A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện,
năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo,
đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội.
Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một
yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp
dạy học mơn Tốn.
Mục tiêu Giáo dục phổ thơng đã chỉ rõ “Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù
hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại
niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.”
Từ năm học 2016-2017, trong kỳ thi trung học phổ thơng quốc gia, đề thi mơn
Tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan.
Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà
trường. Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm
vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả
năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải
quyết nhanh nhất đến đáp án. Đây thực sự là một thách thức lớn.
Trong những năm trước đây, kể từ khi được đưa vào chương trình mới, các
bài tốn về số phức xuất hiện thường xuyên trong các đề thi tốt nghiệp THPT,
tuyển sinh ĐH – CĐ, trong cấu trúc chung của đề thi giai đoạn này các bài toán
về số phức thường nằm ở mức độ “nhận biết, thông hiểu”, hầu hết học sinh chỉ
cần nắm chắc kiến thức cơ bản là có thể lấy điểm phần này. Tuy nhiên, kể từ khi
thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan, phần dành
cho các bài toán về số phức trong đề xuất hiện thêm nhiều bài tốn khó ở mức
độ “vận dụng, vận dụng cao”, trong đó có lẽ lớp các bài toán về “cực trị số
phức” gây ra khơng ít khó khăn cho cả người dạy lẫn người học nhất. Bởi vậy,

1

 Tiếp cận một số bài tốn “cực trị trong số phức” theo hướng hình học.

2





Đưa ra phương pháp xây dựng các bài toán tương tự để làm tài liệu giảng dạy
cho GV.
Đưa ra các ví dụ minh họa cho lập luận của mình.

III. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
1. Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh lớp
12 tiếp cận bài toán “cực trị trong số phức” một cách nhẹ nhàng, có hệ thống từ
đó cung cấp, rèn luyện cho các em các kỹ năng giải và trình bày dạng tốn này.
Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề số phức thuộc bộ mơn Tốn ở
trường trung học Phổ thơng.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đúc
rút các kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy từ đó xây dựng và trình bày một cách
có hệ thống các kiến thức, phương pháp giải toán và các bài tập điển hình của
bài tốn “cực trị trong số phức”. Ghi chép và tổng hợp các kết quả thực nghiệm
thu được từ việc áp dụng đề tài vào giảng dạy.
IV. GIẢ THIẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:
Trong thực tiễn giảng dạy chủ đề số phức, ta bắt gặp các bài toán “cực trị
trong số phức”, nếu người giáo viên có thể hệ thống một cách ngắn gọn nhưng
đầy đủ lý thuyết, đồng thời xây dựng được hợp lý các phương pháp áp dụng lý
thuyết đó vào việc giải các bài tập điển hình thì sẽ giúp học sinh chủ động, tự tin
tiếp cận và giải quyết tốt các bài tập dạng này. Từ đó phát huy, khơi dậy khả
năng vận dụng sáng tạo các kiến thức đã học của học sinh vào việc giải toán

I.1. Cơ sở lý thuyết của đề tài:
a. Kiến thức cơ bản về số phức:
=
−1
z là z = a + bi , trong đó a , b ∈ , a được gọi là

 Số i được gọi là đơn vị ảo và có



Dạng đại số của số phức

2

i

phần thực của số phức z , còn b được gọi là phần ảo của số phức z .
z = a + bi được kí hiệu là z và z = a − bi

Số phức liên hợp của số phức
z 2 = a2 + b2, khi đó
 Hai số phức bằng nhau: Cho z1 = a1 + b1i ,
z1 = z2



•




Các phép toán cộng, trừ, nhân trên hai số số phức: a1

)i

•

2

1

b=b



i

⇔ a = a

+ a1b2 i + b1a2 i + b1b2
i

)i

( a1a2 −b1b2 ) + ( a1b2 + a2 b1

2

thực.

 Phép chia hai số phức: z = z z =

2

b. Mô-đun số phức và một số mở rộng:




Mơ-đun số phức z = a + bi kí hiệu là z , được xác định:
Mở rộng:

z+w= z+w
z − w = z −w
z.w = z.w

 z=



z

w

w



z )n =

z = a 2+
b


là điểm M

diễn hình học của số phức

( x; y ) . Khi đó

z = OM .

z = x + với
yi

x,y∈

trên mặt phẳng tọa độ

 Biểu diễn hình học của hai số phức z và z là hai điểm đối xứng nhau qua
trục Ox nên nếu quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức z và z lần lượt là các hình

( C) ,( C ') thì hai hình đó cũng đối xứng nhau qua trục



Nếu

 z −z


2



A, B

thì

.

B



A, B . Số phức z thay đổi thỏa

Cho điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 là
mãn z −z1 = z −z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức
AB .
 Cho điểm biểu diễn của hai số phức

z1 , z2

là

A, B . Số phức z

z

là trung trực của đoạn

thay đổi thỏa


> R > 0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức
ngồi đường trịn tâm I bán kính R .



chính là

I , một số phức z

thay đổi thỏa mãn z − z
< R > 0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức
trong đường trịn tâm I bán kính R .



z

z

là miền

khơng đổi có điểm biểu diễn là hai điểm A, B . Một số

phức z thay đổi thỏa mãn z −z1 + z −z 2 = a > 0 . Khi đó:
+) Nếu z1 −z 2 < a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức

z

là đường E-lip


Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề cũng
như cách giải đơn giản, thuận lợi để kết thúc bài toán.

7


II. CÁC SÁNG KIẾN VÀ GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
II.1. VẤN ĐỀ 1: Khai thác từ các bài toán cực trị liên quan đến
đường thẳng, đoạn thẳng:
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A và đường thẳng
Tìm điểm M chạy trên đường thẳng ( δ sao cho độ dài đoạn AM nhỏ nhất .

).
d

)

a. Hướng dẫn giải:

A
d(M,d)
(d)
M

H

Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm A lên đường thẳng ( d ) .
Khi đó AM ≥ AH , nên độ dài đoạn

AM nhỏ nhất khi và chỉ khi


lần lượt là M , A .

( d ) . Khi đó bài tốn số

phức trở về bài tốn hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được
một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đường thẳng.
Điều kiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:
+) Cho số phức z = x + yi (x , y ∈
)

+) Cho số phức

z

sao cho ax + by + c = 0 (a , b, c ∈ ) .

thỏa mãn z −z1 = z −z2 với z1 , z 2 là hai số phức đã biết.

8


c. Bài tập minh họa:
Bài tập 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng

( d ) : 3 x −4 y −3 = 0 . Tính giá trị nhỏ nhất của z .
A. 1 .
5



Min z =
OM

min

= d (O ; d ) 3
5
=

Bài tập 2: Trong các số phức z thỏa mãn iz − 3 = z − 2 − i
C. 1
của z .
1
A. 1
B.
2

. Tính giá trị nhỏ nhất

D.

5

2

1
5

Hướng dẫn giải:

Bài tập 3: [Thi thử chuyên Võ Nguyên Giáp lần 1 năm 2017]
Biết số phức z = x + yi, ( x, y ∈ ) thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i có mơ đun
nhỏ nhất. Tính P  ξ 2 + ψ2
D. P = 26 .
A. P= 8.
B. P = 10.
C. P = 16.
Hướng dẫn giải:
Ta có z = x + yi , ( x , y ∈
= 0

) . Ta có

z − 2 − 4i = z − 2i

⇔ x + y − 4

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng ( d ) : x + y − 4 = 0


9


Với mỗi điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z x yi thì z = OM ≥ OH với
H
là hình chiếu vng góc của O lên đường thẳng +
và OH

là khoảng cách từ
điểm O lên đường thẳng ( d )

A. 3 2.

B. 2.

2

C.

Hướng dẫn giải:

Giá trị nhỏ nhất của

D. 2 2.

2.
2

Gọi A ( −2; 2 ) , B ( 0; 4) và M là điểm biểu diễn số phức z .
Từ đề bài ta có: MA = MB , hay quỹ tích điểm M là đường trung trực đoạn
AB ⇒Quỹ tích điểm M

Mà

là đường thẳng ( d

):

w = iz + 1 = i . z 1 = z − i =
i IM
+

Bài tâp 6: [ Thi thử Sở GD – Long An - 2018] Cho các số phức
z − 2 − 4i =

z

thỏa mãn

z − 2i . Giá trị nhỏ nhất của z + 7 − i là

A. 4 10.
5

Hướng dẫn giải:

B. 3.

C.

3 10.
5

D.

10.


10


Ta có

giá trị nhỏ nhất của z
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ∈ R ) thì z = OM
Ta có: u =  ( x + 3 ) + ( y −1) i   ( x + 1) −( y −3 ) i  = x

2 + y 2 + 4 x −4 y + 6 + 2 ( x − y + 4

)
i




⇒ u ∈ R ⇔ x − y + 4 = 0 ⇒ M thuộc đường thẳng d: x – y + 4 = 0
z nhỏ nhất ⇔ OM nhỏ nhất
= min =
⇔ OM = d (O; d ) = 2 ⇒ z min
2
OM 2
2
2
Bài tâp 8: Cho số phức z thỏa mãn: z + 4 = z ( z + 2i ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của
z+i
Hướng dẫn giải:
Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y ∈ R ) ,
I(0; -1) thì z + i = IM
2
 z + 2i =
0
Ta có z + 4 = z ( z + 2i ) ⇔ ( z − 2i )( z + 2i ) = z ( z + 2i ) ⇔


Ta có MA + MB ≥
AB

nên

( MA

MB

)

+) Trường hợp 2 : hai điểm A , B

min

= AB , đạt được khi M = AB ∩

(d).



d)

 ).
d

Khi đó

cùng phía đối với đường thẳng


 A 'Β ∩ d

MA'+ MB ≥ A'

nên

B).

( MA+
MB)

min

= A' ,
B

đạt

được

b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên:



Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là
một đường thẳng.

 Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mơ-đun z −z1 + z −z2 với z1 , z 2 là


Giá trị nhỏ nhất của

z + 2 − 4i + z − 4 − 6i là:

A. 10 + 5.

B.

C. 2 5

13.

D. 2 10.

Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , từ điều kiện z −1
M là trục Oy . Đặt A ( −2; 4 ) , B ( 4; 6) thì A, B

quỹ tích điểm
Oy .

=

z +1

suy ra được
hai phía trục

nằm về


là

4i . Giá trị nhỏ nhất của z + 1 − 4i + z − 1 − i

A. 5

z

2 2i

. Suy ra được quỹ tích điểm M

là đường thẳng ( d ) : x − 4 y + 2 =
0.
Đặt A ( −1; 4 ) , B ( 1;1) thì P = z − 3 −i + z −4 + i = MA + MB
Bài tốn trở về: Tìm điểm M ∈ (d): x + y – 2 = 0 sao cho P = MA + MB nhỏ
nhất
Ta có A, B nằm về cùng một phía với đường thẳng ( d ) . Điểm A' ( −3; −4) là
điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ( d ) .
41 .

Khi đó z + 1 − 4i + z − 1 − i = MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B
=

Bài tâp 11: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 = z − 2 − i . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = z − 3 −i + z − 4 + i .
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ∈ R )
Ta có: z −1 = z − 2 − i ⇔ ( x − 1)

Khi đó P = MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B .
= 3

⇒ Pmin = A’B = 3.

A
d
H

M'

M

A'

Bài tâp 12: Cho số phức z thỏa mãn z + 2 −2i =

z − 2i . Tìm

giá tr của biểu thức P = z − 2i + z − 1 −2i .
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ∈ R )
Ta có:

z + 2 − 2i = z − 2i ⇔ ( x + 2 )

2+

( y −2 )


⇒ P = MA + MB ≥ AB. Dấu “=” xảy ra khi M ≡ M’ = AB ∩ d
⇒ Pmin = AB = 17
Ta cịn có thể mở rộng bài tốn như sau:
Bài tâp 13: Cho số phức z thỏa mãn z + 2 −2i = z − 2i . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P = z −2i − z − 1 −2i .

Hướng dẫn giải:
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y ∈ R )

Ta có: z + 2 −2i = z −2i ⇔ ( x + 2 )

2+

( y −2 )

2

=
x

2+

( y + 2 ) 2 ⇔ x −2 y + 1 = 0

 M thuộc đường thẳng (d): x - 2y + 1 =
0 Gọi A(0; 2), B(1; - 2) thì
P = z − 2i + z − 1 −2i = x − ( y −2)i + x −1 − ( y + 2)i = MA + MB
Bài tốn trở về: Tìm điểm M ∈(d): x - 2y +1 = 0 sao cho P= MA−MB
nhất
Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d

B

M'

H

M



5

A

65 .
5

Oxy , cho điểm I
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ
và đoạn thẳng AB .
Điểm M chạy trên đoạn thẳng AB sao cho độ dài đoạn IM nhỏ nhất. Khi đó hãy

tìm vị trí điểm M và tính độ dài IM .
a. Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm

lên đường thẳng 

I


I

A

Dễ dàng thấy

M

IM min = min {IA; IB} và

B

H

IM max = max {IA; IB} .

b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên:
 Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó
là một đoạn thẳng.

1
5


z −z



Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của mô-đun

thuyết).

+) Cho số phức z thỏa mãn z − z1 + z − z2 nhỏ nhất với z1 , z 2 là hai số phức đã
biết.
Hoặc có thể tạo ra quỹ tích điểm biểu diễn z là phần đường thẳng bị giới hạn
ở miền trong đường tròn, elip. Chẳng hạn như:
+) Cho số phức bị ràng buộc bởi điều kiện để quỹ tích của nó là một đường
thẳng, điều kiện cịn lại là z −z 0 ≤ r hoặc z −z1 + z −z 2 ≤ 2a .
c. Ví dụ minh họa:
Bài tâp 14: [ Thi thử THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018] Xét số phức z thỏa
mãn z + 2 −i + z − 4 − 7i = 6 2 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của z − 1 + i . Tính P = m + M .
B. 5 + 2
.
2
73
+
A. 13
73 .
2

Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức

2+
2+

C. 5
(



I

IA = 13, IB = 73, d ( I ; AB)
=

lên đường thẳng ( AB)

5 2
2

= 5 2+2 73


P

2

.

Bài tâp 15: [ Thi thử THPT Trần Hưng Đạo – Ninh Bình - 2018]
Xét số phức z thỏa mãn z + 1 −2i

+

nhỏ nhất . Gọi m , M lần lượt là giá trị

z − 2 + 2i

P

quan dễ kiểm tra hình chiếu của
I lên đường thẳng ( AB)
Vẽ hình trực
. Lại có: IA = 5, IB = 2 10 ⇒P= 2
.
2
nằm ngoài đoạn AB
 z + 2 = z − 8 − 8i

Bài tâp 16: Xét số

phức z thỏa mãn 

. Tìm giá trị nhỏ nhất của



z ≤ 5


z − 4i

A. 4 .

C. 6 5 .

B. 3 .

D. 2 5 .