BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
I.Tích vô hướng hai vectơ :
1/ Đònh nghóa :






=
→→→→→→
bababa ,cos
2/ Đònh lí : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
( ) ( )
thì a nếu
222111
;;,;; zyxbzyx ==
→→
212121
zzyyxxba ++=
→→

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
0
212121
2
1
2







===
→→→→→→
→→→
cb

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
)12;6;9(3.
31.03)1(0.2./
−−−=−=






−=+−+=
→→→→
→→
ccba
baa
5010.5
104.12.33.0.,5/
2



→→→
c.
2

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
3/ Khoảng cách giữa hai điểm :
( ) ( ) ( )
222
ABABAB
zzyyxx −+−+−==
→
ABAB
cách khoảngthì )z;y;B(x, )z;y;A(x Nếu
BBBAAA
4/Góc giữa hai vectơ :
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2

. z;y;xb,z;y;xa vectơ haicho
Oxyz độ toạ hệvới gian khôngTrong
222111








=












==
→→
→→
→→
→→
22
















===
→→→→→→→
→→→
bacbab ,,,,,a
: Tìm . 2;1;0-c,0;-1;2b,1;2;-3a vectơ baCho : dụ Ví
( )
( ) ( )
6121;
40).1(1)2()2.(1,
1;2;1
1- 0
2 1
;
0 2
1 3-







→→
→→→
→→
ba
cba
ba
: có Ta

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
2/ Tính chất :
cùng phương khi và chỉ khi
→
aTC .1
→
b
→→→
=







→→→→→→
bababaTC ,sin ,.3

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
3/ Diện tích tam giác






→→
ACAB;
2
1
S
ABC
=
A
B
C
( ) ( ) ( )
2;1;0,3;0;1, CB −2;-3;1A biết ABC giác tam tích diện .Tính dụ Ví
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
62
2
1






−
−
=






−=−=
→→
→→
→→
ACABS
ACAB
AC
ABC
AB : có Ta

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
4/ Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
0=







−
=






133.12).2(4).3(.,
1;2;3
1 0
1- 1
;
0 2
1 1
;
2 1
1 1
,
cba
b
? ,,
0.,
→→→
→→→
≠

→→






=
/
., AAADABV
A
B
C
D
A
/
B
/
C
/
D
/

Ví dụ :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm
A(1;0;1),B(-1;1;2),C(-1;1;0) ,D(2;-1;-2).
1/Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh một tứ diện.
2/Tính độ dài đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D.
3/Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB;CD.
4/Tính thể tích tứ diện ABCD và từ đó hãy suy ra độ dài đường cao
của tứ diện qua đỉnh A.





−−
=






−−=−=−−=
BDBC
BDBCBA
BCBA
BDBC
,,
02)4.(0)2(43.2,
0;4;2
0 0
1- 2
;
0 2-
2 1
;
2- 0
1 - 1
,
4;2;3,2;0;0,1;1;2

1
,
2
1
0;6;4
2- 3
0 0
;
3 4-
0 2
;
4- 2-
2- 0
,
2
2
2
===
=++=
=+−+−=






=
−−=



TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
29
4
)4()2(32
)4).(2()2.(03.0
.
,
222
=
−+−+
−−+−+
=
==






=
→→
→→
→→
BDBC
BDBC
BDBCcos cosCBD: có 3/Ta
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
Vì 0
0
≤ α ≤ 90

10
cos
17223
6112
10)2.(1)2.(13).2(.
2;2;3,1;1;2
22
2
2
=
−
=
=−+−+=
=++−=
−=−+−+−=
−−=−=
→
→
→→
→→
α
CD
AB
CDAB
CDAB: có Ta

BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG .
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG.
( ) ( ) ( )
( )

ABCD
V
ACAB
ADACAB
ADACAB
ABCD
V là ABCD diện tứ tích Thể

13
3
1
3.
S
3V
AH.AHS
3
1
: đó .Khi ABCD diện tứ của cao đường là AH Gọi
BCD
ABCD
BCD
13
1
===⇒=
•
∆
∆ABCD
V