Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN NGUYÊN BÌNH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC
VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC L
L
U
U
Ậ

T
O
O
Á
Á
N
NH
H
Ọ
Ọ
C
C

Thái Nguyên - năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

NV
V
Ă
Ă
N
NT
T
H
H
Ạ
Ạ
C
CS
S
Ĩ
ĨT
T
O

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✷
▼ét sè ❦Ý ❤✐Ö✉ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ✺
❈❤➢➡♥❣ ✶ ❈➡ së t♦➳♥ ❤ä❝ ✻
✶✳✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ s❛✐ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✷ ▲ý t❤✉②Õt æ♥ ➤Þ♥❤ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✸ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈➭ ❜æ ➤Ò ❜æ trî ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
❈❤➢➡♥❣ ✷ æ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ✶✺
✷✳✶ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷✳✶✳✶ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷✳✶✳✷ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✶✳✸ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❤Ö rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã trÔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✷✳✷ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺
✷✳✷✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺
✷✳✷✳✷ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❝ñ❛ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
❈❤➢➡♥❣ ✸ æ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ❝➳❝ ❤Ö ❝ã trÔ ✸✷
✸✳✶ ❙ù æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ❝ñ❛ ❤Ö ❝ã trÔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷
✸✳✷ ❙ù æ♥ ➤Þ♥❤ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ✈➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤♦➳ ❜Ò♥ ✈÷♥❣ ❝ñ❛ ❤Ö ❝ã trÔ
✈í✐ ♥❤✐Ô✉ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼
❑Õt ❧✉❐♥ ✹✾
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✺✵
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ờ ó
ý tết ị tí ệ ộ ự ột tr ữ ớ
ứ q trọ tr ý tết trì s r ý
tết ó tí ổ ị ột tr ữ tí t t ể ó ề ứ
ụ tr tự tế ợ q t ứ tr ữ t ỷ
ợ t ứ từ ố tế ỷ ở t ọ
ế trở t ột ớ ứ tể tế tr ý tết
ệ tố ứ ụ trì ủ ó ề ết q ý

t❤❡♦ ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ▼ét ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
♠❛ tr❐♥ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝ß♥ ❧➵✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❞ù❛ tr➟♥ tÝ♥❤ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❝➷♣
♠❛ tr❐♥ ❤Ö sè [A, B].
❈❤➢➡♥❣ ✸ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠í✐✳ ë ➤➞② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ①Ðt ❝➳❝ ❤Ö
rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ✭✉♥❝❡rt❛✐♥✮ ❝ã trÔ
x(k + 1) = (A + D
a
F
a
(k)E
a
)x(k)+(B + D
b
F
b
(k)E
b
)x(k − h)
+(C + D
c
F
c
(k)F
c
)u(k) k ∈ Z
+
,
✭✷✮
✈➭ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ❦❤➠♥❣ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ❝ã trÔ ✈í✐ ♥❤✐Ô✉ ♣❤✐ t✉②Õ♥
x(k + 1) =(A + D

c
F
c
(k)E
c
)u(k) + f(k, x(k), x(k − h), u(k)), k ∈ Z
+
,
✭✹✮
tr♦♥❣ ➤ã x(k) ∈ R
n
❧➭ ❜✐Õ♥ tr➵♥❣ t❤➳✐✱ u(k) ∈ R
m
❧➭ ❜✐Õ♥ ➤✐Ò✉ ❦❤✐Ó♥✱
A, B, C, D
a
, E
a
, D
b
, E
b
, D
c
, E
c
❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣ ❝❤♦ tr➢í❝ ✈í✐ sè ❝❤✐Ò✉
t❤Ý❝❤ ❤î♣✱ F
a
(k), F

 f(k, x, y, z) ≤ a  x  +b  y  +c  z ,∀(k, x, y, z) ∈ Z
+
×R
n
×R
n
×R
m
,
a, b, c ❧➭ ♥❤÷♥❣ sè ❞➢➡♥❣ ❝❤♦ tr➢í❝✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝
❝ñ❛ ●❙✳❚❙❑❍ ❱ò ◆❣ä❝ P❤➳t✱ ♥❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉
s➽❝ ♥❤✃t ➤è✐ ✈í✐ ❚❤➬②✳
❊♠ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❝ñ❛ ➜❍ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✈➭ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ➤➲
t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ ❝❛♦ ❤ä❝✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❚r➢ê♥❣ ➜❍ ❑✐♥❤ tÕ & ◗❚❑❉ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❦❤♦❛ ❑❤♦❛
❤ä❝ ❝➡ ❜➯♥ tr➢ê♥❣ ➜❍ ❑✐♥❤ tÕ & ◗❚❑❉ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ tr➢ê♥❣
➜❍❙P ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❦❤♦❛ ❙❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝ tr➢ê♥❣ ➜❍❙P ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ q✉❛♥
t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✱ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦ t➠✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝ñ❛
♠×♥❤✳
❳✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝æ ✈ò ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣
s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ột số í ệ ù tr
Z
+
t tt số R
+
t tt số tự

ij
|
2
)
1
2
.
tr A ợ ọ ị í ệ A 0, ế

Ax, x

0,x R
n
; tr A ợ ọ ị ế

Ax, x

0,x R
n


Ax, x

> 0 ớ x = 0.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❈❤➢➡♥❣ ✶
❈➡ së t♦➳♥ ❤ä❝
✶✳✶ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ s❛✐ ♣❤➞♥
❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥

+
t

t
0
f(s, x(s))ds.
❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❤Ö ✭✶✳✶✮ ❝ã ❞➵♥❣

˙x = Ax + g(t), t ≥ 0,
x(t
0
) = x
0
, t
0
≥ 0,
✭✶✳✷✮
✈í✐ A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣✱ g(t) : [0,∞) −→ R
n
❧➭ ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤ ➤➢î❝ ✭✶✳✷✮ ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤② s❛✉
x(t) = e
A(t−t
0
)
x
0
+
t


t
0
Φ(t, s)g(s)ds,
tr♦♥❣ ➤ã Φ(t, s) ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❤Ö ✭✶✳✺✮ t❤á❛ ♠➲♥
(i)
d
dt
Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s,
(ii)Φ(t, t) = I.
❇➟♥ ❝➵♥❤ ❝➳❝ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ t❛ ❝ò♥❣ ①Ðt ❝➳❝ ❤Ö s❛✐ ♣❤➞♥ t➢➡♥❣
ø♥❣✱ ①Ðt ❤Ö
x(k + 1) = f(k, x(k)), k = 0, 1, 2, .... ✭✶✳✻✮
tr♦♥❣ ➤ã f(.) : Z
+
× R
n
−→ R
n
❝❤♦ tr➢í❝✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ tr➵♥❣ t❤➳✐ ❜❛♥ ➤➬✉
x(0) = x
0
❤Ö ❧✉➠♥ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tr✉② ❤å✐
x(1) = f(0, x
0
), x(2) = f(1, f(0, x(0))), ....
❑❤➳❝ ✈í✐ ❤Ö ✈✐ ♣❤➞♥✱ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö ✭✶✳✻✮ ❧➭ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ❦❤➠♥❣
❝➬♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ò♥❣ ♥❤➢ tÝ♥❤ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝ñ❛ ❤➭♠ f(.). ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ❤Ö
✭✶✳✻✮ ❧➭ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❞➵♥❣
x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k), k ∈ Z
+

k−1

s=0
A
k−s−1
g(s).
➜Ó ➤➳♥❤ ❣✐➳ ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✐ ♣❤➞♥ ♥❣➢ê✐ t❛ t❤➢ê♥❣ ❞ï♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ q✉❛♥ trä♥❣ s❛✉✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶ ✭❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ●r♦♥✇❛❧❧ rê✐ r➵❝ ❬✸❪✮✳ ❈❤♦ z(k), a(k) : Z
+
−→
Z
+
❧➭ ❝➳❝ ❞➲② sè ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ C ≥ 0 ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
z(k) ≤ C +
k−1

s=0
a(s)z(s), k = 1, 2, ..., z(0) ≤ C.
❑❤✐ ➤ã
z(k) ≤ C
k−1

s=0
(1 + a(s)), k = 1, 2, ....
✶✳✷ ▲ý t❤✉②Õt æ♥ ➤Þ♥❤ ▲②❛♣✉♥♦✈
❳Ðt ♠ét ❤Ö t❤è♥❣ ♠➠ t➯ ❜ë✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✭✶✳✶✮ ë tr➟♥✱ ❣✐➯ sö ❤➭♠
sè f(.) t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❈❛✉❝❤② ❧✉➠♥ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠✱ ❦❤✐ ➤ã
❞➵♥❣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ➤➢î❝ ❝❤♦ ❜ë✐
x(t) = x

< tì y(t) x(t) 0 t .
ệ x(t) ọ ổ ị ũ ế ó ổ ị tệ t
ó tồ t số , M s ế y
0
x
0
< tì
y(t) x(t) < Me
t
ớ ọ t t
0
.
ét r ổ ế z = x y y ệ t ỳ
trì ợ ề
z = F (t, z),
tr ó F (t, z) = f(t, z + y) f(t, y), F (t, 0) = 0. ó ứ sự
ổ ị ủ ệ x(t) ó ủ ệ t ớ ứ
tí ổ ị ủ ệ 0 ủ ệ ể từ t sẽ ét ệ
ớ tết ệ ó ệ 0, tứ f(t, 0) = 0, t R
+
. ó
ệ ổ ị ế ớ ỗ > 0, t
0
R
+
trớ tồ t số
> 0 ụ tộ , t
0
s t ỳ ệ x(t) : x(t
0

tr

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ị ĩ ệ ọ ổ ị ế ớ ỗ > 0, k
0
Z
+
tồ t > 0 ụ tộ , k
0
s ớ ọ ệ x(k) ủ ệ
x(0) < tì x(k) < ớ ọ k k
0
. ệ ổ ị tệ ế ó
ổ ị ó ột số > 0 s lim
t
x(k) = 0 ớ ọ ệ x(k)
x(0) < .
ý tết ị tí trì ó ủ ế
ứ tí ổ ị ủ ệ ó số ũ
ù trự tế r
ủ ú t ỉ ột số ết q ủ ế ề
tứ
P tứ ứ sự ổ ị ù
ố ớ ó ột tt t tổ qt
ể tì ợ tt trì
ét ệ trì tế
x(t) = f(x(t)), f(0) = 0, t R
+
.
ột số V (x) : R

˙x
1
= −2x
3
1
+ 2x
2
, t ≥ 0,
˙x
2
= −x
1
− x
3
2
.
▲✃② ❤➭♠ V (x) = x
2
1
+ 2x
2
2
, t❛ ❝ã
D
f
V (x) = 2x
1
˙x
1
+ 4x

✶✳✸ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈➭ ❜æ ➤Ò ❜æ trî
❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✶✳ ●✐➯ sö A, B ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ (n × n) ❝❤✐Ò✉✳ ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉
I + AB ❦❤➯ ♥❣❤Þ❝❤ t❤× I + BA ❦❤➯ ♥❣❤Þ❝❤✱ ❤➡♥ ♥÷❛
(I + BA)
−1
= I − B(I + AB)
−1
A.
➜✐Ò✉ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ❝ò♥❣ ➤ó♥❣✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
●✐➯ sö I + AB ❦❤➯ ♥❣❤Þ❝❤✱ ❦❤✐ ➤ã
BA =B(I + AB)
−1
(I + AB)A = B(I + AB)
−1
A + B(I + AB)
−1
ABA
=B(I + AB)
−1
A(I + BA).
❱❐② t❛ ❝ã
(I + BA)
−1
= I − B(I + AB)
−1
A.
❈❤✐Ò✉ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➭♥ t♦➭♥ t➢➡♥❣ tù✳ 
❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✷✳ ●✐➯ sö A, B, C ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ (n × n) ❝❤✐Ò✉✱ B ❦❤➯
♥❣❤Þ❝❤✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❝➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉✿

A t❤× CB
−1
A = D − I, t❛ ❝ã
(B + AC)(B
−1
− B
−1
AD
−1
CB
−1
) = (I + ACB
−1
)(I − AD
−1
CB
−1
)
= (I + ACB
−1
)(I − AD
−1
CB
−1
)
= I + ACB
−1
− AD
−1
CB

) > 0, i = 1, 2, ..., n ✈➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➞♠ ♥Õ✉
(−1)
i
det(D
i
) > 0, i = 1, 2, ..., n tr♦♥❣ ➤ã
D
1
= a
11
, D
2
=

a
11
a
12
a
21
a
22

, D
3
=


a
11

ó
A =













A
11
A
12
ããã A
1i
ããã A
1j
ããã A
1n
A
21
A
22
ããã A

A
n2
ããã A
ni
ããã A
nj
ããã A
nn













.
ị ựt ố ột i ớ ố ột j ố i ớ ố
j, tr A trở t tr A

ó
A

=


ããã A
2n
ããã ããã ããã ããã ããã
A
j1
A
j2
ããã A
jj
ããã A
ji
ããã A
jn
ããã ããã ããã ããã ããã
A
i1
A
i2
ããã A
ij
ããã A
ii
ããã A
in
ããã ããã ããã ããã ããã
A
n1
A
n2
ããã A

I) = 0, I tr ị
ù số ề ớ A

. tí t ủ ị tứ t ó
det(A

I) = 0 det(A I) = 0.
ề ó ó ĩ ế trị r ủ A

tì ó ũ trị
r ủ A. ì A tr ố ứ ị t ổ ề t
ó < 0, tứ ọ trị r ủ A

tr A

ị
ề ợ ợ ứ t t tự

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✼ ✭❙❝❤✉r ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t ❧❡♠♠❛ ❬✶✺❪✮✳ ❱í✐ ♠ä✐ ♠❛ tr❐♥ P − (n× n)
❝❤✐Ò✉✱ M − (n× m) ❝❤✐Ò✉ ✈➭ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ Q− (m× m)
❝❤✐Ò✉✱ t❛ ❝ã

P M
T
M −Q

< 0 ⇔ P + M
T
Q

❈❤➢➡♥❣ ✷
æ♥ ➤Þ♥❤ ✈➭ æ♥ ➤Þ♥❤ ❤ã❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝
✷✳✶ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝
✷✳✶✳✶ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤
❳Ðt ❤Ö rê✐ r➵❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤
x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z
+
. ✭✷✳✶✮
❱í✐ x(0) = x
0
t❤× ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ✭✷✳✶✮ ❝❤♦ ❜ë✐
x(k) = A
k
x
0
.
➜Ó x(k) → 0 ❦❤✐ k → ∞ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ t❤× ❤♦➷❝
 A = q < 1 ❤♦➷❝ A
k
→ 0 ❦❤✐ k → ∞, ❞♦ ➤ã t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✶ ✭❬✸❪✮✳ ❍Ö ✭✷✳✶✮ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
s❛✉ ①➯② r❛
✭✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét sè q : 0 < q < 1 s❛♦ ❝❤♦  A = q < 1.
✭✐✐✮| λ |< 1 ✈í✐ ♠ä✐ λ ∈ Sp(A).
❇➞② ❣✐ê t❛ ①Ðt ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❞õ♥❣
x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z
+
. ✭✷✳✷✮
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✷ ✭❬✸❪✮✳ ➜è✐ ✈í✐ ❤Ö ✷✳✷ t❛ ❝ã ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤
✭✐✮ ❍Ö ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ q ∈ (0, 1) s❛♦ ❝❤♦  A(k) ≤ q ✈í✐

tr♦♥❣ ➤ã
A(k) =



1
2(k + 1)
1
4(k + 1)
0 −
1
2(k + 1)



.
❉Ô t❤✃②  A(k) =
3
4(k + 1)
≤
3
4
= q < 1 ♥➟♥ ❤Ö ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥✳
✷✳✶✳✷ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö rê✐ r➵❝ ♣❤✐ t✉②Õ♥
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✹ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ▲②❛♣✉♥♦✈ ❝❤♦ ❤Ö rê✐ r➵❝✮✳ ❳Ðt ❤Ö rê✐ r➵❝
x(k + 1) = f(k, x(k)), k ∈ Z
+
. ✭✷✳✸✮
◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤➭♠ sè V (x) : R
n

P A − P + Q = 0,
t❤× ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✷✳✹ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥✳
✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❳Ðt ❤➭♠ sè V (x) = x(k)
T
P x(k). ❉♦ P ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤
❞➢➡♥❣ ♥➟♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ (i) ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✹ ➤➢➡♥❣ ♥❤✐➟♥ t❤♦➯ ♠➲♥✳
▼➷t ❦❤➳❝ t❛ ❝ã
V (x) = V (x(k + 1)) − V (x(k)) = x(k + 1)
T
P x(k + 1) − x(k)
T
P x(k)
= x(k)
T
A
T
P Ax(k) − x(k)
T
P x(k) = x(k)
T
(A
T
P A − P )x(k)
= −x(k)
T
Qx(k) ≤ −λ
max


−
1
2
1
8
1
2
−
1
4



.
▲✃② ♠❛ tr❐♥
P =

4 0
0 6

.
❘â r➭♥❣ P > 0 ✈➭
A
T
P A =

3 −
5
4

+
✈í✐ lim
k→∞
supL(k) = 0.
❑❤✐ ➤ã ❤Ö ✭✷✳✺✮ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥✳
✶✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
◆❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❤Ö ✭✷✳✺✮ ❧➭
x(k) = F (k, 0)x
0
+
k−1

s=0
F (k, s + 1)g(s, x(s)),
tr♦♥❣ ➤ã F (k, s) ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❤Ö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ x(k + 1) = A(k)x(k).
❚õ ➤ã t❛ ❝ã ➤➳♥❤ ❣✐➳
 x(k)  ≤ F (x, 0)x
0
 +
k−1

s=0
 F (k, s + 1)g(s, x(s)) 
≤ q
k
 x
0
 +

, ✭✷✳✻✮
tr♦♥❣ ➤ã x(.) ∈ R
n
, A, B ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❤➺♥❣✱ h ≥ 0 ❝❤♦ tr➢í❝✱ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜❛♥
➤➬✉ ❝ñ❛ ❤Ö ❧➭
x(0) = x(−1) = ... = x(−h) = x
0
.
✶✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ớ ỗ x
0
trớ ệ ó ệ ị ệ ở ớ
k ợ tr ồ từ k h ớ trớ ó
ị ĩ ệ ọ ổ ị tệ ụ tộ ộ
ế ớ t ỳ h 0 tì ệ ũ ổ ị tệ
ể t ó ệ ổ ị tệ t ó ệ ổ ị tệ
ụ tộ ộ ị ý ớ t ề ệ ủ ể ệ
ổ ị tệ
ị ý ệ ổ ị tệ ế ột tr ề ệ
s r
ồ t tr ố ứ ị P, W s

X(P ) B
T
P A
A
T
P B W


i=kh
x
i
(k)
T
Qx
i
(k),
ệ
ọ t ệ ủ ệ t ó
V
k
=V
k+1
(x) V
k
(x)
=x(k + 1)
T
P x(k + 1) + x(k)
T
Qx(k) x(k)
T
P x(k) x(k h)
T
Qx(k h)
=[x(k)
T
A
T

∆V
k
= − [Mx(k − h) + N x(k)]
T
[Mx(k − h) + Nx(k)]
+ x(k)
T
[N
T
N + A
T
P A + Q − P ]x(k)
= − x(k − h)
T
M
T
Mx(k − h) − 2x(k)
T
N
T
Mx(k − h)
+ x(k)
T
[A
T
P A + Q − P ]x(k).
✭✷✳✶✵✮
➜å♥❣ ♥❤✃t ✭✷✳✶✵✮ ✈➭ ✭✷✳✾✮ t❛ ➤➢î❝
M
T

N
T
N + A
T
P A + Q − P < 0, ✭✷✳✶✷✮
tø❝ ❧➭
A
T
P B[Q − B
T
P B]
−1
B
T
P A + A
T
P A + Q − P < 0.
➜➷t W = Q − B
T
P B t❤× Q = W + B
T
P B, t❛ ❝ã
A
T
P BW
−1
B
T
P A + A
T

= − 2x(k)
T
ˆ
N
T
ˆ
Mx(k − h) − x(k)
T
ˆ
N
T
ˆ
Nx(k)
+ x(k − h)
T
B
T
P Bx(k − h).
❇➺♥❣ ❧ý ❧✉❐♥ t➢➡♥❣ tù t❛ ❝ò♥❣ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❱Ý ❞ô ✷✳✶✳✶✵✳ ❳Ðt ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

x(k + 1) = −
1
4
x(k) +
1
4
x(k − h) +
1
4

1
4

.
▲✃②
P =

16 0
0 16

, Q =

2 1
1 6

,
râ r➭♥❣ P, Q ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ✈➭
B
T
P B =

1 1
1 2

.
❑❤✐ ➤ã
W = Q − B
T
P B =


N + A
T
P A + Q − P =

−11 2
2 −
35
4

< 0.
❱❐② tå♥ t➵✐ ♠❛ tr❐♥ P, W t❤♦➯ ♠➲♥ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➟♥ ❤Ö ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ❝❐♥✳
✷✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❍Ö q✉➯ ✷✳✶✳✶✶✳ ❍Ö ✷✳✻ ❧➭ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠ ♥Õ✉ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉ ①➯②
r❛✿
✭✐✮ ❚å♥ t➵✐ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ P, R, Λ, Ω ♥❣❤✐Ö♠ ➤ó♥❣
❤Ö

A
T
Λ
−1
A + Ω + R = P,
BΩ
−1
B
T
+ Λ = P
−1
.

P A + W + B
T
P B − P.
❚❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✶✳✸✳✼ ➤✐Ò✉ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐
A
T
[P BW
−1
B
T
P + P ]A + [W + B
T
P B] − P < 0.
❚ø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ R s❛♦ ❝❤♦
A
T
[P BW
−1
B
T
P + P ] + [W + B
T
P B] + R = P.
❑ý ❤✐Ö✉
Λ
−1
= P BW
−1
B
T

.
✭✐✐✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù ✭✐✮ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ sö ❞ô♥❣ ✭✐✐✮ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✾ ✈í✐
✈✐Ö❝ ➤➷t
Σ
−1
= Π + ΠAZ
−1
A
T
Π,
✈➭
Γ = Z + A
T
ΠA.
❈❤ó ý r➺♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ P = Π, W = B
T
P AZ
−1
A
T
P B t❤× ❝ã ♥❣❛②
Z = A
T
ΠBW
−1
B
T
ΠA. ❉♦ ➤ã ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤
❞➢➡♥❣ P, W ➤Ó ✭✷✳✼✮ ❧➭ ➤ó♥❣ t❤× ❝ò♥❣ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤
❞➢➡♥❣ Π, Z ➤Ó ✭✷✳✽✮ ➤ó♥❣ ✈➭ ♥❣➢î❝ ❧➵✐✳

A + Ω + R = P.
❉♦ B ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ♥➟♥
X =
1
q
(B
T
)
−1
ΩB
−1
✷✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên