Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ứng dụng.
A.Lý thuyết chung.
1) Phân tích đa thức thành nhân tử ( ra thừa số ) là: Biến đổi đa thức đó thành một tích của những
đơn thức, đa thức.
2 ) Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Đặt nhân tử chung;
2) Dùng hằng đẳng thức;
3) Nhóm nhiều hạng tứ;
4) Tách, thêm, bớt;
5 )Phối hợp nhiều phơng pháp
B. Nội dung
Phần I: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
I. Phơng pháp đặt nhân tử chung
1. Phơng pháp .
Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử.
Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử.
Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc.
2.Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 3xy + x
2
y
2
5x
2
y
b) 2x(y z) + 5y(z y)
c) 10x
2
(x + y) 5(2x + 2y)y
2
Bài Làm

c)
7
5
x(y 2007) 3y(2007 - y)
d) x(y + 1) + 3(y
2
+ 2y + 1)
Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
a) 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3
b) 2x
3
(x y) + 2x
3
(y x ) + 2x
3
(z x) (Với x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
II) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
1. Phơng pháp
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
Nha năm 2006
1
Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức
đơn giản.
+
Những hằng đẳng thức :
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B

+ B
3
= (A + B)(A
2
AB + B
2
)
A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
(A + B + C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2AB + 2BC + 2CA
A
n
B
n
= (A B)(A


k
)
A
12
+
K
+ B
12
+
K
= (A + B)(A
k2
A
12

k
B + A
22

k
B
2
- +B
k2
)
(A + B)
n
= A
n

+ B
n
(A - B)
n
= A
n
- n A
1

n
B +
2.1
)1(

nn
A
2

n
B
2
- +(-1)
n
B
n
2.Ví dụ .
Ví Dụ 1. Phân tích đa thức tành nhân tử
a) x
2
+ 6xy

= (x + 3y
2
)
2
b) a
4
b
4
= (a
2
)
2
(b
2
)
2
= (a
2
+ b
2
) (a
2
b
2
) = (a
2
+ b
2
) (a + b) (a b)
c) (x 3)

3
+ c
3
3abc = (a + b)
3
3ab(a + b) + c
3
3abc
= ( a + b + c)[(a + b)
2
(a + b)c + c
2
] 3abc( a + b +c)
= (a + b + c)( a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca)
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= (a + b)
3

e) 9(x + 5)
2
(x 7)
2
f) 49(y- 4)
2
9(y + 2)
2
Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 8x
3
+ 27y
3
b) (x + 1)
3
+ (x 2)
3
c) 1 y
3
+ 6xy
2
12x
2
y + 8x
3
d) 2004
2
- 16
III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
1. Phơng pháp

b) 7x
2
7xy 4x + 4y = (7x
2
7xy) (4x 4y) = 7x(x y) 4(x y)=(x y) (7x 4)
c)x
2
+ 6x y
2
+ 9 = (x
2
+ 6x + 9) y
2
= (x + 3)
2
- y
2
= (x + 3 + y)(x + 3 y)
d)x
2
+ y
2
z
2
9t
2
2xy + 6zt = (x
2
2xy + y
2

z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
Bài Làm
a) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
= (x
2
z + y
2
z + 2xyz) + x
2
y + xy
2
+ xz

2
y + x
2
z + xyz) + ( xy
2
+ y
2
z + xyz) + (x
2
z + yz
2
+ xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
Nha năm 2006
3
3. Bài Tập
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
4
+ 3x
2
9x 27
b) x
4
+ 3x
3
9x 9
c) x

Vận dụng linh hoạt các phơng pháp cơ bản đã biết và thờng tiến hành theo trình tự sau :
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử
2. Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 5x
3
- 45x
b) 3x
3
y 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy
Bài làm
a) 5x
3
45x = 5x(x
2
9) = 5x(x +3) (x 3)
b) 3x
2
y 6x
2
y 3xy

2
b + 4ab
2
a
2
c + ac
2
4b
2
c + 2bc
2
4abc
b) 8x
3
(x + z) y
3
(z + 2x) z
3
(2x - y)
c) [(x
2
+ y
2
)(a
2
+ b
2
) + 4abxy]
2
4[xy(a

] (y
3
+ z
3
)
= (x + y + z x) [(x+ y + z)
2
+ (x + y + z)x + x
2
] (y + z)(y
2
yz + z
2
)
= (y+z)[ x
2
+ y
2
+ z
2
+2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x
2
+ x
2
y
2
+ yz z
2
]
= (y + z)(3x

2
4) 6x + 12 = (x 2)(x + 2) 6(x 2) = (x 2)(x + 2 6) = (x 2)(x 4)
Caựch 4: x
2
6x + 8 = (x
2
16) 6x + 24 = (x 4)(x + 4) 6(x 4) = (x 4)(x + 4 6) = (x 4)(x 2)
Caựch 5: x
2
6x + 8 = (x
2
4x + 4) 2x + 4 = ( x 2)
2
2(x 2)= (x 2)(x 2 2) = (x 2)(x 4)
3. Bài tập
Bài 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
2
+ 7x +10
b) x
2
6x + 5
c) 3x
2
7x 6
d) 10x
2
29x + 10
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x

+ 8)
2
(4x)
2
= (x
2
+ 4x + 8)(x
2
4x + 8)
Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
4
+ 4y
4

b) x
5
+ x + 1
Bài làm
a) x
4
+ 4y
4
= x
4
+ 4y
4
+ 4x
2
y

2
+ x + 1) x
2
(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x +1)
= (x
2
+ x + 1)(x
3
x
2
+1)
Bài tập
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
5
+ x
4
+ 1
b) x
8
+ x
7
+ 1
c) x
8
+ x + 1