SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1.(2,5 điểm) Cho hàm số y =

−2 x + 1
có đồ thị là đường cong ( C ) và đường thẳng d : =
y 2x + m .
x +1

Tìm m để d cắt ( C ) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

7 (với O là gốc tọa độ).

Câu 2. (2,5 điểm) Một hộp đựng 20 tấm thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 20 . Một người rút ngẫu
nhiên cùng lúc 3 tấm thẻ. Tính xác suất để bất kì hai trong ba tấm thẻ lấy ra có hai số tương ứng ghi
trên hai tấm thẻ ln hơn kém nhau ít nhất hai đơn vị.
Câu 3. (2,5 điểm) Cho hàm số bậc ba f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c với a, b, c ∈ R , biết 4a + c > 2b + 8
và 2a + 4b + 8c + 1 < 0 . Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) .
Câu 4. (2,5 điểm) Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a ,

tam giác BCD cân tại C và BCD
= 120°. Cạnh SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SA = 2a .
Mặt phẳng ( P ) đi qua A và vng góc với SC cắt các cạnh SB, SC , SD lần lượt tại M , N , P. Tính thể

( x − m) f ( x − m) +

1 + 1 − x2

(

f 1+ 1− x

2

)

≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −1;1] .

Câu 9. (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c ∈ [ 4;8] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
F = a 2 + b 2 + c 2 − log 32 (abc).
4

-------HẾT ------ Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .........................................................Số báo danh:…………….


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2020-2021
- Mơn: TỐN


m

5(m 2 + 24)
2

Điểm

0.5

0.5

0.5

5

1
1 m 5(m 2 + 24)
=
S ∆OAB =
7 ⇔ d ( O, AB ) . AB =
7⇔ . .
7
2
2 5
2

0.5

⇔ m 4 + 24m 2 − 112 =⇔

Câu 3
(2.5 đ)

∆
= m 2 + 24 > 0, ∀m ∈ R.

m 2 + 24
; y A − y B = 2 x A − 2 xB
2

( x A − xB ) 2 + ( y A − y B ) 2 =

d ( O, AB ) =

Câu 2
(2.5đ)

NỘI DUNG

( )

n A
324 27
68
= =
, suy ra P ( A ) =
1− P A =
n ( Ω ) 1140 95
95




1
1
Ta có f ( q ) . f ( −2 ) < 0; f ( −2 ) . f   < 0; f   f ( p ) < 0
2
2
1 1 

Suy ra f ( x ) = 0 có 3 nghiệm thuộc các khoảng ( q; −2 ) ;  −2;  ;  ; p 
2 2 

Nên hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị

0,5
0,5

Suy ra g ( x ) = f ( x ) có 5 điểm cực trị.
Câu 4
(2.5 đ)

S

0,5

: IC ID.cot
Tam giác ICD
=
=
60°

SC SA + AC
5

C

I

SN SA2
=
SC SC 2

0,5

0,5

B

Tam giác ABC vuông tại B ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ; ⇒ BC ⊥ AM Mặt khác AM ⊥ SC , nên
AM ⊥ ( SBC ) , suy ra AM ⊥ SB

0.5

SM SA2
2
SM
SA2
Trong tam giác vng SAB ta có
= 2 ⇒=
=
2


1 2a 3 a 2 3
1
.
.a.
S ABCD = =
AC.BD =
2
3
3
2
V
1
1
a 2 3 a3 6
2a 3 6
2
Suy =
ra VS . ABCD =
. Vậy S . AMNP = ⇒ VS . AMNP = .
SA.S ABCD
a=
2.
3
3
3
9
45
VS . ABCD 5



)

m ( 2 x + 1)
x2

m
m
≤ 0 ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇔ f ' ( x 2 + x ) + 2 ≤ 0 ∀x ∈ (1; +∞ ) .
2
x 
x

Suy ra m ≤ − x 2 . f ' x 2 + x = x 2

(( x + x ) − 4)=
2

2

x 6 + 2 x5 + x 4 − 4 x 2 với ∀x ∈ (1; +∞ )

6
5
4
2
Đặt g ( x ) = x + 2 x + x − 4 x , g ′ ( x ) = 6 x 5 + 10 x 4 + 4 x 3 − 8 x = 2 x ( 3 x 4 + 5 x 3 + 2 x 2 − 4 )

0.5


I
A

B

Độ dài ngắn nhất của dây bóng nháy bằng AI

= π ( m)
Cung 
AB là nửa đường tròn đáy nên l 
AB
Số đo góc
⇒ AI=

Câu 7
(2.0đ)

0.5

l
l
π
AB
AB

α =
=
ASB : =
SA



x+

0.5

x2 − 4
x
4
′
t
(
x
)
=
ta có
,
2
2
x
2x
x +4

0.5

t2 + t + 2
Với t ≥ 2 phương trình (1) trở thành t − (m − 1)t + m + 2 = 0 ⇔ m =
t −1
2
t +t +2
t 2 − 2t − 3

Vậy f ( − x ) =
f ( x)
f ( x)

(1 + 1 − x )
Suy ra ( x − m ) f ( x − m ) +
≤ 0 ⇔ ( x − m) f ( x − m) ≤ −
f (1 + 1 − x )
f (1 + 1 − x )
⇔ ( x − m ) f ( x − m ) ≤ ( −1 − 1 − x ) f ( −1 − 1 − x ) (1)
Xét g ( t=
) t. f ( t=) t ( 1 + t + t=) t t + 1 + t

0,5

2

1 + 1 − x2

2

2

2

2

0.5

2

(1) ⇔ g ( x − m ) ≤ g ( −1 −

)

1 − x 2 ⇔ x − m ≤ −1 − 1 − x 2 ⇔ m ≥ x + 1 + 1 − x 2

(

Để (1) ln đúng ta phải có m ≥ Max x + 1 + 1 − x 2
[ −1;1]

Đặt h( x) = x + 1 + 1 − x 2 ⇒ h ' ( x ) = 1 −

(

0,5

)

x
1 − x2

)

. h '( x) = 0 ⇔ x =

1
2

0,5

4
4
a, b, c ∈ [ 4;8] ⇒ log 2 a, log 2 b, log 2 c ∈ [ 2;3] ⇒ log 2 (abc) ∈ [ 6;9]

0.5

1
4

Xét hàm số g ( x) = 48 x − 240 − x3 trên [ 6;9] ta có
g ′( x=
) 48 −

3 2
x ; g ′( x) = 0 ⇔ x = 8
4

0,5

Suy ra g ( x) ≤ 16
1
1
a 2 + b 2 + c 2 − log 32 (abc) ≤ 48log 2 (abc) − 240 − log 32 (abc) ≤ 16
4
4
Dấu bằng xảy ra khi abc = 256 và log 2 a, log 2 b, log 2 c nhận giá trị bằng 2 hoặc 3.
Suy ra a= b= 8, c= 4; a= c= 8, b= 4 hoặc c= b= 8, a= 4
Vậy maxF = 16
………………………..HẾT…………………