Phòng Giáo duc & Đào tạo

Đề thi chọn Học sinh giỏi
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán lớp 9
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu1 (1,0 điểm)
Tỡm s t nhiờn n sao cho: n + 24 v n 65 l hai s chớnh phng
Câu 2 (2,0 điểm)
a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng với ba số a, b, c bất kỳ ta có: a
2
+ b
2
+c
2


ab + bc + ca
b) (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức:
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
+
+
+ +
Câu 3. (2 điểm)
a) (1,0 điểm) Chng minh:
2 2 2 2 2 2
a b c d (a c) (b d)+ + + + + +
.
b) (1,0 điểm) Cho đờng thẳng y = ( m - 2)x + 2 (d). Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn
đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.

điểm
Nội dung Điểm
1 1
Tacú:





=
=+
2
2
65
24
hn
kn
2 2
k 24 h 65
= +
( )( )
89.189
==+
hkhk



=
=


2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
(a 2ab b ) (b 2bc c ) (c 2ac a )
2 2 2
1 1 1
(a b) (b c) (a c) 0
2 2 2
= + + + + +
= + +
Vy a
2
+ b
2
+ c
2


ab +bc + ca
Dấu = xảy tra khi a=b=c
0,25
0,5
0,25
2b 1
A=
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
+
+
+ +

a
2
+ b
2
+c
2
+ d
2
+2
2 2 2 2
( )( )a b c d+ +

a
2
+2ac + c
2
+ b
2
+ 2bd +
d
2

2 2 2 2
( )( )a b c d+ +

ac + bd (1)
Nu ac + bd < 0 thỡ BT c c/m
Nu ac + bd

0

+ a
2
d
2
+ b
2
c
2
+ b
2
d
2

a
2
c
2
+ b
2
d
2
+2acbd

a
2
d
2
+ b
2
c

0
+ 2 với mọi m

mx
0
-(2x
0
+y
0
-2) = 0 với mọi m



0
0 0
x 0
2x y 2 0
=


+ =


x
0
=0; y
0
= 2
Vậy đờng thẳng d luôn đi qua điểm cố định H (0; 2)
với mọi m

cba

cba ,,


( )
0
2

abc

cba ,,

mà
0,,

cba
( ) ( ) ( )
0
222
++
abccbacab

cba ,,

Dấu bằng xảy ra khi





.
Lấy E trên Ox sao cho BE

BO.
BEA BOC
=
(c.g.c)
Suy ra AE = OC (1)
BOE
vuông cân tại B

EO = OB.
2
.
AOEEOBAOBA
==
0
90OE
vuông tại O, theo Pitago
ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
( 2. ) 8. 9.AE AO EO AO BO AO AO AO= + = + = + =
2 2
9. 3.AE AO AE AO AE OA OB = = = +
(2)
Từ (1) và (2)
OC OA OB = +

0,25
0,25

Mặt khác,
ã
ã
AS ADD K=
(AD là phân giác góc A).
Do đó
ã
ã
S ASMK D=
.
Hai tam giác KSM và ASD có góc S chung và
ã
ã
S ASMK D=
nên
đồng dạng với nhau.
Suy ra :
S
AS D
K KM
A
=
Xét tam giác vuông AKS ta có:
S
sin D.sin
AS D
K KM
KM A
A