Chương 5. TÍCH PHÂN BỘI.
A. TÍCH PHÂN HAI LỚP.
§1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN HAI LỚP
MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN .
•
1. Định nghĩa :
•
Cho hàm số z = f(x,y), xác định trên miền D đóng, giới nội.
•
+ Chia D thành các miền con D
k
( k = 1, 2, …, n) không dẫm lên
nhau, gọi ΔS
k
là diện tích của D
k
.
•
+ Trong mỗi miền D
k
chọn điểm M
k
(x
k
,y
k
).
•
+ Lập tổng:
•

( , )
k k
n
D
d D d D
f x y dxdy
→∞ →∞
→ →
• = =
∑
∫∫
n
k k
n n
k=1
limσ lim f(M )ΔS

Định lí Fubini :
•
1. Nếu hàm số z = f(x,y) liên tục trên D là miền chữ
nhật: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, thì:
•
2. Nếu hàm số z = f(x,y) liên tục trên
•
D;{(x,y):a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}, thì:
•
3. Nếu hàm số z = f(x,y) liên tục trên
•
D;{(x,y): a ≤ y ≤ b, φ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}, thì:
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2) Nếu f(x,y) liên tục và không âm trên
•
D: {(x,y):a ≤ x ≤ b; φ(x) ≤ x ≤ ψ(x)}, và φ(x), ψ(x) liên tục
trên [a; b] thì:
•
3) Nếu f(x,y) liên tục và không âm trên
•
D: {(x,y):c ≤ y ≤ d; φ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}, và φ(y), ψ(y) liên tục
trên [c; d] thì:
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
b d d b
D a c c a
V = f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy = dx f(x,y)dx.
.
φ
ϕ
∫∫ ∫ ∫
(x)
b
D a (x)
V = f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy
.
φ
ϕ
∫∫ ∫ ∫
(y)
d
D c (y)
V = f(x,y)dxdy = dy f(x,y)dx


•
4) Gọi M, m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x,y) trên
D thì:
•
5) Nếu f(x,y) liên tục trên D là miền đóng, giới nội thì:
là giá trị trung bình của f(x,y) trên D.
0 0
(
∃ ∈
∫∫
0 0
D
x ,y ) D: f(x,y)dxdy = f(x ,y ).S(D).
≤ ≤
∫∫
D
m.S(D) f(x,y)dxdy M.S(D).
∫∫
D
1
. f(x,y) dxdy
S(D)

2. Các ví dụ: Tính các tích phân bội:
Làm sao để
tính ây ???đ
Các em hãy tính tích phân
sau?

∫∫

0 0
I = dx sinydy = (cos -cos2x)dx = 2.
Các em hãy tính tích phân sau?
π
∫∫
D
I = sinydxdy,D : {2y = x,y = 2x,x = }
≤ ≤ ≤ ≤
x
D: {0 xπ, y 2x}
2

Đổi biến trong tích phân hai lớp:
•
Giacobian của một ánh xạ:
•
Giả sử U là tập hợp mở trong R
2
và ánh xạ
•
Xác định bởi: Φ(u, v) = (x(u,v),y(u,v)), trong đó hai
hàm số x(u,v), y(u,v) liên tục và có đạo hàm riêng liên
tục trên U.
•
Giacobian của một ánh xạ Φ kí hiệu:
→
2
Φ:U R
∂ ∂
∂ ∂

Φ :U R
( )
∫∫ ∫∫
Φ(D) D
f(x,y)dxdy = f x(u,v),y(u,v) | J(u,v)| dudv
∈ ≤ ≤ ≤ ≤
∫∫
2
D
I = (x +2y)dxdy, D = {(x,y) R :1 x + y 2, 1 2x - y 3}
∂ ∂ ∂ ∂
⇒ ⇒
∂ ∂ ∂ ∂
 
⇒
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫
2 3 2
D 1 1 1
1 1
u+ v 2u- v x 1 x 1 y 2 y 1 1
3 3
x = ,y = = , = , = , = J|u,v) = = -
2 1
3 3 u 3 v 3 u 3 v 3 3
3 3
u+ v 2u- v 1 1 1 11
I = +2 - dudv = du (5u- v)dv = (10u - 4)du =
3 3 3 9 9 9

J(θ,r) = = -r, r 0.
rcosθ sinθ
( )
.
∫∫ ∫∫
Φ(D) D
f(x,y)dxdy = f rcosθ,rsinθ rdθdr
2 2
2 2x y− −
∈ ≤
∫∫
2
D
I = e dxdy, D = {(x,y) R : x + y 1}
1
≤ ≤
 
 
≤ ≤
 
 
⇒
 ÷
 
∫∫ ∫ ∫
2 2
2π 1
-r -r
D 0 0
x = rcosθ 0 θ 2π

 ÷
 
∫∫ ∫∫
∫ ∫
E D
2π 1
0 0
x = arcosθ 0 θ 2π
,D : J|= abr
y = brsinθ 0 r
S(E) = dxdy = abrdθdr
r
= ab dθ rdr = 2abπ πab
2

Tính thể tích vật thể:
•
1. Thể tích của mặt trụ giới hạn trên bởi mặt
•
z = f(x,y) ≥ 0, giới hạn dưới bởi mặt z = o, giới hạn
xung quanh bởi mặt trụ song song với Oz và có
đường chuẩn là biên của D:
•
2. Giả sử D là tập hợp đo được trong R
2
, φ
1
, φ
2
là hai

⇒
∫∫
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
D
x y x y
z = c 1- - D = (x,y): + 1
a b a b
x y
V = 2c 1- - dxdy
a b
≤
2 2 2
2 2
x y z
(E): + + 1
a b c
( )
;|
1
≤ ≤
 
 
≤ ≤
 
⇒
∫ ∫
1