Giúp học sinh tự học Toán – Biên soạn: ðỗ Cao Long

1/6

PHÂN LOẠI MỘT SỐ GIỚI HẠN CƠ BẢN THƯỜNG GẶP VỀ DÃY SỐ

• Với c là hằng số, ta có
limc c= ;
1
lim 0
n
= . Tổng quát
( )
lim 0, 1
k
c
k
n
= ≥ .
• Với số thực q thỏa
1q <
thì lim 0
n
q = .
• Các phép toán trên các dãy có giới hạn hữu hạn (Xem ñịnh lý 1, SGK)
• Phép toán trên dãy số có giới hạn vô cực ( lim
n
u = ±∞ )
lim
lim 0
lim

=


= ⇒ = ∞


> ∀ ≥

.
Dạng 1
: Giới hạn dãy số
( )
( )
n
f n
u
g n
=
, trong ñó
( ) ( )
,f n g n
là các ña thức ẩn số
n
.
Cách giải
: Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của
n
có số mũ cao nhất trong
dãy
n

− +
cho
3
n
ta ñược
3
3 3 3
1
3 2
3 3 3
3 7 1
lim
4 3 2
n n
n n n
L
n n
n n n
− +
=
− +
2 3
3
7 1
3
3 0 0 3
lim
3 2
4 0 0 4
4

Nhận xét: Số mũ cao nhất của
n
trong giới hạn trên là
8
n
nên ta chia cả tử và mẫu cho
8
n
.
Giải
:
7 6
8 8 8
2
8 3
8 8 8
3 8 3
lim
5 2
n n
n n n
L
n n n
n n n
− +
=
+ +
2 8
5 7
3 8 3

Nhận xét: Số mũ cao nhất của
n
trong giới hạn trên là
5
n
nên ta chia cả tử và mẫu cho
5
n
.
Giải
:
5
5 5 5
3
2
5 5 5
3 2 4
lim
4 3
n n
n n n
L
n n
n n n
−
+ +
=
+ +
4 5
3 4 5

3
3 4 5
2 4
3
lim
1 4 3
n n
L
n n n
− + +
= = −∞
+ +

Giúp học sinh tự học Toán – Biên soạn: ðỗ Cao Long

2/6

Các em học sinh cần lưu ý: Không ñược viết theo cách sau
4 5
3
3 4 5
2 4
3
3 0 0 3
lim
1 4 3
0 0 0 0
n n
L
n n n

♣ Nếu
( )
{ }
( )
{ }
bËc < bËc
f n g n
thì lim 0
n
u = ;
♣ Nếu
( )
{ }
( )
{ }
bËc = bËc
f n g n
thì lim
n
a
u c
b
= = (hằng số khác 0). Trong ñó a là hệ số
của n có số mũ cao nhất trong
( )
f n
; ñó b là hệ số của n có số mũ cao nhất trong
( )
g n
.

k k
a x a x a x a
−
−
+ + + +
có bậc là
2
k
;
Biểu thức
1
3
1 1 0
...
k k
k k
a x a x a x a
−
−
+ + + +
có bậc là
3
k
.
Ví dụ:
ða thức
( )
6 3
4 3 2p x n n n= − +
có bậc là 6;

2 3 2
1 1n n n n n n+ = + = + ;
( )
3
2 6 7 6
3
3
. 2 2 2n n n n n n+ = + = + ;
3 3 3
3
3
5 2
3 35 5
2 2 1
2. 2.
n n n
n n
n n
= = =

Ví dụ
4: Tính
2
4
2
2 3
lim
3 2 1
n n n
L

Giúp học sinh tự học Toán – Biên soạn: ðỗ Cao Long

3/6

Giải
:
Ta có
2
4
2
2 3
lim
3 2 1
n n n
n n
L
n
n n
+ +
+
=
+
−
2
2
2
2
2 3
1
lim

= = = −
− + −
.
Ví dụ
5: Tính
3
5
2 3 2
lim
1 3 4
n n n
L
n n
+ + +
=
+ +
.
Nháp:
Bậc cao nhất của
3
2 3 2n n n+ + +
là
3
1,5
2
=
;
bậc cao nhất của
( )
2 2 3

+
+
2 3
3 3
3
3 3
3 2
2
lim
1 3 4
n n n
n n
n n
n n
+ +
+
=
+
+
2 3
3 2
1 3 2
2 1
lim
1 4
3
n n n
n n
+ + +
=

3 2 1n n− + +
là
7
3
; bậc cao nhất của mẫu là 2, suy ra bậc cao nhất trong
dãy là
7
3
. Vậy ta cần chia cả tử và mẫu cho
3
7
n
.
Giải
:
Ta có
3 7
3
7
6
2
3 3 3
7 7 7
3 2 1
lim
3 7
n n
n
L
n n

3. 7.
n n
n n n
− + +
=
+ +

Vì
3 3
3
6 7
2 1
lim 3 3 0 3 0
n n
 
− + + = − + = − <
 
 
 
và
3 3 3
4 7
1 1 1
lim 3. 7. 0
n n n
 
+ + =
 
 
 

là các ña thức ẩn số n.
Sử dụng phép biến ñổi dùng biểu thức liên hợp như sau.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
f n g n f n g n
f n g n
f n g n
f n g n f n g n
− +
−
− = =
+ +
;

( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )

)
2 2
7
2
3 3
lim
3
n n n n n n
L
n n n
+ + − + + +
=
+ + +
( )
2
2 2
2
3
lim
3
n n n
n n n
+ + −
=
+ + +
2 2
2
3
lim
3

L
n n n
n n
+
=
+ +
+
2
2
3
1
lim
3
1
n
n n
n
+
=
+ +
+
2
3
1
lim
1 3
1 1
n
n n
+

=
+ + −
( )
( )
2
2
2
2
3 2 1 3
lim
3 2 1 3
n n n
n n n
+ + −
=
+ + −

2 2
2 2
3 2 1 3 2 1
lim lim
3 2 1 3 3 2 1 3
n n n n
n n n n n n
+ + − +
= =
+ + − + + −

{Nháp: Cả tử và mẫu ñều có bậc cao nhất bằng 1, nên ta chia cả tử và mẫu cho
1

1
2
lim
2 1
3 3
n
n n
+
=
+ + −

Vì
1
lim 2 2 0 2 0
n
 
+ = + = >
 
 
và
2
2 1
lim 3 3 3 0 0 3 0
n n
 
+ + − = + + − =
 
 
 
, và do

Dạng
4: Giới hạn của dãy có chứa số mũ là n
Lưu ý các phép biến ñổi:
n
n
n
a a
b b
 
=
 
 
;
( )
. .
n
n n
a b a b= ; lim 0
n
q = nếu
1q <
.
Ví dụ
9: Tính
9
2 4.3
lim
5 7.3
n n
n

n n
n
n n
L
+
+
= =
−
−
2
4
3
lim
1
5. 7
3
n
n
 
+
 
 
=
 
−
 
 
0 4 4
5.0 7 7
+

−
=
+
.
{Nháp: Trong các lũy thừa 2 ,4 ,5 ,7
n n n n
thì lũy thừa có cơ số lớn nhất trong dãy trên là 7
n
}
Giải
:
Chia cả tử và mẫu của dãy số ñã cho cho 7
n
ta có:
10
2 7
3. 5.
3.2 5.7
7 7
lim lim
4 5
4 3.5
3.
7 7
n n
n n
n n
n n
n n
n n

nên
2 4 5
lim lim lim 0
7 7 7
n n n
     
= = =
     
     
nên
2
lim 3. 5 3.0 5 5 0
7
n
 
 
− = − = − <
 
 
 
 
 
và
4 5
lim 3. 0 3.0 0
7 7
n n
 
   
+ = + =

−
 
 
= = −∞
   
+
   
   
. {Theo ñịnh lý 2, tr117, SGK}
Dạng
5: Sử dụng các ðịnh lý về giới hạn.
lim
lim 0
lim
n
n
n
n
u a
u
v
v
=

⇒ =

= +∞

;
{ }

n
u = −
; lim
n
v = +∞