Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phí
Chuyên ñề LTðH – ðại Số
: Gv Bùi Sang Thọ
1
PHẦN I: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Giải và biện luận phương trình
(
((
( )
))
)
0 1 :ax b+ =
+ =+ =
+ =
- Nếu
0a ≠ thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất
.
b
x
a
= −
- Nếu
0a = thì phương trình (1) trở thành 0.b =
* Nếu
( )
/
0 0∆ ∆p p thì phương trình (2) vô nghiệm.
* Nếu
( )
/
0 0∆ = ∆ = thì phương trình (2) có nghiệm kép
/
.
2
b b
x x
a a
= − = −
* Nếu
( )
/
0 0∆ ∆f f thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
/ /
1,2 1,2
.
2
b b
x x
a a
= −
4. ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai
( ) ( )
2
0f x ax bx c a
= + + ≠
có
2
4 .b ac∆ = −
- Nếu
0∆ p thì
( )
f x
cùng dấu với hệ số a với mọi .x∈¡
- Nếu
0∆ =
thì
( )
f x
cùng dấu với hệ số a với mọi .
2
b
x
a
≠ −
- Nếu
0∆ f
thì
-
( )
0
: 0
0.
a
x f x
∀ ∈ ⇔
∆
f
¡ f
p
-
( )
0
: 0
0.
a
x f x
∀ ∈ ⇔
∆
p
¡ p
≤
ðặt
1 2 1 2
, .
b c
S x x P x x
a a
= + = − = =
Khi ñó:
- Nếu
0P p thì
1 2
0x xp p (hai nghiệm trái dấu).
- Nếu
0, 0P Sf f
thì
1 2
0 x x≤p (hai nghiệm dương).
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phíChuyên ñề LTðH – ðại Số
: Gv Bùi Sang Thọ
2
- Nếu
0, 0P Sf p
9. Công thức về lũy thừa và lôgarit:
- Công thức về lũy thừa:
*
1
n
n
a
a
−
= *
m
n m
n
a a=
*
.
m n m n
a a a
+
=
*
m
m n
n
a
a
a
−
=
*
f
f
f
*
0 1
.
m n
a
m n
a a
⇔
p p
p
f
- Công thức về lôgarit:
*
( )
log 0 1, 0 .
a
b a b a b
α
α
= ⇔ = ≠
p f
*
α
α
= = =
*
1
.
log log
a a
a
b c
b c
⇔
f
f
f
*
0 1
.
log log
a a
a
b c
b c
⇔
- Môñun của số phức
( )
, :z a bi a b
= + ∈
¡
2 2
.z a b= +
- Biểu diễn số phức: Số phức
( )
,z a bi a b
= + ∈
¡
ñược biểu diễn bởi ñiểm
( )
;M a b
trong mặt phẳng phức.
- Căn bậc hai của số phức:
( )
,z x yi x y
= + ∈
¡
là căn bậc hai của số phức
( )
,w a bi a b
= + ∈
¡
khi và chỉ
khi
2 2
b
r
ϕ
ϕ
=
=
với
ϕ
là một acgumen của z.
- Nhân và chia hai số phức dạng lượng giác: Nếu
( )
( )
/ / / /
cos sin , cos sinz r i z r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = + thì:
*
( ) ( )
/ / / /
. cos sin .z z rr i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + +
n n
z r i r n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = +
- Công thức nhân ba:
3 3
sin 3 3sin 4sin ,cos3 4cos 3cos .
α α α α α α
= − = −
PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Phương trình bậc ba
(
((
( )
))
)
3 2
0 3 :ax bx cx d
+ + + =
+ + + =+ + + =
+ + + =
Ta biến ñổi phương trình (3) về dạng phương trình tích
( )
( )
2
0,x Ax Bx C
TSðH – Khối D – 2006
)
Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
có ñồ thị
( )
.C
Gọi d là ñường thẳng ñi qua
ñiểm
( )
3;20A
và có hệ số góc là m. Tìm m ñể d cắt ñồ thị
( )
C
tại 3 ñiểm phân biệt.
- Phương trình ñường thẳng
( )
: 3 20.d y m x
= − +
- PTHðGð của d và
( ) ( ) ( )
( )
3 2
: 3 2 3 20 3 3 6 0.C x x m x x x x m− + = − + ⇔ − + + − =
-
( )
3
3 6 0ycbt f x x x m
có 3 nghiệm phân biệt.
- Viết phương trình ñã cho dưới dạng
( ) ( )
2 2
3 3 0.x k x k x k k
− + − + − =
-
( ) ( )
2 2
3 3 0ycbt f x x k x k k
⇔ = + − + − =
có 2 nghiệm phân biệt khác k.
-
( )
2
2
3 6 9 0
1 3
Hay
0, 2.
3 6 0
k k
k
k k
f k k k
∆ = − + +
tai 3 ñiểm phân biệt.
0 9k ≠p
Bài tập 4:
(
TSðH – Khối B – 2002
)
Cho hàm số
( )
( )
4 2 2
9 10 1 .y mx m x= + − +
Tìm m ñể hàm số
( )
1
có ba
ñiểm cực trị.
3 0 3m m− ∪p p p
Bài tập 5:
(
TSðH – Khối D – 2008
)
Cho hàm số
( )
3 2
3 4 1 .y x x
= − +
Chứng minh rằng mọi ñường thẳng ñi
ñể ñưa phương trình (4) về dạng
( )
2 /
0, 0 4 .at bt c t+ + = ≥ Khi ñó:
- Nếu phương trình
( )
/
4 vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thì phương trình
( )
4
vô nghiệm.
- Nếu phương trình
( )
/
4 có nghiệm
0t =
thì phương trình
( )
4
có nghiệm
0.x =
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phíChuyên ñề LTðH – ðại Số
: Gv Bùi Sang Thọ
ðH Huế - Khối D – 2000
)
Cho hàm số
4 2
5 4y x x= − +
có ñồ thị
( )
.C
Tìm m ñể ñường thẳng
:
d y m=
cắt ñồ thị
( )
C
tại 4 ñiểm phân biệt.
9 4 4m− p p
Bài tập 8:
(
ðH ðà Nẵng – 1997
)
Cho
( )
4 2
: 5.
m
C y x mx m
= + − −
Tìm m ñể
( )
≥
= ⇔
= ±
- Cách 2: (Thường dùng khi xét dấu
( )
f x
dễ dàng)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
.
f x f x
f x g x
f x g x f x g x
≥
= ⇔ ∪
= − =
≥
≥ ⇔ ≤ ∪
≥
- Cách 2:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
.
f x f x
f x g x
f x g x f x g x
≥
≥ ⇔ ∪
≥ − ≥
p
≥
≤ ⇔
≤
- Cách 2:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
.
f x f x
f x g x
f x g x f x g x
≥
≤ ⇔ ∪
≤ − ≤
p
- Cách 3:
)
Giải bất phương trình
4 2
2 1 1 .x x x
− + ≥ −
Hướng dẫn:
( )
( )
2
2
2
2
2
1 0
1
1 0
1
1 1 2 0.
2 0
1 1
x
x
x
x
bpt x x x x
x x
x x
−
: Gv Bùi Sang Thọ
5
Bài tập 12: (
Cð Hải Quan – 1999
)
Giải phương trình
2
2 4 3.x x x− + − =
1 5 1 29
,
2 2
x x
− + − +
= =
Bài tập 13:
Giải phương trình
sin cos 4sin 2 1.x x x
− + =
,
2
x k k
π
)
:f x g x
=
==
=
Ta có
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0
.
g x
f x g x
f x g x
≥
= ⇔
=
b) Bất phương trình dạng
(
((
( )
))
) (
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
:f x g xf
Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
0
0
0
.
g x
f x
f x g x
g x
f x g x
≥
≥
c)
(
ðH Huế - Khối A – 2000
)
3 cos cos 1 2.x x− − + =
2x k
π π
= +
Bài tập 16:
Giải các bất phương trình sau
a)
(
ðHSP TPHCM – 1994
)
2
2 6 1 2 0.x x x
− + − +
f
3 7
3
2
x x
−
≤ ∪ f
b)
(
(
ðHSP Kỹ Thuật TPHCM – 2001
)
Xét phương trình
2
2 3 .x mx x
+ = −
a) Giải phương trình khi
14.m = −
1x = −
b) Tìm mọi giá trị của m ñể phương trình có một nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn:
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
3 0
3 0
3
. 6.
0
6 9 0
2
p
f
p
!
:
Sau khi tìm
ñược x nhớ thử lại
ñể chọn nghiệm.
!:
So sánh số thực
α
với hai nghiệm
1 2
,x x của tam thức
( )
2
, 0 :f x ax bx c a
= + + ≠
f
TH3:
( )
1 2
0
0 .
2
af x x
S
α α
α
∆
⇔
f
f p p
p
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phíChuyên ñề LTðH – ðại Số
3
, , ax b ax b
+ +
•
3
t ax b= +
•
( ) ( )
( ) ( )
.
f x g x
f x g x
±
,
( ) ( )
f x g x C
+ =
•
( ) ( )
t f x g x= ±
( )
s
t f x= với s là
bội chung nhỏ nhất
của m và n.
Bài tập 18:
Giải phương trình
( )
2 2
3 4
3 2 3 2 .
2
x
x x x
+
+ − − + =
HD:
2 2
2 3 2 8 2 2 3 2 0.
pt x x x x⇔ − + − − − + =
ðặt
2
7
2 3 2 4 2, .
2
t x x t x x= − + ⇒ = ⇒ = − =
Bài tập 19:
Giải phương trình
2
x
x
⇔ + + +
p - ðặt
1 1
2 . 2.
2 2
t x x
x x
= + ≥ =
- Bất phương trình ñã cho thành
2
2 5 2 0, 2.t t t
− + ≥
f
Giải & so ñiều kiện ta ñược
2.t f
- Với
2t f
thì
1 3 3
2 4 1 0 0; 2 2; .
2 2
x
+ + = − +
a) Giải phương trình khi 0.a =
2
2, 4t x x x
x
= − ⇒ = =
b) Chứng minh rằng với mọi tham số a phương trình có không quá hai nghiệm.
Bài tập 23: (
Cð Hải Quan – 1999
)
Giải phương trình 4 4 4 6.x x x x+ − + + − =
4x =
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phíChuyên ñề LTðH – ðại Số
: Gv Bùi Sang Thọ
7
Bài tập 24:
(
ðH Y Dược TPHCM – 1997
)
Xác ñịnh theo m số nghiệm của phương trình
4 4
4
4 4 6.x x m x x m+ + + + + =
Bài tập 27: (
ðH ANND – Khối A – 2001
)
Giải phương trình
3 3 3
1 2 3 0.x x x+ + + + + =
- Dễ thấy
2x = −
là nghiệm của phương trình.
- ðặt
( )
3 3 3
1 2 3.
f x x x x= + + + + +
Do
( )
f x
là hàm số tăng trên
¡
nên
2
x = −
là nghiệm duy nhất.
Bài tập 28: (
,
x y S xy P+ = =
ñưa về hệ phương trình với ẩn là
S
,
P
.
- Giải tìm
S
,
P
. Tìm
x
,
y
bằng việc giải phương trình tổng – tích
2
0.
X SX P− + =
c) Hệ phương trình ñối xứng loại II:
Là hệ phương trình khi trao ñổi vai trò của
x
,
y
thì phương trình
này chuyển thành phương trình kia của hệ.
- Trừ từng vế của hai phương trình ñể có thể ñặt thừa số chung và ñưa về dạng phương trình tích.
- Từ phương trình tích số tính nghiệm này theo nghiệm kia và thay vào một trong hai phương trình
ñầu ñể suy ra kết quả.
+ =
+ =+ =
+ =
- Tính các ñịnh thức:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, , .
x y
a b c b a c
D D D
a b c b a c
= = =
- Nếu
0
D ≠
thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất tính theo
.
x
y
∪
≠
≠
thì hệ phương trình vô nghiệm.
- Nếu
0
x y
D D D= = =
thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài tập 29:
Giải các hệ phương trình sau
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phíChuyên ñề LTðH – ðại Số
: Gv Bùi Sang Thọ
8
a)
2 2
5
5.
− = +
0 3
x y x y= = ∪ = = −
Bài tập 30: (
TSCð – Khối A, B, D – 2008
) Tìm giá trị của tham số
m
ñể hệ phương trình
1
3
x my
mx y
− =
+ =
có
nghiệm
( )
;x y
thỏa mãn
0.
xy
p
- Tính các ñịnh thức & tìm ñược nghiệm của hệ là
1 1 .
x y x y
x x y y y
+ + + =
+ + + +
-
2 2
2 2
2 2
4 0
4 0
2.
2
x y x y
x y x y
Hpt
xy
x y x y xy
+ + + − =
+ + + − =
⇔ ⇔
= = − = −
= −
= = − ∪ = − =
Bài tập 32: (
ðH Sài Gòn – Khối A – 2007
)
Giải hệ phương trình
3
3
2 2
2 2.
x y x
y x y
= + +
= + +
- Ta có:
( )
( )
( )
= + +
⇔ ⇔
− + + = − −
= + +
= + +
+ + + =
- Giải hệ
3
1 2
2 2
cho ta
1 2.
x x
có
( )
2
3 1 0y∆ = − + p
nên vô nghiệm.
Bài tập 33: (
Cð Kinh Tế ðối Ngoại – Khối A, D
)
ðịnh m ñể hệ phương trình
2 2
1
x y xy m
x y xy m
+ + =
+ = −
vô nghiệm.
- ðặt
x y S
xy P
+ =
=
thì hệ phương trình thành
1 1
1 1 1.
p
Bài tập 34:
(
TSðH – Khối B – 2003
)
Giải hệ phương trình
2
2
2
2
2
3
2
3 .
y
y
x
x
x
y
+
=
+
⇔ ⇒ − + + = ⇔ ⇔ ⇔ = =
+ + =
= +
CÁC BÀI TOÁN TRONG ðỀ TSðH & Cð
Bài tập 35:
Giải các phương trình sau:
a)
(
TSðH – Khối D – 2006
)
( )
2
2 1 3 1 0 .
x x x x− + − + = ∈
¡
1, 2 2x x= = −
b)
(
Cð Tài Chánh – Hải Quan – 2007
)
Dự bị 1 – Khối B – TSðH 2006
)
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2.x x x x x− + − = − + − +
2x =
g)
(
Dự bị 2 – Khối D – TSðH 2006
)
2
2 7 2 1 8 7 1.x x x x x+ − = − + − + − +
4, 5x x= =
h)
(
ðH Sài Gòn – Khối B – 2007
)
2 2
3 5 10 5 .x x x x− + = −
2, 3x x= =
Bài tập 36:
Giải các bất phương trình
a)
(
Cð Kinh Tế TPHCM
)
( )
2
2 16
7
3 .
3 3
x
x
x
x x
−
−
+ −
− −
f
10 34x −f
e)
(
TSðH – Khối D – 2002
)
( )
2 2
3 2 3 2 0.x x x x− − − ≥
1
3 2
2
x x x≤ − ∪ ≥ ∪ =
3 1x x≤ − ∪ ≥
Bài tập 37:
Giải các hệ phương trình sau
a)
(
TSðH – Khối D – 2008
)
( )
2 2
2
, .
2 1 2 2
xy x y x y
x y
x y y x x y
+ + = −
∈
− − = −
¡
5
2
x
y
=
c)
(
TSðH – Khối B – 2002
)
3
2.
x y x y
x y x y
− = −
+ = + +
1 3 2
1 1 2
x x
y y
= =
∪
= =
10
d)
(
Dự bị 2 – Khối A – TSðH 2005
)
2 1 1
3 2 4.
x y x y
x y
+ + − + =
+ =
2
1
x
y
=
= −
e)
(
Cð Bán Công Hoa Sen – Khối A – 2007
2 3 2
4 2
5
4
5
1 2 .
4
x y x y xy xy
x y xy x
+ + + + = −
+ + + = −
3
3
5 4
1
3 2
25 16
x
x
y
y
4
17 4
x
y
= −
= −
h)
(
TSðH – Khối A – 2003
)
3
1 1
2 1.
x y
x y
y x
− = −
= +
1
+ + + =
∈
+ + − =
¡
1 2
2 5
x x
y y
= = −
∪
= =
l)
(
Dự bị 2 – Khối B – TSðH 2006
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
Dự bị 1 – Khối D – TSðH 2006
)
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
3
, .
7
x xy y x y
x y
x xy y x y
− + = −
∈
+ + = −
¡
0 2 1
0 1 2
x x x
y y y
= = = −
( )
, 0.
x
t a t
ϕ
= f
ðưa về phương trình ẩn t ñã biết cách giải.
- ðoán nghiệm & chứng minh nghiệm ñó là duy nhất: Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ.
b) Bất phương trình mũ:
- Nếu 1a f thì
( ) ( )
( ) ( )
.
f x g x
a a f x g x⇔f f
- Nếu
0 1ap p thì
( ) ( )
( ) ( )
.
f x g x
a a f x g x⇔f p
c) Phương trình lôgarit:
ðiều kiện tồn tại
( )
log
a
f x
0 0
log log
.
a a
f x g x
f x g x
f x g x
∪
= ⇔
=
f f
- ðặt ẩn phụ: ðặt
( )
log .
a
t f x=
ðưa về phương trình ẩn t ñã biết cách giải.
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phíChuyên ñề LTðH – ðại Số
0 1ap p thì
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
log log
.
a a
f x
f x g x
f x g x
⇔
f
f
p
Bài tập 38:
Giải các phương trình sau
a)
(
ðH Kế Toán HN – 1999
)
1 4 2
4 2 2 16.
x x x
16 0, 1 2
x
x x⇒ = =
d)
(
ðH An Ninh – Khối D, G – 2000
)
( )
2
7
6. 0,7 7.
100
x
x
x
= +
( )
0,7
0,7 log 7
x
t x= ⇒ =
e)
(
ðH Tổng Hợp – Khối A – 1995
)
2
3 4 5 .
pt x
−
⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇒ =
g)
(
ðHQG HN – Khối D – 2000
)
8.3 3.2 24 6 .
x x x
+ = +
HD:
( ) ( ) ( )( )
8.3 3.2 8.3 3 .2 8 3 3 2 . 3 3 3 3 2 8 0 1, 3.
x x x x x x x x x
pt x x⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ − − = ⇒ = =
h)
(
Bộ ñề TSðH
)
( )
2 2
3.25 3 10 .5 3 0.
x x
x x
x
x + =
HD:
( )
( )
2 2
lg 2
lg 2
. 1 lg 2 2lg lg 2 2.
lg 4 lg
x
pt x x x x x x
x
+
⇔ = ⇔ + = = ⇔ + = ⇔ =
c)
(
ðH An Giang – Khối D – 2000
)
( ) ( )
4 2 2 4
log log log log 2.x x+ =
HD:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
log log log log 2 log log 1 log log 2 16.
( )
2
log 9 2 3.
x
x + − =
HD:
( )
3 3
2 2
log 9 2 log 2 9 2 2 0, 3.
x x x x
pt x x
− −
⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ = =
f)
(
ðHQG HN – Khối B – 2000
)
( )
5 7
log log 2 .x x= +
HD:
( )
lg 2
lg
0.
lg5 lg7
(
Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế rồi dùng ẩn phụ
lgt x=
)
h)
1
5 5
1
log 5 125 log 6 1 .
2
x
x
+ = + +
Bài tập 40:
Giải các bất phương trình sau
a)
(
ðH GTVT – 1997
)
1
2.4 2 0.
x x
+
− + f
0x p
+
+
f
1
1
1 0
3
x
t x
= ⇒ −
p p
d)
(
ðH Bách Khoa – 1995
)
( )
2
2
log 3 2.x x+ ≤
4 3 0 1x x− ≤ − ∪ ≤p p
1x ≥
g)
(
ðHSP TPHCM – Khối A, B – 2000
)
( ) ( )
2 2
9 3
log 3 4 2 1 log 3 4 2 .x x x x+ + + + +f
HD:
ðặt
( )
2
9
7 1
log 3 4 2 1 1
3 3
t x x x x= + + ⇒ − ≤ − ∪ − ≤p p
h)
(
ðH Tài Chánh Kế Toán HN – 2001
)
2
log 1
2
3 1
Giải các hệ phương trình và bất phương trình sau
a)
(
ðH ðà Nẵng – Khối A – 2001
)
( )
( )
log 6 4 2
log 6 4 2.
x
y
x y
y x
+ =
+ =
10
10
x
y
=
=
3 3
4 32
log 1 log .
x y
y x
x y x y
+
=
− = − +
2
1
x
y
=
=
d)
2
1
2
3 3 4.3
2
2 4.2 2 4 0.
x x x x x+ −
− − + =
0, 1x x= =
b)
(
TSðH – Khối B – 2007
)
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0.
x x
− + + − =
1x = ±
c)
(
TSðH – Khối A – 2006
)
3.8 4.12 18 2.27 0.
x x x x
+ − − =
1x =
Onbai.org - eBook.here.vn – Download Tài liệu – ðề thi miễn phí
1, 2x x= − = −
f)
(
Dự bị 1 – Khối D – TSðH 2006
)
( ) ( )
1
4 2 2 2 1 sin 2 1 2 0.
x x x x
y
+
− + − + − + =
1, 1 2
2
x y k
π
π
= = − − +
g)
(
TSðH – Khối D – 2007
)
( )
2 2
1
log 4 15.2 27 2log 0.
4.2 3
27
16log 3log 0.
x
x
x x− =
1x =
l) )
(
Dự bị 1 – Khối B – TSðH 2006
)
( ) ( )
3
1 8
2
2
log 1 log 3 log 1 0.x x x+ − − − − =
1 17
2
x
±
=
m)
(
TSCð – Khối A, B, D – 2008
)
( )
2 1 1
log 2 1 log 2 1 4.
x x
x x x
− +
+ − + − =
2, 5 4x x= =
p)
(
TSðH – Khối A – 2002
)
2 2
3 3
log log 1 5 0.x x+ + − =
3
3x
±
=
q)
(
Dự bị 1 – Khối D – TSðH 2006
)
( ) ( )
1
3 3
log 3 1 log 3 6.
s)
(
Cð Công Nghiệp Thực Phẩm – 2000
)
( )
2
25
log 125 .log 1.
x
x x =
4
5, 5x x
−
= =
t) Dự bị 2 – Khối D – TSðH 2003
)
( )
5
log 5 4 1 .
x
x− = −
1x =
Bài tập 43:
Giải các bất phương trình sau
a)
c)
(
Cð Kinh Tế ðối Ngoại – 2000
)
5.4 2.25 7.10 .
x x x
+ ≤
0 1x≤ ≤
d)
(
Dự bị 2 – Khối A – TSðH 2003
)
1 1
15.2 1 2 1 2 .
x x x+ +
+ ≥ − +
2x ≤
e)
(
Dự bị 2 – Khối D – TSðH 2005
)
2
2
2
2
)
2
0,7 6
log log 0.
4
x x
x
+
+
p
4 3 8x x− − ∪p p f
h)
(
TSðH – Khối D – 2008
)
2
1
2
3 2
log 0.
x x
x
− +
≥
( ) ( )
2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1 .
x x
−
+ − + +p
2 4xp p
m)
(
TSðH – Khối B – 2002
)
( )
( )
3
log log 9 27 1.
x
x
− ≤
9
log 73 2x ≤p
n)
(
Dự bị 1 – Khối A – TSðH 2002
)
( ) ( )
π
+ −
p
4 1x x− ∪ −p f
q)
(
Dự bị 1 – Khối A – TSðH 2006
)
( )
1
log 2 2.
x
x
+
− f
2 3 0x− + p p
r)
(
Cð GTVT III – Khối A – 2007
)
( )
( )
2
1
1
2
x ≤p
t)
(
Dự bị 1 – Khối D – TSðH 2003
)
( )
/
0f x ≤
với
( )
log 2,0 1.
x
f x x x= ≠p
0 , 1x e x≤ ≠p
Bài tập 44:
Giải các hệ phương trình sau
a)
(
TSðH – Khối D – 2002
)
3 2
1
b)
(
Dự bị 1 – Khối B – TSðH 2002
)
4 2
4 3 0
log log 0.
x y
x y
− + =
− =
1 9
1 3
x x
y y
= =
∪
= =
c)
d)
(
TSðH – Khối B – 2005
)
( )
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3.
x y
x y
− + − =
− =
1 2
1 2
x x
y y
= =
∪
= =
( )
f x
trên K ñể tìm miền giá trị T của hàm số.
- Phương trình
( )
f x m=
có nghiệm
.x K m T∈ ⇔ ∈
b) Áp dụng vào bất phương trình
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
, ,f x m m m m
≥ ≤
≥ ≤≥ ≤
≥ ≤
f p
với
:
x K
∈
∈∈
thỏa với mọi
( )
min .x K f x m∈ ⇔ f
•
( )
f x m
p
có nghiệm thuộc
K
( )
min .
f x m⇔
p
•
( )
f x mp
thỏa với mọi
( )
.x K Maxf x m∈ ⇔ p
Bài tập 45:
ðịnh
m
ñể phương trình
trên khoảng
( )
1; .+∞
Hướng dẫn:
- ðạo hàm của hàm số (1):
( )
2 2
/
2
6 9
.
3
x x m
y
x
+ + −
=
+
- Hàm số (1) ñồng biến trên
( )
/ 2 2 2 2
1; 1: 0 1: 6 9 0 6 9x y x x x m x x m+∞ ⇔ ∀ ≥ ⇔ ∀ + + − ≥ ⇔ + + ≥f f
( )
( ) ( )
2 2 2
1;
x ≥
- ðặt
( )
1, 1.f x x x x= − − ≥
Ta có
( )
/
1 1
0, 1. 0 1.
2 2 1
f x x ycbt a
x x
= − ∀ ≥ ⇔ ≤
−
p p
Bài tập 48:
(
ðH Kiến Trúc TPHCM – 1994
)
Cho bất phương trình 3 1.
mx x m− − ≤ +
a)
Giải bất phương trình khi
1
.
2
m =
-
Ycbt ⇔
bất phương trình
2
1
2
t
m
t
+
≤
+
có nghiệm
( ) ( )
2
0
3 1 1
0 ,
2 2.
t
t
t m Maxg t m g t
t
≥
+ +
≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ =
+
Bài tập 49:
3 6
m m− ∪ ≥
p
Bài tập 51:
(
ðH Ngoại Thương – 1994
)
Xác ñịnh tham số
m
ñể phương trình sau có nghiệm
7 2 7 2 .
x x x x m− + + − − + =
!:
Trong trường hợp hàm số
( )
f x
không có GTLN, GTNN ta có thể làm như sau:
B1:
Chưng ñiều kiện nhận
m
của ñề bài.
B2:
Chọn ra một số cụ thể cùng chiều với
m
.
B3:
Lấy ñáp số từ hai bước trên.
t
t m t
− + + = ≤ ≤
9
3 2 2 5.
2
ycbt m⇔ − ≤ ≤ +
Bài tập 52:
(
ðH GTVT TPHCM – 1999
)
Tìm tất cả các giá trị của tham số
a
ñể phương trình sau có nghiệm
duy nhất
2 3 2
1 2 1 .x x a− + − =
- ðiều kiện có nghĩa của phương trình
1 1.
x− ≤ ≤
- Nhận xét: Nếu phương trình có nghiệm
0
x
thì
0
x−
Bài tập 53:
(
Cð Hải Quan – 1999
)
Tìm các giá trị của tham số
m
ñể phương trình sau có nghiệm
4 4 4 6.
x x x x+ − + + − =
6
m ≥
CÁC BÀI TOÁN TRONG ðỀ TSðH & Cð
Bài tập 54:
(
TSðH – Khối A – 2008
)
Tìm các giá trị của tham số
m
ñể phương trình sau có ñúng hai nghiệm
thực phân biệt:
( )
4 4
2 2 2 6 2 6 .
x x x x m m+ + − + − = ∈
¡
( ) ( )
4
4
có hai nghiệm thức phân biệt.
Bài tập 57:
(
TSðH – Khối B – 2006
)
Tìm
m
ñể phương trình
2
2 2 1x mx x+ + = +
có hai nghiệm thực phân
biệt.
9
2
m ≥
Bài tập 58:
(
TSðH – Khối B – 2004
)
Xác ñịnh
m
ñể phương trình sau có nghiệm:
( )
2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1
m x x x x x+ − − + = − + + − −
2 1 1m− ≤ ≤
4 5 4 .x x m x x− + = + −
3 5
m−
p p
Bài tập 61:
(
Cð Kinh Tế ðối Ngoại
)
ðịnh
m
ñể phương trình
2
2 3 0x x m− + − =
có nghiệm.
2
m ≥
Bài tập 62:
(
Cð Kinh Tế ðối Ngoại
)
ðịnh
m
ñể phương trình 2 1
x x m+ = +
có nghiệm thực.
: Gv Bùi Sang Thọ
17
Bài tập 64:
Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
z
thỏa mãn:
a)
3 5.
z z+ + =
1, 4
x x= = −
b)
1 2.
z z i− + − =
( )
1 2 2 / 2
y = ±
c)
( )
( )
2 z i z− + là số thực tùy ý.
1
y
x
= ±
g)
2 2 .z z+ −f
0x f
h)
1 1 2.z i≤ + − ≤
( ) ( )
2 2
1 1 1 4x y≤ + + − ≤
Bài tập 65:
Xét số phức
( )
.
1 2
i m
z
m m i
−
=
− −
a) Tìm m ñể
1
m m
z z z m m
m m
m
− −
+
= − ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
+ +
+
b)
( ) ( )
2 2 4
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1
1
4 1 1 4 1 1 4 4
1 1
m m m m m
z i i i
m m m m
m m
− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ + ≤ ⇔
+ + + +
3
,
2
i
z i
± −
= ±
b)
( ) ( )
2
2 2
4 12 0.z z z z+ + + − =
1 23
1, 2,
2
i
z
− ±
= −
c)
2
4 3
1 0.
2
z
z z z
− + + + =
không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho
0z ≠
ta ñược:
2
2
2
2
1
1 1 1 1 1 1 1 3
0 2 0 .
2 2 2
2 2 5 0
t z
i
pt z z z z t
z
z z z z
t t
= −
±
⇔ − + + + = ⇔ − + − − + = ⇔ ⇒ =
− + =
là một nghiệm của phương trình ñã cho. Ta phân tích vế trái
của phương trình thành
( ) ( )
( )
( )
3 2 2
2 1 3 1 1 * ,z i z iz i z z z
α β
− + + + − = − + + với , .
α β
∈£
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2
1 2 2
2 1
* 2 1 3 1 1 3
1.
1
i
i
z i z iz i z z z i
i
i
α
α
α β α β β α
β
β
− = − −
1 2
2 2
1 2
4
5 2 .
z z i
z z i
+ = +
+ = −
1 1
2 2
1 2 3
3 1 2
z i z i
z i z i
= + = −
∪
= − = +
Hướng dẫn:
= +
+ = −
+ − = −
Khi ñó
1 2
,z z là nghiệm của
phương trình
( )
1 1
2
2 2
1 2 3
1 2
4 5 5 0
3 3 1 2 .
z i z i
t i
t i t i
t i z i z i
= + = −
= +
− + + + = ⇔ ⇒ ∪
2
2
2
1
0
cos
1
1
2
1.
sin 1
2
1
a
a
a b
a
r
b b b
r
a b
π
π
+
=
=
+ +
( ) ( )
Re 1,Im 0z z= − =
Hướng dẫn:
- Từ
2
1 3
cos sin
1
2 3 3
1 1 0
1 3
cos sin .
2 3 3
i
z i
z z z
z
i
z i
π π
π π
+
= = +
+ = ⇒ − + = ⇒
z
i
π π π π
π π
= + ⇒ + = + + = = −
+
- Với
10
10
1
cos sin 1.
3 3
z i z
z
π π
= − + − ⇒ + = −
- Phần thực bằng – 1, phần ảo bằng 0.
Bài tập 70:
Xét số phức
n
i i
i
i i
i
i i
i
i i
π π π π
π π
π π π π
− − + −
−
− −
= = = = = +
− −
−
− − + −
-
n k=
là số ảo khi
6 3.
n k= +
Copyright: Tài liệu đại học ©