6
TÍNH TOÁN TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT– BIẾN DẠNG
ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
1
MỤC LỤC

Trang
CHƯƠNG I
VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN
TRẠNG THÁI ỨNG SUÂT - BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT ĐÁ
1.1. Giới thiệu ..................................................................................................4
1.2 Phương pháp sai phân hữu hạn .................................................................6
CHƯƠNG II
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ
TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP
2.1 Cơ sở lý luận của phương pháp PTHH ...................................................9
2.1.1 Cơ sở lý luận .............................................................................................9
2.1.2 Nội dung cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn ..............................9
2.2 Các phương trình cơ bản của PP PTHH để giải bài toán tuyến tính về ứng
suất – biến dạng ........................................................................................10
2.2.1 Sô đồ tính toán - phần tử hữu hạn hình tam giác .....................................10
2.2.2 Xác định ma trận độ cứng của phần tử .....................................................11
2.3 Các phương trình cơ bản của PP PTHH để giải bài toán phi tuyến về ứng
suất – biến dạng ........................................................................................15
2.3.1 Các phương trình cơ bản ............................................................................15
2.3.2 Đường lối chung để giải dúng dần phuong trình ma trận độ cứng của hệ...18
2.3.3 Phương pháp nghiệm đàn hồi ....................................................................18
2.3.4.Phương pháp chất tải từng bước ...............................................................19
2.4. Phương pháp giải các bài toán đàn hồi phi tuyến ....................................21

ỨNG DỤNG QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM ĐỂ
LỰA CHỌN HỢP LÝ KẾT CẤU ĐẬP VẬT LIỆU ĐỊA PHƯƠNG
5.1 Phương pháp quy hoạch thực nghiệm ....................................................48
5.1.1 Vài nét giới thiệu ......................................................................................48
5.1.2. Ứng dụng quy hoạch thực nghiệm để lựa chọn kết cấu hợp lý của
đập đất đá .................................................................................................48
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................53
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
3
CHƯƠNG I
VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT- BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP ĐẤT- ĐÁ
-oOo-
1.1 GIỚI THIỆU
Tính toán trạng thái ứng suất- biến dạng của đập đất đá đã được thực hiện từ
những năm 40 của thế kỷ 20 ở CHLB Nga và các nước phương Tây. Tuy nhiên do
hạn chế về công cụ tính toán mà người ta buộc phải đưa vào quá nhiều giả thiết
nhằm đơn giản hoá các công thức tính toán. Các công thức này là những biểu thức
giải tích theo bài toán một chiều. Cho tới nay, các công thức đó chỉ có ý nghĩa về
mặt lịch sử.
Tính toán trạng thái ứng suất- biến dạng của đập đất đá theo bài toán phẳng hai
chiều cũng đã được tiến hành vào những năm 60 của thế kỷ trước (gắn liền với sự
ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn ), và bài toán không gian 3 chiều cũng chỉ
mới được bắt đầu tính toán vào những năm 70 của thế kỷ 20.. Tất cả các bài toán
đó đều được giải theo mô hình tuyến tính.
Do thực tế xây dựng các dự án thủy điện lớn ở CHLB Nga và các nước phương
tây ngày càng phát triển, nên các đập đất đá cao cũng được ứng dụng nhiếu
hơn.Theo đó các nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm về đập cao cũng phát
triển và đã chứng minh rằng các kết quả tính toán theo bài toán phẳng 1 chiều và

Trong khoảng thời gian trên A.L. Kruranovsky cũng đã giải bài toán không gian
về trạng thái ứng suất - biến dạng của đập đất đá cao 300 m, trong phạm vi lý
thuyết biến dạng dẻo. Bài toán được giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn kết
hợp với việc thay đổi các thông số.
Kết quả lời giải của A.L. Kruranovsky đã được trình bày trong dạng biểu đồ các
đường đồng giá trị môđuyn trượt G, môđuyn biến dạng khối E để chỉ ra sự thay
đổi của G, E trong đập. Kết quả tính toán cũng cho thấy ảnh hưởng tính không
đồng nhất của vật liệu thân đập đến tính biến dạng của nó, đồng thời cũng cho thấy
tính phi tuyến mạnh mẽ trong quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong đập.
Lời giải của A.L. Kruranovsky so với lời giải của IA.X. Gun về bài toán không
gian được coi như một tiến bộ đáng kể, bởi vì nó phản ánh được trong tính toán
ảnh hưởng của thông số Lode – Nadai (một trong những thông số của đường chất
tải). Tuy vậy, lời giải của A.L. Kruranovsky trong lý thuyết biến dạng dẻo vẫn còn
một vài nhược điểm là quá cồng kềnh phức tạp khi miêu tả đặc trưng hình học của
đập cũng như đưa các thông tin vào chương trình.
Ngoài một vài phương pháp tính như đã trình bày, hiện nay để xem xét sự làm
việc không gian của đập, người ta còn sử dụng mô hình trên máy ly tâm.
Teitelbaun A.I và Xabina B.A (CHLB Nga) đã nghiên cứu trạng thái ứng suất và
biến dạng của đập đất – đá trên mô hình khối đặt trên máy li tâm.
Phương pháp mô hình không gian trên máy ly tâm có một số ưu điểm không thể
phủ nhận được. Tuy nhiên các đập đất – đá cao như Hòa Bình, Axuăng, Nurek với
kết cấu phức tạp thì không thể mô hình hóa trên máy li tâm được vì còn hàng loạt
vấn đề mà mô hình này chưa giải quyết được như khả năng mô hình hóa các vật
liệu hạt to, do ứng suất biến dạng trong các khối đá, và điều quan trọng là các giai
đoạn xây dựng đập thì không thể mô hình hết được. Tất cả những khó khăn đó
buộc người ta phải thừa nhận rằng cách tốt nhất để xác định trạng thái ứng suất –
biến dạng trong các đập cao là phải giải bài toán không gian bằng các phương
pháp số và các mô hình toán.
Từ những kết luận như vậy, năm 1982 giáo sư L.N. Rasskadov và A.A. Beliakov
đã giải bài toán không gian về trạng thái ứng suất – biến dạng và ổn định của đập

Về mặt phương pháp tính, để giải bài toán không gian về trạng thái ứng suất -
biến dạng và ổn định đập vật liệu địa phương, nói chung chúng ta có thể sử dụng
các phương pháp sau :
+ Phương pháp sai phân hữu hạn
+ Phương pháp phần tử hữu hạn
+ Phương pháp biến phân cục bộ
Dưới đây sẽ trình bày các phưung pháp số ứng dụng trong tính toán trạng thái
suất - biến dạng và ổn định đập vật liệu địa phương (đất – đá).
1.2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
Phương pháp sai phân hữu hạn là một phương pháp số (nó cũng làm rời rạc một
miền liên tục thành các ô lưới riêng biệt) có thể sử dụng để giải các bài toán đàn
hồi với đập vật liệu địa phương. Nó có một số ưu điểm như:
– Cho phép giải các bài toán có Mơduyn biến dạng E và hệ số Poatxông thay đổi
– Miền giải có thể có hình dáng bất kỳ, kể cả những điểm góc.
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
6
– Có thể giải các bài toán với điều kiện biên bất kỳ.
– Khi xây dựng thuật toán và chương trình theo phương pháp sai phân hữu hạn ta
có thể thực hiện dễ dàng trên máy tính.
Bản chất của phương pháp sai phân hữu hạn là ở chỗ ta thay các đạo hàm riêng
bằng các sai phân riêng có giá trị hữu hạn. Điều đó dẫn đến việc thay hệ phương
trình vi phân bằng một hệ phương trình đại số tuyến tính của các sai phân riêng.
Như ta đã biết trong lý thuyết đàn hồi, các bài toán kết cấu công trình có thể
được giải bằng ứng suất hoặc bằng chuyển vị. Trong dạng chung (bài toán không
gian 3 chiều), các phương trình vi phân cơ bản của phương pháp sai phân hữu hạn,
giải trong chuyển vị (ẩn số là các chuyển vị U và V) sẽ là các phương trình Lame.
Nghĩa là các chuyển vị này phải thỏa mãn các điều kiện biên và các phương trình
Lame:


+
∂
∂
+
∂
∂
+
=
∂∂∂
∂
−++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
=
∂∂∂
∂
−++
∂
∂
+
∂
∂
+

z
U
G
y
U
G
x
U
G
λλ
λλ
λλ
(1.1)
Ở đây: λ, G – Là các hằng số Lame

)21)(1(
.E
;
)1(2
E
G
µ−µ+
µ
=λ
µ+
=
Từ đó các giá trị ứng suất sẽ xác định theo :






∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂

V
x
V
G
z
U
y
U
x
U
G
yz
xz
xy
z
y
x
σ
σ
σ
λλλσ
λλλσ
λλλσ
)2(
)2(
)2(

(1.2)
Để giải bài toán theo chuyển vị (ở các biên ta phải biết trước các chuyển vị, ví dụ
ở hai bờ và nền đá chuyển vị bằng 0), ta chuyển phương trình Lame (phương trình

(2.1.3)
Đối với V
s
:
G
y
)UUUU(
21
)VV2V()VU2V(
21
1
2
2
105116789
2
1283
∆ψ
=+−−
µ−
α
++−α++−
µ−
µ−
ở đây : α = ∆y/∆x
Phương pháp sai phân hữu hạn đã được dùng khá phổ biến trong những thập niên
60 – 70 củ thế kỷ 20 để giải các bài toán đàn hồi tuyến tính của đập vật liệu địa
phương. Khi gặp bài toán đàn hồi phi tuyến phương pháp này trở nên hết sức cồng
kềnh, vì vậy hiện nay ít được sử dụng để tính đập.
CHƯƠNG II
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ

Nhằm đơn giản hóa tính toán mà vẫn đảm bảo đủ mức tính toán yêu cầu, người
ta xây dựng phương pháp PTHH là một phương pháp gần đúng để tính kết cấu với
nội dung sau:
Thay thế kết cấu thực tế bằng một mô hình, dùng để tính toán bao gồm một số
hữu hạn phần tử riêng lẻ liên kết với nhau chỉ ở một số hữu hạn điểm nút, tại các
đểm nút tồn tại các lực tương tác biểu thị tác động qua lại của các phần tử kề
nhau. Quan niệm như vậy có nghĩa là thay bài toán tính hệ liên tục (hệ thực tế) có
bậc tự do vô hạn bằng bài toán tính hệ có bậc tự do hữu hạn. Chỗ phân cách giữa
các phần tử hữu hạn gọi là biên của phần tử hữu hạn. Tùy từng trường hợp cụ thể,
biên của các phần tử hữu hạn có thể là các điểm, các đường hoặc các mặt.
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
9
Trong thực tế kết cấu là một môi trường liên tục cho nên ở tại mọi điểm trên biên
của mỗi phần tử đều có các lực tương tác giữa các phần tử. Tại các điểm trên biên,
ứng lực cũng như chuyển vị đều phải thỏa mãn điều kiện liên tục khi ta chuyển từ
phần tử này sang phần tử kế cận ( điều này sẽ nói kỹ về sau ). Trái lại, ở trong mô
hình thay thế, kết cấu được quan niệm là chỉ gồm một số phần tử riêng lẻ liên kết
với nhau ở một số điểm nút, cho nên giữa các phần tử lân cận chỉ có các lực tương
tác đặt tại các điểm nút.
Dĩ nhiên quan niệm như vậy chỉ là gần đúng. Trong khi thay thế kết cấu thực tế
(hệ liên tục) bằng một tập hợp phần tử rời rạc chỉ liên kết lại với nhau ở các điểm
nút. Người ta thừa nhận rằng, năng lượng bên trong mô hình thay thế phải bằng
năng lượng trong kết cấu thực. Nếu ta xác định được chính xác các lực tương tác
giữa các phần tử lân cận, và nếu ở trên các biên của các phần tử, điều kiện liên tục
về lực và về chuyển vị đảm bảo được thỏa mãn khi ta chuyển từ phần tử này sang
phần tử lân cận thì mô hình thay thế hoàn toàn giống với kết cấu thực tế..
Đối với bài toán về trạng thái ứng suất và biến dạng của môi trường liên tục, khi
sử dụng PP PTHH ta cần phải lần lượt giải quyết các bước như sau:
a. ) Phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng của mỗi phần tử hữu hạn.

10
11
12
13
14 15
16
17
18
19
20
21
22 23
24
SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN THEO PP PTHH
a.) Chia miền S thành nhiều phần tử
Y
X
O
a.)
b.)
b.) Phần tử hình tam giác 3 điểm nút

Hình 2.1
Xét PTHH hình tam giác bất kì có các đỉnh là 1, 2.3, (hình 3.1) trong đó ta lưu ý
kí hiệu thứ tự các nút theo ngược chiều kim đồng hồ.và chịu tác dụng của các
ngoại lực đặt tại các điểm nút là :
[ R ] = [ R
1x
, R
1y

Để giải bài tốn ứng suất– biến dạng trước hết ta phải xác định được quan hệ
giữa ứng lực nút [ R ] và [ q ] trong dạng :
[ R ] = [ K ] [ q ] (2. 1)
Trong đó [ K ] là ma trận độ cứng phần tử hữu hạn.
Nếu ta biết trước 6 thành phần chuyển vị nút ở 3 đỉnh thì ta cũng có thể xác định
được chuyển vị của một điểm bất kì trong tam giác, bởi vì ta có thể giả thiết một
cách gần đúng quy luật biến đổi các thành phần chuyển vị của một điểm bất kỳ của
phần tử dưới dạng biểu thức phụ thuộc tọa độ x, y như sau :
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
11
u = α
1
+ α
2
x + α
3
y
v = α
4
+ α
5
x + α
6
y
(2.2)
Hoặc : [U ] = [A ] [α ]
(2.3)
Ở đây : [U ] = [ u, v ]
T

1
v
1
=
α
2
+
α
4
x
1
+
α
6
y
1
u
2
=
α
1
+
α
3
x
2
+
α
5
y

y
3
v
3
=
α
2
+
α
4
x
3
+
α
6
y
3
Hoặc viết dưới dạng ma trận :
[q] = [B] [α ]
Trong đó :
1 0 x
1
0 y
1
0
0 1 0 x
1
0 y
1
B = 1 0 x

∆
2
1
{[y
23
(x–x
3
)– x
23.
(y – y
3
)].U
1
+ [y
31.
(x – x
1
) - x
31.
(y-y
1
).U
2
+ [ -y
21
(x-x
2
) +
x
21

)]V
2
+ [-y
21.
(x–x
2
)+x
21.
(y-y
2
)]V
3
} (2.7)
Trong đó : ∆ = x
23
y
31
– x
31
y
23
là diện tích tam giác và
x
i j
= x
i
- x
j
y
i j

ε
y
=
∆
=
∂
∂
2
1
y
v
(- x
23
V
1
– x
31
v
2
+ x
21
V
3
)
γ
xy
=
∆
=
∂

– y
21
V
3
) (2.8)
Hay viết dưới dạng ma trận :
ε  = D  q  (2.9)
Trong đó : ε  =  ε
x
ε
y
γ
xy

T
y
23
0 y
31
0 y
21
0
[D] =
∆
2
1
0 y
23
0 y
31

1
0
[E
ε
]
=
µ
1
C
2
C
2
0
o 0 G
C
1
=
21
1
1
µµ
−
E
; C
2
=
21
2
1
µµ

v
2
u
3
v
3
[E]
=
∆
2
1
C
y
23
–µ
2
x
23
y
31
–µ
2
x
31
–y
21
µ
2
x
21

1
y
31
a
1
x
21
–a
1
y
21
(2.12)
Ở đây : a
1
=
)1(
21
1
µµ
−
E
G
;
2
1
µ
µ
η
=
Để thiết lập ma trận độ cứng của phần tử hình tam giác phẳng, ta sử dụng công

a
22
0 0 0 0 V
1
R
2x
= C
o
a
31
a
32
a
33
0 0 0 U
2
R
2y
a
41
a
42
a
43
a
44
0 0 V
2
R
3x

C
o
=
)1(4
21
1
µµ
µ
−∆
−
hE

a
11
= y
2
23
+ a
1
x
2
23
a
21
=
(a
1
+ µ
1
)x

1
x
13
y
23
+
µ
2
x
32
y
31
a
33
= y
2
31
+
a
1
x
2
31
a
41
= a
1
x
32
y

13
y
31
a
21
= y
2
32
+
a
1
x
2
32
a
51
= a
1
x
12
x
23
+ y
12
y
23;
a
52
= a
1

=
a
1
x
21
y
31
+
µ
2
x
13
y
12
a
55
=
y
2
12
+
a
1
x
2
12
a
61
=
ηx

32
y
12
µ
2
x
21
y
31
a
64
=
ηx
12
x
13
+
a
1
y
12
y
31
a
65
=
(a
1
+ µ
1

là hằng số.
Sau khi xác định được ma trận độ cứng của phần tử hình tam giác chúng ta sẽ
tiến hành lập ma trận độ cứng của toàn hệ theo nguyên tắc cộng các số hạng của
các ma trận tam giác tương ứng cùng tên điểm nút. Phương trình cuối cùng sẽ có
dạng :
[ A ] [ q ] = [ R ] (2.16)
Trong đó : [ A,] [ q], [ R ] – Lần lượt là các ma trận độ cứng, chuyển vị và ma
trận ngọai lực của toàn bộ hệ (công trình). Từ đó ta có thể xác định dược toàn bộ
các thành phần chuyển vị của hệ theo phương trình ma trận sau :
[ q ] = [ A ]
-1
[ R ] (2.17)
Nói chung ma trận A có thể là một ma trận suy biến ( không có ma trận nghịch
đảo. Tuy nhiên sau khi đưa các điều kiện biên vào thì [A] sẽ là một ma trận
không suy biến và (2. 17) là một hệ phương trình có các nghiệm thực xác định.
Khi sử dụng phương pháp PTHH hình tam giác phẳng để giải bài toán phẳng về
trạng thái ứng suất – biến dạng của đập đất–đá theo lý thuyết đàn hồi, cần lưu ý
rằng mức độ chính xác của kết quả tính toán phụ thuộc vào giả thiết ban đầu về
quy luật biến đổi của các thành phần chuyển vị theo các tọa độ x, y.
U = α
1
+ α
2
x + α
3
y
Trong biểu thức trên ta đã giả thiết là mối liên hệ giữa chuyển vị U và tọa độ x, y
có quan hệ bậc nhất. Nếu sử dụng giả thiết quy luật biến đổi giữa chuyển vị và toạ
độ x, y tại một điểm bất kỳ, không phải là bậc nhất, mà theo một quy luật cao hơn,
chẳng hạn quy luật đa thức bậc 2 dạng :

Trong thực tế tính toán kết cấu đôi khi ta có thể gặp loại bài toán phi tuyến sau
đây: Những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý và những bài toán phi tuyến
về phương diện hình học. Ta gặp những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý
khi vật liệu có tính đàn dẻo hoặc khi vật liệu có tính chất cơ học thay đổi theo thời
gian, lúc này quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là quan hệ phi tuyến :
{σ} = f (ε)
Ta còn gặp những bài toán phi tuyến về phương diện hình học khi kết cấu có
chuyển vị lớn làm thay đổi một cách đáng kể hình dạng hình học ban đầu của hệ,
cho nên khi thiết lập các phương trình cân bằng tĩnh học của hệ trong trạng thái hệ
bị biến dạng ta sẽ được các phương trình có dạng phi tuyến.
Những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý cũng như hình học đều đưa về
giải các phương trình chứa những số hạng phi tuyến đối với ẩn số của bài toán.
Nói chung không thể giải một cách chính xác dưới dạng đóng những phương trình
phi tuyến như đối với những phương trình tuyến tính, mà phải dùng các thuật toán
đúng dần. Nhờ các phương pháp đúng dần ta có thể mở rộng áp dụng những thuật
toán đã trình bày ở các chương trên để giải những bài toán phi tuyến thường gặp.
Về mặt lý luận, hiện nay người ta mới chỉ khảo sát được sự hội tụ của các quá
trình tính toán đúng dần khi giải bài toán phi tuyến trong một số trường hợp riêng
biệt, nhưng trong thực tế tính toán, người ta nhận thấy quá trình tính toán đúng dần
thường hội tụ đến kết quả chính xác mong muốn.
Dưới đây sẽ trình bày cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải những
bài toán phi tuyến thường gặp.
Trong những bài toán phi tuyến về phương diện vật lý, quan hệ giữa vectơ ứng
suất [σ] và vectơ biến dạng [ε] có thể viết dưới dạng:
[σ] = [E*(ε)].[ε]
Trong đó ma trận [E*(ε)] là hàm của trạng thái biến dạng [ε]..
Nếu chú ý rằng trạng thái biến dạng [ε] lại là hàm phụ thuộc vào các chuyển vị
nút [q], thì ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng dưới dạng
mối quan hệ giữa trạng thái ứng suất [σ] và chuyển vị nút [q] như sau:
{σ} = [E*(q)]{q} (2.18)

{δε} = [D*(q)]{ δq}
Trong đó ma trận [D*(q)] có các phần tử xác định theo công thức sau:

∑
=
∂
∂
+=
r
1s
s
j
is
ij
*
ij
q
q
d
dd
Với d
ij
là các phần tử tương ứng của ma trận [D] trong bài toán tuyến tính.
Bằng cách lý luận tương tự như khi thiết lập công thức tính ma trận độ cứng của
phần tử trong trường hợp bài toán tuyến tính, ta cũng đi đến công thức xác định ma
trận độ cứng [K*] của một phần tử hữu hạn bất kỳ trong trường hợp bài toán phi
tuyến như sau:

∫
=

(2. 22)
Phương trình (2. 22) được gọi là phương trình ma trận độ cứng của hệ.
Trong phương trình (2. 22) các phần tử của ma trận [K*] không những phụ thuộc
vào các thông số hình học của kết cấu, mà còn phụ thuộc vào trạng thái ứng suất
– biến dạng của hệ. Cho nên việc giải phương trình hết sức phức tạp. Nói chung ta
không thể giải một cách chính xác dưới dạng đóng mà phải dùng các thuật toán
đúng dần. Dưới đây ta hãy xét những phương pháp đúng dần thường dùng hơn cả.
2.3. 2. Đường lối chung để giải dúng dần phuong trình ma trận độ cứng của hệ
Nội dung phương pháp như sau: chia quá trình tính thành nhiều giai đoạn.
Trong mỗi giai đoạn ta đều xác định ma trận độ cứng
]*K[
cho toàn hệ theo
những giá trị của các chuyển vị nút tính được từ giai đoạn trước. Nếu gọi {q(s)} là
vectơ chuyển vị nút ở giai đoạn thứ s, {q(s-1)} là vectơ chuyển vị nút ở giai đoạn
thứ s – 1, thì trong giai đoạn tính thứ s phương trình (2. 22) có dạng:

}P{}q)]{q(*K[
)s()1s(
=
−
(2. 23)
Ở đây ma trận độ cứng
)]q(*K[
)1s(
−
là hàm phụ thuộc vào các chuyển vị nút
tính được trong giai đoạn tính s-1. Trong giai đoạn tính thứ nhất (s = 1) ta giả thiết
các chuyển vị nút bằng không, nghĩa là {q(1)} = {0}. Tương ứng với giả thiết này,
tất cả các số hạng kể đến ảnh hưởng phi tuyến về phương diện hình học và về
phương diện vật lý đều bằng không cho nên trong giai đoạn tính đầu tiên [K*] =

}p{}q{]K[]K[
pt
=+
Hoặc:

}q{]K[]P[}q]{K[
pt
−=
(2. 25)
Phương trình này là phương trình phi tuyến, vế phải của nó là một đại lượng
phụ thuộc phi tuyến vào vectơ chuyển vị
}q{
. Quá trình giải phương trình này tức
là xác định vectơ chuyển vị
}q{
sao cho thỏa mãn phương trình có thể thực hiện
một cách đúng dần qua nhiều giai đoạn tính gần đúng. Trong giai đoạn tính gần
đúng thứ nhất ta sẽ xác định được giá trị gần đúng
}q{
)1(
của vectơ chuyển vị, trong
giai đoạn tính thứ hai, ta sẽ xác định được giá trị gần đúng
}q{
)2(
của vectơ chuyển
vị, trong giai đoạn tính ba, ta sẽ xác định được giá trị dần đúng
}q{
)3(
của vectơ
chuyển vị,…Viết phương trình (2. 25) cho một giai đoạn tính toán bất kỳ, chẳng

==
−
,
thay vào hệ thức (2. 27) ta sẽ có
}P{}P{
)0(
=
. Đem giá trị này thay vào phương
trình (2.26) và giải ta sẽ tìm được
}q{
)1(
. Chuyển sang giai đoạn thứ 2 (s = 2) ta
thay giá trị
}q{
)1(
và hệ thức (2. 27) sẽ tính được :
.
}q{)q(K[}P{}p{
)1(
pt
)1()1(
−=
Đưa giá trị này vào giải hệ phương trình(2. 26) ta sẽ tìm được giá trị gần đúng
}q{
)2(
của vectơ chuyển vị,… Cứ thế thục hiện các giai đoạn tính tiếp tục cho đến
khi nào kết quả tính toán trong hai giai đoạn liên tiếp sai khác nhau không đáng kể,
nghĩa là quá trình tính toán đã hội tụ đến kết quả chính xác mong muốn
}q{
.

t
= 1, thì vectơ chuyển vị
nút cũng thay đổi dần tương ứng từ giá trị
}q{
)0(
đến
}q{
)1(
,
}q{
)2(
,…và cuối cùng
là
}q{
)t(
=
}q{
.
Như vậy, viết phương trình (2.28) cho bước chất tải thứ s và thứ s + 1 ta sẽ được:

}P{}q]{K[
s
)s()s(
λ=
(2. 29)

}P{}q]{K[
1s
)1s()1s(
+

q{}q{
n
1k
k
q
]K[
]
)s(
K[]
)1s(
K[
+
=
∑
=








∂
∂
+≈
−
(2. 32)
Trong đó:


n
1k
k
)1s()s(
λ−λ≈














∂
∂
+
+
+
=
+
∑
(2.35)
Số hạng thứ hai của vế trái phương trình này có thể biến đổi như sau:
__________________________________






∂
∂
+
=
+
=
∑∑
}q{qd
q
k
}q{qd
q
]K[
)s(
k
)1s(
k
n
1k
k
ij
)s(
k
)1s(
n

=
n
1k
)1s(
k
)s(
j
n
1j
k
ij
n
1j
)s(
j
)1s(
k
n
1k
k
ij
qdq
q
k
qqd
q
k
(2. 36)

}]{[

ij
qdKqdq
q
k
qdq
q
k
j
Trong đó ma trận
]K[
)s(
∆
có các phần tử xác định theo công thức sau:

∑
=
∂
∂
=∆
n
1k
)s(
k
j
)s(
i
)s(
ij
q
q

(2. 38)
Đây là phương trình cơ bản cho ta giải bài toán. Áp dụng phương trình này cho
bước chất tải đầu tiên (s = 0) (tương ứng với bước này λ
0
= 0,
}0{}q{
)0(
=
), rồi bước
chất tải tiếp theo (s = 1),… cho đến bước chất tải cuối cùng (tương ứng với giá trị
λ
t
= 1 ta sẽ xác định được giá trị của vectơ chuyển vị
}q{
cần tìm.
Trong mỗi bước chất tải, truóc khi giải phương trình (2. 38) ta đều phải xác định
trước các ma trận
]K]K[
)s()s(
∆
[ vaø
tương ứng với giá trị
}q{
)s(
đã tìm được ở
bước trước. Sau đó giải phương trình (2.31) ta sẽ tìm được {dq(s+1)}, biết giá trị
này theo công thức (2.34) ta tìm ngay được giá trị của vec tơ chuyển vị ở bước tiếp
theo {q(s+1)} như sau:
{q
(s+1)

Khi σ > σ
0
thì E(σ) =
ε
ε
oo
E
Trong trạng thái căng khối vật liệu đàn hồi phi tuyến, môđun đàn hồi E và hệ số
Poatxông v phụ thuộc vào các bất biến tenxơ ứng suất (hay tenxơ biến dạng) nếu
vật liệu đẳng hướng vàphụ thuộc vào các tổ hợp khác của các thành phần ứng suất
(hay biến dạng) nếu vật liệu dị hướng. Chẳng hạn, đối với vật liệu đàn dẻo lý
tưởng, môđun đàn hồi E và hệ số Poatxông v phụ thuộc vào các giá trị của cường
độ biến dạng
ε
hoặc cường độ ứng suất
σ
:
})()(){(
3
2
2
13
2
32
2
21
ε−ε+ε−ε+ε−ε=ε

})()(){(
3

- Bước 3: Căn cứ vào những giá trị của E và v mới vừa tìm được ở bước 2, lại xác
định trạng thái ứng suất và biến dạng mới của hệ.
- Bước 4: Lặp lại bước 2
- Bước 5: Lặp lại bước 3 …
Cứ thế tiến hành tính toán cho đến khi kết quả tính toán hội tụ (kết quả tính toán
trong hai bước tính liên tiếp không sai khác nhau đáng kể). Thông thường áp dụng
thuật toán này để giải những bài toán vật liệu đàn – dẻo lý tưởng, hoặc vật liệu dẻo
có tái bền người ta chỉ cần thực hiện 3 hoặc 4 chu trình tính toán là đủ để hội tụ
đến kết quả đủ dùng trong thực tế. Người ta thường dùng thuật toán này để giải
những bài toán cơ học đất-đá.
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
22
2. 5. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LIỆU ĐÀN DẺO
Khi dùng phương pháp gần đúng để giải bài toán vật liệu đàn dẻo, người ta thừa
nhận có mối liên hệ đơn trị giữa trạng thái ứng suất và trạng thái biến dạng. Cách
giải gần đúng như thế gặp phải một số khó khăn sau đây:
1. Trong quá trình dỡ tải trọng vật liệu chỉ còn xuất hiện biến dạng đàn hồi chứ
không xuất hiện biến dạng dẻo nữa, cho nên mối liên hệ đơn trị giữa ứng suất và
biến dạng trong quá trình dỡ tải không đúng nữa.
2. Trong trường hợp vật liệu đàn dẻo người ta có thể tìm được môđun đàn hồi
tương đương để biểu thị mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng, nhưng khó mà có
thể tìm được biểu thức xác định hệ số Poát–xông tương đương trong trường hợp
này.
3. Khi thiết lập các quy luật dẻo và quy luật từ biến người ta thường phải tách biệt
hiệu ứng đàn hồi và hiệu ứng dẻo và thường phải viết các quy luật đó dưới dạng
các số gia. Điều này làm cho tính toán cồng kềnh và sai khác với thực tế.
Nhằm tránh những khó khăn đó, Gallagher, Argyris và một số tác giả khác đề
nghị phương pháp sau đây để giải bài toán vật liệu đàn-dẻo và bài toán từ biến.
Phương pháp này được gọi là phương pháp số gia biến dạng ban đầu.

+ ∆{ε}
n
(2. 41)
và xem rằng các đại lượng này là số gia biến dạng ban đầu của hệ, thì ta có thể viết
(2. 40 ) dưới dạng:
∆{ε} = ∆{ε}
dh
+ ∆{ε
0
} (2. 42)
Giữa ứng suất và biến dạng đàn hồi có mối quan hệ {σ} = [D]
-1
{ε} trong đó [D]
là ma trận đàn hồi của hệ, cho nên ta có thể viết (2. 42) như sau:
∆{ε} = [D]
-1
{σ} + ∆{ε
0
} (2. 43)
Ta thấy ngay là trạng thái ứng suất và biến dạng của hệ ở thời điểm cuối của
khoảng thời gian đang xét bằng trạng thái ứng suất và biến dạng của hệ ở thời
điểm đầu của khoảng thời gian đó cộng với các số gia ứng suất và biến dạng tương
ứng.
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
23
Nói chung, xác định sự thay đổi biến dạngg vì nhiệt trong một khoảng thời gian
nào đó không khó khăn gì, trái lại, không thể xác định được số gia biến dạng dẻo
vì đại lượng này đồng thời phụ thuộc trạng thái ứng suất ở thời điểm đầu và thời
điểm cuối của khoảng thời gian đang xét. Thông thường người ta có thể xác định

(2. 43’)
và:
xyd,xy
C3
γ∆=γ∆
Trong đó: ∆ε
x,d
– Số gia biến dạng dẻo theo phương x
∆σ
x
– Số gia ứng suất theo phương x
∆γ
xy,d
– Số gia biến dạng dẻo trong mặt phẳng xy.
C – hệ số tỷ lệ (trong trường hợp vật liệu đàn hồi hệ số tỷ lệ này là
E
1
)
Một cách tổng quát, ta có thể viết số gia biến dạng dẻo trong mọi trường hợp dưới
dạng sau:
∆{ε
d
} = [D]
-1
∆{σ}
Trong đó: [D]
-1
= C [D
0
]


1n
d
nK
d
d
C
−
σ=
σ
ε
=
(2. 44)
Lý thuyết biến dạng dẻo vừa nêu có ưu điểm dễ sử dụng nhưng không mô tả
được chính xác hiện tượng biến dạng dẻo trong thực tế. Đrắckơ (D.C. Drucker) đã
xây dựng lý thuyết dẻo khác phù hợp với thực tế hơn dựa trên một số giả thiết về
số gia. Ông đã chứng minh được rằng trong trạng thái biến dạng khối, số gia biến
dạng dẻo và các cường độ ứng suất có quan hệ sau:






τσ∆σΨ=γ∆
σ−σ−σσ∆σΨ=ε
∆
xyd,xy
zyxd,x
)(

trọng có những số gia nhỏ cũng gây ra những biến dạng dẻo rất lớn (thậm chí lớn
vô hạn) cho nên quá trình tính toán không hội tụ đến kết quả được.
Do đó, khi gặp vật liệu dẻo lý tưởng người ta thường dùng phương pháp giải sau.
Trong phương pháp này quá trình chất tải cũng được thực hiện từng bước, và trong
mỗi bước, xác định biến dạng do sự gia tải gây ra thì xem vật liệu gần như đàn hồi.
Số gia của vật liệu có thể viết dưới dạng:
__________________________________
Đập vật liệu địa phương – Tính tón ứng suất- biến dạng
25