Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 1
TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN
A. Lý thuyết:
I. TỔ HỢP:
1. Định nghĩa:
Cho n phần tử khác nhau. Một tổ hợp chập n phần tử là một tập con chứa r phần
tử
2.
Số tổ hợp n chập r là
 
)!(!
!
....3.2.1
)1)...(3)(2(1
rnr
n
r
rnnnnn
C
r
n





3. Tính chất:

r
n
r
n
1
11




d)
CC
r
n
r
n
r
rn
1
1
1





e)
2
........
210

(1)

Nhận xét: trong biểu thức ở VP của công thức (1)
- Số hạng tử là n+1.
- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến
n, nhưng tồng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n
(qui ước a
0
= b
0
= 1).
- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
- Số hạng tử thứ k+1 la T
k+1
= C
n
k
a
n – k
b
k

Chú ý:
a = b = 1 ta có
CCCCCC
n
n
n
n
k

 
baC
ba
iin
n
i
i
n
n





0

Khi đó:
Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 2
Hệ số của số hạng tử thứ i là
C
i
n

Số hạng tử thứ i là
baC
iini
n



Hệ số của
x
k
là
C
i
n
trong đó I là nghiệm của phương trình :
kiin 

)(

Khi k = 0 đó là số hạng không phụ thuộc vào x

Dạng 5: Sử dụng khai triển Newton chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức

2ba 
=



5
0
5
5
.)2.(
k
kkk
abC

=
500
5
.)2.( abC
+
411
5
.)2.( abC
+ … +
055
5
.)2.( abC

=
5
a

)2.()3.(
k
kkk
xC

Bài 3: Tính
a) S=
5
5
52
5
21
5
0
5
... CxCxxCC 

Ta có:

2433
2...223
2...22)21(
...)1(
5
5
5
52
5
21
5
c) C =
0
n
C
+
2
1
n
C
+ … +
1n
C
n
n 
dxx
n


1
0
1
=
 
dxxCxCC
nn

1
12
1



n
n

d) D =
1
n
C
- 2
2
n
C
+ … +
1
)1(


n
. n.
n
n
C 

nnn
xnCxCxCC

Chọn n
1
)11(


n
= D

D = 0
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
A =
12
2
3
2
1
2
...


n
nnn
CCC

B =
n
nnn

0
2
...

=
n
)11( 

=
n
2
(1) Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 4
và A - B =
12
2
3
2
1
2
...


n
nnn
CCC
-



x
x
c
x
x
x
x
x
CCCC
= 1023
)10( x
109210
...
xxxxx
CCCCC 
= 1024



x
2
=
10
2


T
13


k+1 = 13

k = 12
Khi đó T
123
3
12
1513
)2.()3.(C

= 87360.
Vậy T
13
= 87360
Bài 2: Tìm số hạng thứ 5 của khai triển
13
3
1







z

135
)
1
.(.
z
zC


= 715.
3
8
z
z

Vậy T
5
= 715.
3
8
z
z

Mặt khác, ta có: T
kkk
k
z
zC )
1
.(.
3

Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 5













9
6
3
0
k
k
k
k+ Với k=0 T
1
=
13
z

Vậy các số hạng chứa z với số mũ tự nhiên là
T
1
=
13
z
, T
3
= -286
9
z
, T
7
= 1716
5
z
, T
10
= -175
z

Bài 3: Viết lại P(x) =
 
x1
+ 2
 
2
1 x
+ … + 20
 

20
1 x

= (1 + 2
0
2
C
+ 3
0
3
C
+ … + 20
0
20
C
) + (1 + 2
1
2
C
+ 3
1
3
C
+ … + 20
1
20
C
)
x


+ 10
9
10
C
+ … + 20
9
20
C

Bài 4: Trong khai triển
n
xxx










15
28
3
hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết:

n
n
C



2
n
+ n - 156 = 0








13
12
n
n


n = 12
Số hạng thứ k + 1 là T
 
k
kn
k
k
xxxC





5
16
3
4 kn

= 0

k = 5


5
12
C
= 792
Bài 6 : Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển
n
x
x









4
2