BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:………………………………
ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:………………………………

KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009 (Đợt 2)
Môn thi: GIẢI TÍCH
(Dành cho cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1.
a. Cho dãy số
thực





. Chứng minh rằng nếu chuỗi








hội tụ tại 

thì nó sẽ hội tụ tại mọi 

.
b. Cho chuỗi hàm

Cho



là một không gian mêtric. Trên  ta định nghĩa















a. Chứng minh rằng 

là một mêtric trên .
b. Chứng minh rằng



là một không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi





sao cho
 






 với tích vô hướng











.
Giả sử





là một dãy số phức bị chặn. Cho 

-----------------------------------------------------
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:………………………………
ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:………………………………

KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2010 ( Đợt 1)
Môn thi: GIẢI TÍCH
(Dành cho cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1.
a. Chứng minh bất đẳng thức
2
 + 2
< ln

 + 1

,  
+
.
b. Cho  > 1, tìm tất cả các số thực  để chuỗi sau hội tụ




 1


=1

Câu 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên  > 1, hệ phương trình sau có nghiệm
duy nhất trong tập  =

0; 1



0; 1

:



+ 

+  = 3

2
+
2
+ = 6.
Câu 3. Cho  =

0;1

với chuẩn




,  ,

0; 1

.
Chứng minh  là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tìm



.

Câu 4. Cho  là một không gian Hilbert.
a. Giả sử



,


là hệ trực giao trong . Chứng minh rằng, chuỗ
i




=1

hội tụ yếu khi và chỉ khi nó hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn).


ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 1 NĂM 2010

Câu 1. (4đ)
a. Xét hàm 



= ln

1 +


2
+2
, 0. Ta có 




=


+4


+1

+2


= 1 +

. Theo trên ta có
2



+ 2
<
1

ln = ln

1 +


<

hay 

2


+ 2
< ln <

(0,5)
Suy ra lim




< 1, ta xét hàm




=

,

, khi đó 



+

=





= 1 tại mọi



< 1. Suy
ra  không khả vi tại các điểm

,


2

,


1

2


,


1
,
1

,


2
,
2



,

là không gian metric đầy đủ. (0,5đ)


,


2
,
2

 ta có



1
,
1

,


2
,
2

 =
= max


1



1


2

+
1


2





1


2


+


1


2





1
2

2
2
+
1
2

2
2




1
2

2
2

+


1
2

2

. (0,5)
Do đó 


1
,
1

,


2
,
2


2
3



1
,
1

,


2
,






1


+

1











. Nên








Vậy



= 1. (0,5đ)

Câu 4. (2đ)
a. Đặt 

=




=1
. Giả sử lim



=
0.
Khi đó với mọi  ta có
lim


<


0
, >


, >

=<
0
, >.
Do đó dãy

<

, >


bị chặn. Theo nguyên lý bị chặn đều




,.
Suy ra




2
=
 





2
=<

,

 >=<

,

><,

> <

, > +
+<, > =




2
<,

> <

, > +



2




















Nên chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Abel tại mọi 


a. Ta có 



















.
Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối tại mọi  và hội tụ đều trên các khoảng













































Vậy









đơn điệu tăng trên






. (0,5đ)
b. (1đ)




cơ bản trong








cơ bản trong


khi đó tồn tại
trên  dãy




mà







. Khi đó dãy 






hội tụ về 0 nhưng







