CHUYÊN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT TOÁN CHIA HẾT
❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈
I) KIÊN THỨC CƠ BẢN
1) Đònh nghóa:
a, b ∈ Z ( b ≠ 0 ) bao giờ cũng có duy nhất cặp số q,r sao cho a = bq + r với 0 < r <b
+ a là số bò chia ; b là số chia ; q là thương số ; r là số dư ( Trong đó r = 0;1;2; ... b  -1 )
+ Nếu r =0 thì a =bq ta nói a chia hết cho b ( a  b) hay a là bội của b hay b là ước của a
+ Nếu r ≠ 0 thì phép chia a cho b là phép chia còn dư
2) Một số tính chất:
1) a Μ a ( a ≠ 0 )
2) a Μ b ;b Μ c ⇒ a Μ c ( b, c ≠ 0)
3) a Μ b ⇒ ka Μ b ( b ≠ 0)
4) a Μ b ,a Μ c trong đó b,c là hai số nguyên tố cùng nhau thì a Μ ( bc)
5) aΜ c , bΜ c thì ( a + b) Μ c ; ( a - b ) Μc
6) ( a.b) Μc trong đó a,c là hai số nguyên tố cùng nhau thì bΜ c
7) ( a - b ) Μ c thì avà b chia cho c có cùng số dư
8) a ≡ b ( M m) ; c ≡ d (M m) ⇒ a+c ≡ b +d ( M m)
a.c ≡ b.d ( M m)
9 ) a ≡ b(Mm) ⇒ a
n
≡ b
n
(Mm)
3 ) Dấu hiệu chia hết cho 2;3;5 ;4; 9;25;11.....
4) Một số hằng đẳng thức đáng nhớ :
1 ) ( a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2

2
= ( a -b) (a + b) ⇒ ( a
2
- b
2
) Μ (a - b) ; ( a
2
- b
2
) Μ ( a + b)
4) a
n
- b
n
= ( a -b)( a
n-1
+ a
n-2
b +a
n-3
b
2
......+ ab
n-2
+ b
n-1
) ⇒ (a
n
- b
n

2n
= ( a+b)(a
2n-1
-a
2n-2
b + a
2n-3
b
2
- ......... +ab
2n-2
- b
2n-1
) ⇒(a
2n
- b
2n
) Μ (a + b)
II) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT
A) PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA:
Bài 1) Chứng minh rằng :
a) S = 5 +5
2
+5
3
+.......+ 5
99
+5
100
chia hết cho 6

+2
9
+2
10
) + (......) ....(2
k
+2
k+1
+2
k+2
+2
k+3
+2
k+4
).....
.......+ (2
96
+2
97
+2
98
+2
99
+2
100
) = 2(1+2+2
2
+2
3
+2

+2
16
+ .....+2
96
)
Vậy A Μ 31
c) B = 16
5
+(2
3
)
5
= 16
5
+ 8
5
= (2.8)
5
+ 8
5
= 8
5
( 2
5
+ 1) = 8
5
.33
Vậy B Μ33
d) D = ( 1+ 1995) . 1995/2 = 1995.998 ⇒ D Μ 1995
Bài2 )

Bài4 : Cho a,b ∈ Z .chứng minh rằng : ( 3a + 2b) Μ 17 khi và chỉ khi ( 10a + b ) Μ17
Giải
Cách 1 : 10a +b =34a + 17b - 24a -16b = 17( 2a + b) -8( 3a + 2b)
(10a + b) Μ17 khi và chỉ khi ( 3a + 2b) Μ17
Cách 2 : Xét 2(10a + b) - ( 3a + 2b) = 17a Μ17
Vậy nếu (10a + b) Μ17 khi và chỉ khi (3a + 2b) Μ17
Bài 5 : Chứng minh rằng : A = 2
9
+ 2
99
chia hết cho 200
Giải
A = 2
9
+ 2
99
= 2
9
( 1 + 2
90
) = 2
9
[ 1 + (2
10
)
9
]
mà [ 1 + (2
10
)

+ 39
21
= ( 21
39
- 1) + (39
21
+ 1)
3
mà (21
39
- 1)
M
( 21 - 1) ⇒ 21
39
- 1
M
5
(39
21
+ 1)
M
( 39 +1) ⇒ 39
21
+ 1
M
5
Vậy A
M
5
Từ điều kiện trên ta có A

n
= (121
n
- 64
n
)
M
( 121 - 64 ) ⇒ ( 11
2n
- 2
6n
)
M
57
Vậy A
M
285
Bài 3 ) Chứng minh rằng : ( 20
15
- 1 )
M
20861
* 20861 = 11.31.61
Đặt A = 20
15
- 1 = (20
15
+ 2
15
) - ( 2

11
Cách 1* 20
3
= 8000 ≡ 2(M 31) ⇒ (20
3
)
5
≡ 2
5
(M 31)
mà 2
5
= 32 ≡ 1(M 31) ⇒ 20
15
= (20
3
)
5
≡ 1(M 31 ) ⇒ ( 20
15
- 1)
M
31
⇒ A
M
31
* A = 20
15
- 1 = (20
3

M
20861
Cách 2 : A = 5
15
2
30
- 1 = 5
15
2
30
-

5
15
+ 5
15
- 1 = 5
5
(32
6
- 1) + (125
5
- 1)
vì 32 - 1 = 31 ; 125 - 1 = 124
M
31 . Vậy A
M
31
4
A = 20

15
)
M
( 81 - 20 ) ⇒ ( 81
15
- 20
15
)
M
61
Vậy A
M
20861
Bài 4 ) Cho số M = 3
40
- 1 và số N = 396880 .Chứng minh rằng M
M
N
N = 16.5.121.41
Giải : M = (3
4
)
10
- 1 = 81
10
- 1 = (81
5
- 1) (81
5
+ 1)

M
N
Bài 5) Cho số B = 27195
8
- 10887
8
+ 10152
8
Chứng minh : B

26460
Giải : 26460 = 2
2
.3
3
.5.7
2
ma(27195
8
- 10887
8
)ø
M
(27195 - 10887) ; mà 16308 = 4.27.121
M
2
2
.27 ;
Μ 10152 = 2
2

Vậy B
M
( 2
2
.3
3
.5.7
2
) hay B
M
26460
LOẠI 2 :PHÂN TÍCH SÔ BỊ CHIA
Bài 1 ) Chứng minh rằng : ( n
5
- n )
M
30 với mọi n
∈
Z
Giải
Ta có 30 = 5.6
* n
5
- n = n( n
4
- 1) = n( n -1)( n + 1)( n
2
+ 1)
vì n ; n -1; n + 1; là 3 số nguyên liên tiếp nên tích n(n+1)(n-1)
M