Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái

Các phương pháp tính Tích phân
Các phương pháp tính Tích phân
1. Phương pháp đổi biến số
 Dạng I : Tính I =
/
[ ( )]. ( )
b
a
f u x u x dx
∫
(*) .
• Đặt t = u(x) => dt = u’(x)dx.
• Đổi cận
• Thế vào (*) ta được I =
( )
( )
( )
u b
u a
f t dt
∫
.
Dấu hiệu Cách chọn
1.
(sin )cosf x xdx
∫
2.
(cos ).sinf x xdx
∫

[ ( )]. ( )f t t dt
β
α
ϕ ϕ
∫
. (f[
ϕ
(t)] xác định / [
α
;
β
])
Dấu hiệu Cách đặt
2 2
a x−
2 2
x a−
1/ a
2
+ x
2
;
2 2
a x+
a x
a x
+
−
hoặc
a x

−
 ÷
 
x = acos2t
x = a+(b-a)sin
2
t
Ví dụ 1:
a)
( )
1
5
0
2 1x dx+
∫
b)
2
ln
e
e
dx
x x
∫
c)
1
2
0
4 2
1
x

5x x dx
−
+
∫
g)
( )
2
4
0
sin 1 cosx xdx
π
+
∫
a)
( )
1
5
0
2 1x dx+
∫
=
1
6
0
1 (2 1) 182
2 6 3
x +
=
b)Đặt
lnt x=

1 3
2
0 1
3
4 2 2
2ln 2(ln 3 ln1) 2ln3
1
1
x dt
dx t
tx x
+
= = = − =
+ +
∫ ∫
.
d) Đặt
2 1t x= −
⇒
2
2
dt
dt dx dx= ⇒ =
.
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 2 ⇒ t = 3. Do đó:
2 3
2 2
1 1
3
1 1 1 1 1

π
=
, khi
2
3
x
π
=
thì
4
3
t
π
=
.
2 4
3 3
3 3
4
2 1 1
3
cos(3 ) cos sin
3 3 3
3
x dx tdt t
π π
π π
π
π
π

2
3
tdt
x dx=
. Đổi cận x = -1 ⇒ t = 2; x = 1 ⇒ t =
6
Ta có
3
6
6 6
3
2
2 2
2
2 2 2 2 6 16
.
3 3 9 9
tdt t
I t t dt
−
= = = =
∫ ∫
.
g) Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx. Đổi cận ...⇒ I =
6
5
Ví dụ 2: a)
4
2
0

thì
2
t
π
=
.

4
2 2
2 2 2
0 0 0
4 4 4sin .2cos 4 cosx dx t tdt tdt
π π
π
− = − = =
∫ ∫ ∫
.
b) Đặt
tan , ;
2 2
x t t
π π
 
= ∈ −
 ÷
 
. ⇒ dx = (1+tan
2
t)dt
Khi

+ +
∫ ∫ ∫
1
x a b
t u(a) u(b)
x a b
t
α β
Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái
c)
1 1
2 2
0 0
1
1 3
2 4
dx dx
x x
x
=
+ +
 
+ +
 ÷
 
∫ ∫
. Đặt
1 3
tan
2 2

ln
8 2 4
+
.
2. Phương pháp tích phân từng phần.
B1: Đặt
( ) '( )
'( ) ( )
u u x du u x dx
dv v x dx v v x
= =
⇒
= =
B2: Thay vào công thức :
[ ]
.
b b
b
a
a a
udv u v vdu= −
∫ ∫
B3: Tính
[ ]
.
b
a
u v
và
b

dx
du
x
x
v

=


⇒


=



2 2 2 2
1 1
1 1
ln ln
1 1
2 2 2 4 4
e e
e e
x e x e
x xdx x xdx
+
= − = − =
∫ ∫
.

⇒
 
=
 
= −



. Do đó:
2
2
2 2
5 4 5 4
1
1 1
1
ln ln 1 ln 2 1 1 15 4ln 2
4 64 4 2564 4
x x dx
dx
x x x x
−
 
= − + = − + − =
 ÷
 
∫ ∫
b)
2
0

0
x
xe dx
∫
. Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
. Do đó:
( )
1 1
0 0
1 1
1 1
0 0
x x x x
xe dx xe e dx e e e e= − = − = − − =
∫ ∫
.
d)
2
0
cos
x

2
Tính I
2
Đặt
1 1
1 1
sin cos
x x
u e du e dx
dv xdx v x
 
= =
 
⇒
 
= = −
 
 
I
2
=
2
0
cos cos
2
0
x x
e x e xdx
π
π

= =
 
.
I =
1
1 1
0 0
0
[(2 1) ] 2 3 1 [2 ] 1
x x x
x e e dx e e e+ − = − − = +
∫
2: I=
1
2
0
( 2)
x
x e dx−
∫
.Đặt
2
2
2
2
1
2
x
x
du dx

2 2 2
1 5 3
1 ( )
2 4 4 4
e e e−
= − + − − =
.
3: I=
4
1
x
e
dx
x
∫
.Đặt t=
1
2
2
dx
x dt dx dt
x x
⇒ = ⇒ =
.
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 2.
I =
2 2
2 2 1 2
1
1 1

10 11 11 11 11
6 6
10 6
1
1 1
6 1 6
. [ ] 1
2 2 22 22 22 22
dt t t
t dt= = = − = −
∫ ∫
.
5: I=
4
2
0
tan
cos
x
dx
x
π
∫
.Đặt t=
2
1
tan
cos
x dt dx
x

8
0
(1 cos 4 )sin 4x xdx
π
−
∫
. Đặt t = 1−cos4x
⇒ dt=4sin4xdx
1
sin 4
4
dt xdx⇒ =
. Đổi cận :
0 0
1
8
x t
x t
π
= ⇒ =



= ⇒ =



I =
2 2 2
1 1

4 4
3 4 4
2 2
3 2
2 2
1 1 1 1 3
[ ] [ ] [ ]
2 2 16 4 322
dt t
t dt
t t
−
−
= = = − = − − =
−
∫ ∫
.
8: I=
2
1
(2 1)lnx xdx−
∫
. Đặt
2
ln
(2 1)
dx
du
u x
x

1
1
2ln 2 [ ] 2ln 2
2 2
x
x= − − = −
.
9: I=
2
2
1
ln x
dx
x
∫
.Đặt
2
1
2
ln
1
1
dx
du
u x
x
dx
dv x dx
x
v

x x dx
x x x x
−
− − − = − + = − +
∫ ∫ ∫

1
2 2
1 1
1 1 1 1 1
ln 2 [ ] ln 2 [ ] ln 2
2 1 2 2 2
x
x
−
= − + = − + − − +
−
.
3. Một số tích phân thường gặp:
a) Tích phân hữu tỉ:
( )
( )
∫
b
a
P x
dx
Q x
P(x), Q(x) là các đa
thức.

phần 2 lần.
d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:
Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:
+ y = f(x) chẵn thì
0
( ) 2 ( )
−
=
∫ ∫
a a
a
f x dx f x dx
.
+ y = f(x) lẻ thì:
( ) 0
−
=
∫
a
a
f x dx
.
e) Tích phân dạng
( )
1
α
α
−
+
∫

f x
dx
a
đổi biến số x = -t.
Kết quả ta được
0
( )
( )
1
α α
α
−
=
+
∫ ∫
x
f x
dx f x dx
a
.
f) Tích phân dạng:
0 0
( ) ( )− =
∫ ∫
a a
f a x dx f x dx
trong đó
f(x) là hàm số liên tục trên [0; a]. Đổi biến x = a - t.
Bài tập:
Bài 1: Tính tích phân

α
∫
b
a
u du
. ĐS
2 1= −I
Bài 3: Tính tích phân
0
2
3
1
( 1 )
−
= + +
∫
x
I x e x dx
HD Tách thành 2 tích phân. ĐS I=3/4e
-2
- 4/7
Bài 4: Tính tích phân
2
6
3 5
0
1 cos .sin .cos
π
= −
∫

0
1 cos 2
π
=
+
∫
x
I dx
x
HD:Đưa về dạng tích phân từng phần. ĐS I =π /8
−1/4.ln2
Bài 7: Tính tích phân
1
3 2
0
1= −
∫
I x x dx
;
1
2 2
0
1= −
∫
J x x dx
Bài 8: Tính tích phân
3
2
4
cos . 1 cos

I dx
x
=
+ −
∫
Đặt
2 2
1 1 1 2t x t x x t dx tdt= − ⇔ = − ⇔ = + ⇔ =
1 0; 2 1x t x t= ⇒ = = ⇒ =
1 1 1
2 3
2
0 0 0
1
3 2
0
1 2
2 2 2 2
1 1 1
1 1 11
2 2 2ln 1 2 2 2ln 2 4ln 2
3 2 3 2 3
t t t
I tdt dt t t dt
t t t
t t
t t
+ +
 
= = = − + −

0 0
2
1 2
2 3
2 1
Ñaët 1 3cos 1 3cos 2 3sin
2
sin . caän : 0 2; 1
3 2
2 cos 1 sin
2sin cos sin
1 3cos 1 3cos
1 2
2 1
3 3
2 2 1 2 2
3 3 3 9 3
t x t x tdt xdx
tdt
xdx Ñoåi x t x t
x xdx
x x x
I dx
x x
t tdt
t t t
dt
t
π π
π

Bài 11 : Tính tích phân :
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
I dx
x x
π
=
+
∫
(Đại
học khối A – 2006)
2 2 2 2
2
2 2
1 1
1
Ñaët cos 4sin 1 3sin
2
2 6sin cos 3sin2 sin 2 .
3
Ñoåi caän : 0 1; 2
2
2
2 2 4 2 2
3
3 3 3 3 3

0
0
4 4 4
2 2
4 4 4 4 4 4
0 0
2
0
2
0
2
sin
) .
2sin os
os os os
os sin os sin os sin
x t
x t
x
a I dx x t dx dt
x c x
c t c t c x
I dt dt dx
c t t c t t c x x
π
π π
π
π
π
π

0
4
4 4
0 0
0
0
4
) ln(1 tan ) .
4
1 tan
ln 1 tan( ) ln 1
4 1 tan
2
ln ln 2 2 ln2 ln 2
1 tan 4 8
x t
x t
b I x dx x t dx dt
t
I t dt dt
t
dt dt I I I
t
π
π
π
π π
π
π
π

0
0
sin
) .
1 os
sin( ) sin
ost
1 os ( ) 1 os 1 os
ost
2
2 41 os 1
x t
x t
x x
c I dx x t dx dt
c x
t t t t
dc
I dt dt I
c t c t c t
dc dx
I I
c t x
π
π π
π
π
π
π
π

3
0
0 2
2 0
2
) os . 2
2 os (2 ) 2 os
2 os 2 2 1 sin sin
sin
2 sin 0
3
x t
x t
d I xc xdx x t dx dt
I t c t dt t c tdt
c tdt I I t d t
t
t I
π
π
π
π π
π
π
π
π
π π π
π π
π
= ⇒ =

π
π π
π π
+
+ +
∫ ∫
∫ ∫
Đổi biến
x t= −
2
sin
)
3 1
x
x
a I dx
π
π
−
=
+
∫
. Đặt x = −t ⇒ dx = − dt
x = − π ⇒ t = π , x = π ⇒ t = − π.
Kết hợp với tích phân ban đầu ta có
2
1 1 sin 2
2 sin (1 os2x)
2 2 2 2
x

2 . 2 .
2 1 2 1 2 1
t x
t t x
x t
x t
t t x
I dt dt dx
−
−
− −
= ⇒ =−
=− ⇒ =
= − = =
+ + +
∫ ∫ ∫
⇒
1
5
4
1
1
1
2 1
2
5 5 5
x
I x dx I
−
−

+ +
∫
∫ ∫
7 5 3
4
2
4
7 5 3 7 5 3
2 2
2
4 4
4 4
4 4
4 4
4
4
4
4
3 5 7 1
) . ,
os
3 5 7 1 3 5 7 1
os os
2
2 2 tan 4 2
os
x t
x t
x x x x
d I dx x t dx dt

∫
Bài tập tương tự
1 1
4 2
2
1 1
sinx 4 1
1) KQ: 2) KQ:
2 3 4x 1 2 1
x
x x
I dx I dx
π π
− −
+ −
= − =
+ +
∫ ∫
Gi i nhanh ?ả
 I =
4 4
0 0
sin
tan .
cos
x
xdx dx
x
π π
=

0
8.x x dx−
∫

tương tự
 I=
4
1
x
e
dx
x
∫
. Đặt: t =
x
2
x t
⇒ =
. Vậy:I = 2e(e-1)
 I=
1
(1 ln )
e
dx
x x+
∫
= ln2. Đặt: t = 1+lnx

2 2
3 3 3 2

Đặt: x= atant (
2 2
t
π π
〈 〈
)
 I=
2
2 2
0
a
dx
a x−
∫
.Đặt:x= asint (- )
2 2
t
π π
〈 〈 cosdx a tdt⇒ =
5