TÍCH PHÂN
BÀI 1: NGUYÊN HÀM
I. NGUYÊN HÀM:
• Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) nếu: F’(x) = ƒ(x).
• Một hàm số có thể có nhiều nguyên hàm, các nguyên hàm sai khác nhau một hằng số C.
• Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số ƒ(x) được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số
ƒ(x).
Viết:
( )f x dx
∫
= F(x) + C (C: hằng số)
∫
: được gọi là dấu tích phân
ƒ
(x): hàm số dưới dấu tích phân.
d(x): vi phân biến x.
ƒ
(x)d(x): biểu thức dưới dấu tích phân.
F(x): nguyên hàm của hàm
ƒ
(x).
Ví dụ:Tìm xem các hàm số sau là nguyên hàm của các hàm số nào ?
a) F(x) =
1
ln log
n x x
a
x x cosx + sinx+tanx + cotx+e a x x
x
+ + + + + +
.

2 2
1 1 1 1
os .ln
os .ln
2
n x x
2
1 1
nx - sinx + c x+ - +e a a
x c x sin x x x a
x
−
+ − + + +
.
b) F’(x) =
ƒ
(x) =
2
2
'
2
x
t an '
os
1 1
2
2
x
sinx
tan tan 2cos tan

2 4 2
c
π
π π
 
 
+
 ÷
 
 
 
= =
   
+
 ÷  ÷
   
Nhận xét:
1
ln tan
s x 2 4
x
dx C
co
π
 
= + +
 ÷
 
∫
d) F’(x) =

e) F’(x) =
ƒ
(x) =
2
2 2
2 2
1
2
x
x a
x a x a
x a a
 
+ + + = +
 ÷
+ +
 
Nhận xét:
(
)
2 2 2
1
.ln
2
x adx x x a a x x a C
+ = + + + + +
∫
II. BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
III. BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG:
•

(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
•
cos sinxdx x C= +
∫
•
sin cosxdx x C= − +
∫
•
= + = +
∫ ∫
2
2
1
(1 tan ) tan
cos
dx x dx x C
x
•
= + = − +
∫ ∫
2
2

cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C a
a
+ = + + ≠
∫
•
1
sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C a
a
+ = − + + ≠
∫
Tổng quát:
∫
1
f(ax + b)dx = F(ax + b) + C
a
•
1
, ( 0)
ax b ax b
e dx e C a
a
+ +
= + ≠
∫
•
+
+
= + ≠
∫
1

ax b
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM:
1. Phương pháp phân tích: Là phương pháp dùng phép biến đổi để đưa các hàm số cần tìm
nguyên hàm về các nguyên hàm quen thuộc.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích và có hằng đẳng thức thì khai triển đưa về
phân thức.
Ví dụ: Tính:
1) A =
1 2 4
1
3 3
3 3 3
2
1 3 3 2
( ) 2
4 4
x dx x x dx x x C x x C
x x x
−
−
 
+ = + = − + = − +
 ÷
 
∫ ∫
2) B =
2 1
1 2 2
2
(3 ) 3 .2

 ÷
 
∫ ∫ ∫
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng phân thức thì thông thường ta sử dụng chia đa thức
hoặc phân tích bằng cách thêm bớt.
Ví dụ: Tính:
1) A =
3 2 3
2 2
3 2 4 2
4 6 2 6 2ln 1
1 1 3
x x x x
dx x x dx x x x C
x x
− + +
 
= − + − = − + − + +
 ÷
+ +
 
∫ ∫
2) B =
1
1 ln( 1)
1 1 1
x x x
x
x x x
dx e e e

2 2
c c
co
− +
= =
W W
W W
2) Công thức đưa lượng giác về đại số: Đặt t =
tan
2
W
2
2 2 2
2 1 2
sin ,cos , tan
1 1 1
t t t
t t t
−
= = =
+ + −
W W W
3) Công thức biến đổi tích thành tổng
a b a + b a – b
cos . cos =
1
2
(cos + cos )
sin . sin =
1

2 2 2 2
s sin s sin 1 2sin 1
2 cot 2
sin sin sin sin
co x x co x x x
dx dx dx dx x x C
x x x x
− − −
 
= = = − = − − +
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
4) D =
2 2
tan (1 tan 1) tanxdx x dx x x C= + − = − +
∫ ∫
5) E =
4 4 2 2 2 2 2
tan (tan tan tan 1 1) tan (tan 1) (tan 1)xdx x x x dx x dx x dx dx= + − − + = + − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

3
tan
tan
3
x
x x C= − + +
6) F =
2