
yaxbxcxd=+++ có cực trò
Û
Phương trình y
¢
= 0 có hai nghiệm
phân biệt.

(aa
¢¹
0) có cực trò
Û
Phương trình y
¢
= 0 có hai
nghiệm phân biệt khác
'
'
b
a
- .
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x
0
) bằng hai cách:

0
0
0
()
()
()
Px
yx
Qx
= hoặc
0

y
xm
+--+
=
-
d)
2
2
1
xmxm
y
xm
+-+
=
-+

Bài 2. Tìm m để hàm số:
a)
32
(2)35ymxxmx=+++- có cực đại, cực tiểu.
b)
322
3(1)(232)(1)yxmxmmxmm=--+-+-- có cực đại, cực tiểu.
c)
322
3(1)2yxmxmx=-+-+ đạt cực đại tại x = 2.
d)
42
2(2)5ymxmxm=-+-+- có một cực đại
1

=
-
có một giá trò cực đại bằng 0.
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trò:
a)
32
3334yxxmxm=-+++ b)
32
3(1)1ymxmxmx=+---
c)
2
5
3
xmx
y
x
-++
=
-
d)
22
(1)42
1
xmxmm
y
x
-+-+-
=
-


+
đạt cực trò tại x = 0 và x = 4.
e)
2
2
2
1
axxb
y
x
++
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Bài 5. Tìm m để hàm số :
a)
3222
2(1)(41)2(1)yxmxmmxm=+-+-+-+ đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao
cho:
12
12
111
()
2
xx
xx

2
1
xmxm
y
xm
+-+
=
-+
có cực đại, cực tiểu và các giá trò cực đại, cực tiểu cùng dấu.
b)
22
(1)42
1
xmxmm
y
x
-+-+-
=
-
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trò cực đại, cực
tiểu đạt giá trò nhỏ nhất.
c)
2
3
4
xxm
y
x
-++
=

2
2xmxm
y
xm
++-
=
-
có hai điểm cực trò nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh
hai điểm cực trò luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.
d)
2
1
xmx
y
x
+
=
-
có khoảng cách giữa hai điểm cực trò bằng 10.
e)
2
25
1
xmx
y
x
-++
=
-
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường

=
+
có hai điểm cực trò nằm ở hai phía đối với đường thẳng
(d): 2310xy--= .
Bài 9. Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
2
(1)21xmxm
y
xm
-++-
=
-
có hai điểm cực trò ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng toạ độ.
b)
222
2(41)322
2
mxmxmm
y
xm
++++
=
+
có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ
hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 10
c)

¢
(x) + Ax + B.

·
Khi đó, giả sử (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) là các điểm cực trò thì:

111
222
()
()
yfxAxB
yfxAxB
ì
==+
í
==+
ỵÞ
Các điểm (x
1

'()
Px
y
Qx
= .

·
Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trò ấy là:
'()2
'()
Pxaxb
y
Qxd
+
== .

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số :
a)
32
21yxxx=--+ b)
23
32yxx=- c)
32
368yxxx=--+
d)
2
21
3
xx

322
3(1)(232)(1)yxmxmmxmm=--+-+-- d)
2
2
1
xmxm
y
xm
+-+
=
-+

Bài 3. Tìm m để hàm số:
a)
32
23(1)6(2)1yxmxmx=+-+-- có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song
với đường thẳng y = –4x + 1.
b)
32
23(1)6(12)yxmxmmx=+-+- có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò nằm trên
đường thẳng y = –4x.
c)
32
73yxmxx=+++ có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc
với đường thẳng y = 3x – 7.
d)
322
3yxxmxm=-++ có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng (D):
15

D
fxmxD
mfx
xDfxm
ì
³"Ỵ
=Û
í
$Ỵ=
ỵ

2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
[;][;]
max()(),min()()
abab
fxfbfxfa==.
b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì
[;][;]
max()(),min()()
abab
fxfafxfb==.

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

·
Tính f
¢
(x).

2
), …, f(x
n
).

·
So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.

{ }
12
[;]
max()max(),(),(),(),...,()
n
ab
Mfxfafbfxfxfx==

{ }
12
[;]
min()min(),(),(),(),...,()
n
ab
mfxfafbfxfxfx==

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
43yxx=++ b)
34
43yxx=- c)

x
=+> h)
2
2
1
1
xx
y
xx
-+
=
++
i)
42
3
1
(0)
xx
yx
xx
++
=>
+

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
32
23121yxxx=+-+ trên [–1; 5] b)
3
3yxx=- trên [–2; 3]

477
2
xx
y
x
++
=
+
trên [0; 2] h)
2
2
1
1
xx
y
xx
-+
=
+-
trên [0; 1]
i)
2
100yx=- trên [–6; 8] k) 24yxx=++-
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2sin1
sin2
x
y
x

42523yxxxx=-++-+ h)
22
443yxxxx=-++-+

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.

·
Chứng minh một bất đẳng thức.

·
Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở
thành đẳng thức.

Bài 1. Giả sử
{ }
(;;)/0,0,0,1Dxyzxyzxyz=>>>++= . Tìm giá trò lớn nhất của biểu
thức:
111
xyz
P
xyz
=++
+++
.
HD:
111
3
111
P

1
3
. Vậy
3
min
4
D
P = .
Bài 2. Cho D =
5
(;)/0,0,
4
xyxyxy
ìü
>>+=
íý
ỵþ
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:

41
4
S
xy
=+ .
HD:
( )
11111
425
4
xxxxy


22
1
11
xy
Pxy
xyxy
=++++
--+
.
HD:
22
1
(1)(1)2
11
xy
Pxy
xyxy
=++++++-
--+
=
111
2
11xyxy
++-
--+
.
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
[ ]
111

3
. Vậy minP =
5
2
.
Bài 4. Cho D =
{ }
(;)/0,0,4xyxyxy>>+³ . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:

22
2
342
4
xy
P
x
y
++
=+
.
HD:
2
11
2
4882
xyyxy
P
x
y
ỉư

x = y = 2. Vậy minP =
9
2
.

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trò
Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
Gọi y
0
là một giá trò tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

0
()(1)
(2)
fxy
xD
ì
=
í
Ỵ
ỵ

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện
ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m
£
y
0

£
M (3)

c)
2sincos1
sin2cos3
xx
y
xx
++
=
-+

d)
2sincos3
2cossin4
xx
y
xx
++
=
-+
VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min();max()
DD
fxmfxM==. Khi đó:
1) Hệ phương trình
()fx
xD
ì

3) Hệ bất phương trình
()fx
xD
ì
£
í
Ỵ
ỵ
b
có nghiệm
Û
m
£

b
.
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 14
4) Bất phương trình f(x)
³

a
đúng với mọi x
Û
m
³

a
.
5) Bất phương trình f(x)

2
21xxm++> b)
2
29mxxm+<+ c)
4
40mxxm-+³
Bài 4. Cho bất phương trình:
32
210xxxm-+-+<.
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau:
a) 31mxxm--£+ có nghiệm. b) (2)1mxmx+-³+ có nghiệm x Ỵ [0; 2].
c)
22
(1)1mxxxx-+£++ nghiệm đúng với mọi x Ỵ [0; 1].
2. Tính chất:
· Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x
0
, f¢¢(x
0
) = 0 và
f¢¢(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
thì
( )
00
;()Uxfx là một điểm uốn của đồ thò hàm số.
· Đồ thò của hàm số bậc ba
32
yaxbxcxd=+++ (a ¹ 0) luôn có một điểm uốn và đó
là tâm đối xứng của đồ thò.

Bài 1. Tìm điểm uốn của đồ thò các hàm số sau:
a)
32
632yxxx=-++ b)
32
399yxxx=--+ c)
42
63yxx=-+
d)
4
2
23
4


e)
3
2
32
x
ymx
m
=-+-; I(1; 0) f)
32
34ymxmx=++; I(–1; 2)
Bài 3. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có 3 điểm uốn:
a)
5
43
4
(43)51
53
x
yxmxx=-+++- b)
2
2
1
1
xmx
y
x
+-
=
+

-
=
+

d)
2
21
1
x
y
x
+
=
+
e)
2
1
x
y
x
=
+
f)
2
2
25
1
xx
y
xx

x
y
xx
=
-+

Bài 5. Tìm m, n để đồ thò của các hàm số:
a)
432
2621yxxxmxm=--++- có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).
b)
3
2
2
33
x
yxmx=--++ có điểm uốn ở trên đường thẳng 2yx=+.
c)
42
1
4
yxmxn=-++ có điểm uốn ở trên Ox.

IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng
Trang 16 1. Đònh nghóa:
· Đường thẳng

®
=-¥
· Đường thẳng
0
yy= đgl đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số ()yfx= nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0
lim()
x
fxy
®+¥
= ;
0
lim()
x
fxy
®-¥
=
· Đường thẳng ,0yaxba=+¹ đgl đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số ()yfx=
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

[ ]
lim()()0
x
fxaxb
®+¥
-+=;
[ ]
lim()()0

®+¥®+¥
==-
hoặc
[ ]
()
lim;lim()
xx
fx
abfxax
x
®-¥®-¥
==-

Bài 1. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
25
1
x
y
x
-
=
-
b)
103
12
x
y
x
+

=
-
f)
2
745
23
xx
y
x
++
=
-

Bài 2. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2
45
x
y
xx
=
-+
b)
2
2
9
x
y
x
+

xx
y
x
++
=
+
f)
4
3
4
1
xx
y
x
-+
=
-

Bài 3. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2
4yxx=- b)
2
42
9
x
y
x
+
=

y
x
-+
=
-

Bài 4. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
21
21
x
x
y
+
=
-
b) ln
2
xx
ee
y
-
-
= c)
2
ln(56)yxx=-+
Bài 5. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
a)
2
3

(32)21
5
xmxm
y
x
+++-
=
+
b)
2
(21)3
2
mxmxm
y
x
++++
=
+

Bài 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thò các hàm số sau chắn
trên hai trục toạ độ:
a)
2
31
1
xx
y
x
++
=

x
+-
=
-
; S = 8 b)
2
(21)23
1
xmxm
y
x
+--+
=
+
; S = 8
c)
2
22(21)45
1
xmxm
y
x
+++-
=
+
; S = 16 d)
2
22
1
xmx

7
3
xx
y
x
+-
=
-
Khảo sát hàm số Trần Só Tùng

2
– 3ac > 0

y’ = 0 có nghiệm kép
Û D’ = b
2
– 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm
Û D’ = b
2
– 3ac < 0

y
x
0
I
y
x
0
I
y
x 0
I
y
x
0
I
y
x 0

ỵþ
.
· Đồ thò có một tiệm cận đứng là
d
x
c
=- và một tiệm cận ngang là
a
y
c
=. Giao điểm
của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.
· Các dạng đồ thò: 5. Hàm số hữu tỷ
2
(.'0,)
''
axbxc
yaatửkhôngchiahếtchomẫu
axb
++
=¹
+
:
· Tập xác đònh D =
'
\
'

Û ab > 0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
0
ad – bc > 0
x
y
0
ad – bc < 0
x
y

342yxxx=---+
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
42
21yxx=-- b)
42
41yxx=-+ c)
4
2
5
3
22
x
yx=-+
d)
22
(1)(1)yxx=-+ e)
42
22yxx=-++ f)
42
248yxx=-++
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
1
2
x
y
x
+
=

31
3
x
y
x
-
=
-
f)
2
21
x
y
x
-
=
+

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
2
1
1
xx
y
x
++
=
+
b)

1
x
y
x
=
-
f)
2
2
1
xx
y
x
-
=
+

Bài 5. Vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
3
32yxx=-+ b)
32
32yxx=-+- c)
42
23yxx=--
d)
1
1
x
y

x
y
y
0
x
0
x
y
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số
Trang 21 1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Cho hai đồ thò (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C
1
) và
(C
2
) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thò.
2. Đồ thò hàm số bậc ba
32
(0)yaxbxcxda=+++¹ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Û Phương trình
32
0axbxcxd+++= có 3 nghiệm phân biệt.

1
24
x
y
x
yxx
ì
-
=
ï
í-
ï
=-++
ỵ
c)
3
43
2
yxx
yx
ì
=-
í
=-+
ỵ

d)
42
2
1

x
yx
ì
ï
=
í
-
ï
=-+
ỵ

Bài 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a)
3
32
(2)
yxx
ymx
ì
=-+
í
=-
ỵ
b)
32
2
32
113
212
xx

d)
21
2
2
x
y
x
yxm
ì
+
ï
=
í
+
ï
=+
ỵ
e)
1
1
2
x
y
x
yxm
ì
+
ï
=
í

ì
ï
=-++
í
-
ï
=+
ỵ
h)
2
33
2
41
xx
y
x
ymxm
ì
-+
ï
=
í
-
ï
=--
ỵ
i)
3
2
21

yyxm
x
-+
==+
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
c)
2
;2
1
mxxm
yymx
x
++
==+
-
cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
d)
2
45
;2
2
xx
yymx
x
++
==+
+
cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
e)

32
3(12)1ymxmxmx=+--- cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c)
22
(1)(3)yxxmxm=--+- cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d)
322
2221;22yxxxmyxx=+-+-=-+ cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e)
3222
23;21yxxmxmyx=+-+=+ cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Bài 5. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
42
21;yxxym=--= cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.
b)
423
(1)yxmmxm=-++ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
c)
422
(23)3yxmxmm=--+- cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Bài 6. Tìm m để đồ thò của các hàm số:
a)
31
;2
4
x
yyxm
x
+

a)
32
368yxmxmx=-+- cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp
số cộng.
b)
32
391;4yxxxyxm=--+=+ cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm
của đoạn AC.
c)
422
(24)yxmxm=-++ cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp
số cộng.
d)
32
(1)(1)21yxmxmxm=-+--+- cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập
thành một cấp số nhân.
e)
32
3(22)9192yxmxmx=++++ cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành
một cấp số nhân.
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số

Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = kx + m
· Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương
với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m).
· Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, … của (C)
có hệ số góc k.
· Dựa vào các tung độ gốc b, b
1
, b
2
, … của d, d
1
, d
2
, …
để biện luận.
Dạng 4: F(x, m) = 0 Û f(x) = m(x – x
0
) + y
0
(4)
Khi đó (4) có thể xem là phương trình
hoành độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)


£
x
£

b
thì ta chỉ vẽ đồ thò (C): y = f(x)
với
a

£
x
£

b
.

·
Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.

y
x
m A
(C)
c.
(d) : y = m
c.
y
CĐ


2

O
y
x
0

d
3

d
1

y
0

0
(C)
c.
M
1

M
2

d
2

m = –¥
m = +¥

e)
4
242
22;4420
2
x
yxxxm=-++--+= f)
4242
22;220yxxxxm=-+--+=
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:
a)
2
2
57
;(5)370
3
xx
yxmxm
x
-+
=-+++=
-

b)
2
2
242
;22(2)320
23

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:
a)
2
2
2
;2sin2cos20(0)
21
x
ymm
x
=+--=££
-
aaap

b)
2
23
;cos2(3)cos210(0)
2
xx
ymm
x
-
=-+++=££
-
aaap

c)
2


b)
2
1
;2(1)21
1
tt
xx
ymm
x
-
+-
=+-=-
-

c)
2
2
254
;2(5)40
1
tt
xx
yemem
x
-+
=-+++=
-

d)