HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
D FG E

I. LÝ THUYẾT
I.1. Quy tắc cộng

I.1.1 Ví dụ
Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà
trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến trong lớp 11A hoặc lớp 12B.
Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 31 học
sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến?
Giải
Nhà trường có hai phương án chọn. Phương án thứ nhất là chọn một học
sinh tiên tiến của lớp 11A, mà lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến nên có 31
cách chọn. Phương án thứ hai là chọn một học sinh tiên tiến của lớp 12B, mà
lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến nên có 22 cách chọn. Vậy theo quy tắc cộng
nhà trường có 31+22=53 cách chọn.
I.1.2 Định nghĩa
Quy tắc cộng cho công việc với hai phương án được phát biểu như sau:
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương
án B. Có n cách thực hiện phương án A và có m cách thực hiện theo phương
án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách.
Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án được phát biểu như sau:
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án A
1
,
A
2
, …, A
k
. Có n

cách chọn. Vậy theo quy tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3 + 2=20 cách chọn.
I.1.4. Lưu ý
Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp
không giao nhau:
Nếu tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B không giao nhau.Khi đó thì số phần tử
của A B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B, tức là:
∪
| A B| = |A| + |B|.
∪
Tuy nhiên trong nhiều bài toán , chúng ta phải tính số phần tử của hai tập
hợp A và B có giao khác rỗng. Nếu trong trường hợp này ta vẫn lầy số phần
tử của tập A cộng với số phần tử của tập B thì khi đó số phần tử của A B sẽ
được tính hai lần. Cho nên, đối với trường hợp này ở kết quả chúng ta phải
trừ đi số phần tử của A B. Vậy:
∩
∩
Nếu cho tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B giao nhau khác rỗng.Khi đó thì số
phần tử của A B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B rồi trừ
đi số phần tử của A
∩
B, tức là:
∪
| A B| = |A| + |B| - | A
∪ ∩
B|.
Quy tắc trên gọi là quy tắc cộng mở rộng.
I.2. Quy tắc nhân

I.2.1 Ví dụ
Lộc muốn qua nhà Phúc để cùng Phúc lại chơi nhà Trung. Từ nhà Lộc đến

có thể làm theo n
1
cách, công đoạn A
2
có thể làm theo n
2
cách, …,
công đoạn A
k
có thể làm theo n
k
cách. Khi đó công việc có thể thực hiện
theo n
1
n
2
…n
k
cách.
I.2.3. Ví dụ

Ví dụ 1
Tình đến văn phòng phẫm mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có ba mặt
hàng: bút, vở và thướt, trong đó có 5 loại bút, 4 loại vở, 3 loại thước. Hỏi
Tình có bao nhiêu cách chọn món quà gồm một bút,một vở và một thước?
Giải
Một món quà phải có một bút, một vở và một thước.
Một bút được chọn từ 5 loại bút nên có 5 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn một bút, một vở được chọn từ 4 loại vở nên có 4
cách chọn.

{ }
cba ,,
có 7 phần tử
nên có 10 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a, b, c và d, e được chọn từ tập A\
{ }
dcba ,,,
có 6 phần
tử nên có 10 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a, b,c,d và e, f được chọn từ tập A\ có 5
phần tử nên có 5 cách chọn.
{}
edcba ,,,,
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 10.9.8.7.6.5 = 151200 cách chọn.
II. BÀI TẬP

II.1 Phương pháp giải

II.1.1 Sử dụng qui tắc cộng để giải bài toán đếm.
Để sử dụng qui tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Phân tách cách giải quyết một công việc thành k phương án độc lập
với nhau: A
1,
A
2,
… ,A
k
.
Bước 2: Nếu:
A

k
.
Bước 2: Nếu:
A
1
có n
1
cách khác nhau.
Ứng với mỗi cách thực hiện A
1,
A
2
có n
2
cách khác nhau.
…….
Ứng với mỗi cách thực hiện A
1,…,
A
k-1
thì A
k
có n
k
cách khác nhau.
Bước 3: Khi đó, ta có n
1
. n
2
.