NHỊ THỨC NEWTON

1. Công thức Newton
Định lí:
0 1 1 2 2 2 1 1
( ) ...
n n n n n n n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C ab C b
   
      

2.Nhận xét
Trong khai triển Newton (a+b)
n
có các tính chất sau
* Gồm có n+1 số hạng
* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
*Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
*Các hệ số có tính đối xứng:
k n k
nn
CC



* Số hạng tổng quát :
1
k n k k
kn
T C a b

Từ khai triển này ta có các kết quả sau
*
01
... 2
nn
n n n
C C C   

*
0 1 2
... ( 1) 0
nn
n n n n
C C C C     

3. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xác định các yếu tố trong khai triển như
*Xác định hệ số của x
k
trong khai triển
* Xác định hệ số không chứa x
PP: Dùng công thức khai triển , khi đó
1
k n k k
kn
T C a b





x
trong khai triển
17
4
3
3
2
1
x
x






4) Tìm các số hạng không chứa
x
trong khai triển của
7
3
4
1
x
x






22
(2 2 ) (2 ) ... (2 )
xx
xx
n n n n
nn
CC


   
(n là số nguyên
dương). Biết trong khai triển đó
31
5
nn
CC
và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm x và n?.
7)Trong khai triển nhị thức
28
3
15
n
x x x






, hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào

n
x
xx
x




bằng
36 . Hãy tìm số hạng thứ 7.
10)Tìm hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển
12
3
3
x
x





11)Tính hệ số của
25 10
xy
trong khai triển
 
15

14)Trong khai triển
   
10
11 10 9
1 2 10 11
1 2 ...x x x a x a x a x a       
, hãy tìm hệ
số
5
a
.
15)Khai triển
 
5
2 3 2 15
0 1 2 15
1 ...x x x a a x a x a x       

a) Hãy tính hệ số
10
a

b) Tính tổng
0 1 15
...T a a a   
và
0 1 2 15
...S a a a a    
 
15
3
x xy

19)Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển
10
3
5
1
x
x





20)Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển
 
6
3 15

21) Tìm số hạng của khai triển
 
9
3
32
là một số nguyên
22)Trong khai triển
 

k
a
lớn nhất? (
0,1,2, , 10k 
).
25) Biết tổng các hệ số trong khai triển
 
2
1
n
x 
bằng 1024, hãy tìm hệ số a của số
hạng
12
ax
trong khai triển đó.

26) Với n là số nguyên dương, gọi a
3n-3
là hệ số của x
3n-3
trong khai triển thành đa
thức của (x
2
+1)
n
(x+2)
n
. Tìm n để a
3n-3

      0 1 1 0
) ...
k k k k
m n m n m n m n
b C C C C C C C


   

Ví dụ 2: Tính các tổng sau

0 1 2
1 1 1
) ...
2 3 1
n
n n n n
a C C C C
n
   
12
) 2 ...
n
n n n

x

, biết
1 2 20
2 1 2 1 2 1
... 2 1
n
n n n
C C C
  
    
.
Ví dụ 5: Áp dụng khai triển nhi thức Newton của (x
2
+x)
100
, chứng minh rằng
2 99 1 100 99 198 100 199
100 100 100 100
1 1 1 1
100 ( ) 101 ( ) ... 199 ( ) 200 ( ) 0
2 2 2 2
C C C C    

Ví dụ 6: Tính tổng
21
01
3 1 3 1
...
21



Bài tập
1. Xét khai triển
20
1
(2 )x
x


a) Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển
b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x
2. Xác định hệ số của x
4
trong khai triển
2 10
( ) (3 2 1)f x x x  

3. Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau

28
3
15
) ( ) ( )
n
a f x x x x


biết rằng
12

a a a


. Tính n=?
5. Tìm hệ số chứa x
8
trong khai triển nhị thứ Newton của
5
3
1
()
n
x
x

, biết rằng
1
43
7( 3)
nn
nn
C C n


  

6. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2

1 2 2 3 3 4 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 ... (2 1)2 2005
nn
n n n n n
C C C C n C

    
      

10. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển thành đa thức của (2-3x)
2n
, biết n là số nguyên
dương thỏa mãn
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
... 1024
n
n n n n
C C C C

   
    
.
11. Giả sử
2
0 1 2
(1 2 ) ...

(1 )
1.3.5....(2 1)(2 1)
n
nn
I x dx
nn

  


. Hãy tính tổng sau
1 2 3
1 1 1 ( 1)
1 ...
3 5 7 2 1
n
n
n n n n
S C C C C
n

     


15. Tính các tổng sau

1 3 2 3 3 3
23
0 1 2 3
1 1 2 2 3 3

n
    


Bổ sung các tính chất
Chứng minh các đẳng thức sau:
1
11
1
1
1
11
21
2
1 2 3 4
4
1)
2)
3)
4) 2 (2 )
5) 4 6 4 (4 )


6) mọi n≥2 ta ln có:
2 2 2
23
1 1 1 1
...
n
n
A A A n

   

7) Tính giá trị của biểu thức
43
1
3
( 1)!
nn
AA
M
n




biết
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n