Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498

1
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THC, LNG GIÁC VÀ M – LOGARIT DI “CON
MT” CA TÍCH PHÂN HÀM NH THC

I. Trc khi tìm hiu v chuyên đ này chúng ta tìm hiu qua tích phân hàm nh thc

Có dng
( )
m n p
x a bx dx




vi
, , , , , , 0
a b R m n p Q n p

  

Tùy thuc vào tính cht và mi quan h qua li gia ly tha ca m, n, p mà ta có các cách đt khác nhau.
C th xét b ba s
1 1
; ;
m m

n
t a bx
 
c bit
- Nu
r
p Z
s
 
ta ch đc đt
n
t a bx
 
- Nu
r
p Z
s
 
và
2,3,
p

ta có th s dng tích phân tng phn, khi
2
p

TPTP mt ln, khi
3
p


vi q là mu s chung nh nht ca phân s ti gin ca m và n

Bài 1: Tính tích phân sau
 
4
1
1
dx
I
x x




Gii:
Ta có
 
1
14 4
1
2
1 1
1
1
dx
I x x dx
x x


 

D: 01694 013 498

2

i cn
4 2
1 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
 
 
 
2 2 2
2
1 1 1
2
1 1 4
2 2 2 2 ln ln 1 2 ln
1
1 1 3
1
t dt


i cn
4 3
1 2
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó


 
 
 
2 3 3
2
2 2 2
1
3
1 1 4
2 2 2 2 ln 1 ln 2ln
2
1 1 3
1
t dt

n
t a bx
 
c bit
- Nu
r
p Z
s
 
ta ch đc đt
n
t a bx
 
- Nu
r
p Z
s
 
và
2,3,
p

ta có th s dng tích phân tng phn, khi
2
p

TPTP mt ln, khi
3
p



     


Cách 1:
t
2 2
2
1
1
x t
t x
xdx tdt

 
  

 


i cn
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 

1
1
2
x t
t x
dt
xdx

 

  

 



i cn
1 0
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
   

 

Cách 4.1.
t
sin cos
t u tdt du
  

Khi đó
 
1 1
3 5
2 2 2 4
0 0
1
2
(1 )
0
3 5 15
u u
I u u du u u du
 
      
 
 
 

Cách 4.2.
 
 

   

    
   

Cách 5:

     
       
1 1
2 2 2 2 2 2
0 0
1 1
3 1
2 2 2 2
2 2
0 0
1 1
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1
1 1 1 1
2 2
I x x d x x x d x
x d x x d x
        
     
 
 


x t
t x
xdx t dt

 

  





www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498

4

i cn
2
7
1
0
t
x
t
x



I t t dt
t
x

 
      
 
  
  

Cách 2:
t
2
2
1
1
2
x t
t x
dt
xdx

 

  






3
1
8
1 1 1 3 3
1
2 2 2 5 2
t dt
I t t dt t t
t

   

    
   
   
 

Cách 3: Phân tích
   
2
3
3 2 2
3
3 32 2
1 1
1 1
x x
x x x x x x
x x
      






 
 
 
 

 


Bài 4: (HAN – 1999) Tính tích phân
4
2
7
9
dx
I
x x




Gii:
Phân tích
 
4
2

2
9
9
x t
t x
xdx tdt

 
  




i cn
4
5
4
7
x
t
t
x






 


Cách 2:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498

5

t
2
2
9
9
2
x t
t x
dt
xdx

 

  





Khi đó
 
25

1
6
5 3
0
1
I x x dx
 


Gii:
   
1 1
6 6
5 3 3 3 2
0 0
1 1
I x x dx x x x dx
   
 

Nhn xét:
1
5, 3, 6 0
m
m n p Z
n

      



 
 

Khi đó
   
 
0 1 1
7 8
6 6 6 7
1 0 0
1 1 1 1 1
1 1
3 3 3 3 7 8 168
t t
I t t dt t t dt t t dt
 
         
 
 
  

Cách 2:
         
       
   
1 1 1 1
6 6 6 7
5 3 2 3 3 2 3 2 3
0 0 0 0
7 8

 


Gii:
Cách 1: S dng phng pháp tích phân tng phn
t
 


2
2
2 1
1
2
du x dx
u x
x
dv xdx v
  

 
 

 
 






t
1
1
x t
t x
dx dt
 

  




i cn
2 3
0 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
 
 
3 3
4 3

3 2
0
2
2 34
2
0
4 3 2 3
x x x
I x x x dx
 
      
 
 


Cách 4: S dng phng pháp đa vào vi phân
Ta có
         
2 2 3 2
1 1 1 1 1 1
x x x x x x
        
 
 

Khi đó
           
 
 
4 3
Bài 7: Tính tích phân sau
2
4 2
1
1
dx
I
x x




Gii:
Nhn xét:
1 1
2; 2; 2
2
m
m n p p Z
n

      
nên đt
2
2
2
1x
t


 

 





i cn
5
2
2
1
2
x
t
x
t






 





2
t
dx dx tdt t
I t dt t
t
x x
t
x
x

 
 
       
 

 


   

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498

7

Bài 8: Tính tích phân sau:
 


2
1
.1
1
dx
xx
I
 
1
1
3 2
3
1
3
1
x x dx
 
  


Nhn xét:
1 1
3, 2, 1
3
m
m n p Z
n

       


2
m
m n p p Z
n
 
       

t
2
2
2
2
2
2 2
1
1 1
( 1)
x
x t
t
tdt
x
xdx
t



 

 

Khi đó
3 3 3
2
2 2
2 2 2
3 2 3 2 3
4
2 2
2
2 3 3
3
1 1
2 3
1
2 3
(1 ) 1
( 1) . . .
. .
3
( 1)
xdx tdt dt
I
t t
x x
t t t
x
t
x x
     
 

t x dt dx
t
x x x
     

 

Bài 2: (HAN – A 1999) Tính tích phân
4
2
7
1 7
ln
6 4
1
dx
I
x x
 



www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498

8

Bài 3: (HBKHN – 1995) Tính tích phân

t tanu

,
2 2
u
 
  
,
2
1
dt
du
t


.
Cách 2: t
2
1
, 0;
cos 2
1
dx
t t dt
t
x x

 
   
 


C3: t
2
1
x t
 

C4: t
1
x
t


C5: Phân tích


2 2
1 1
x x
 
   
 

Bài 4: Tính tích phân
1
3
2
1
0
1









C4: t
x t
 

C5: Phân tích




3 2 2 2
1 1 1
x dx x xdx x d x
 
    
 

Bài 5: (HTM – 1997) Tính tích phân
7
3
3
2
0

I x x dx  


Bài 8: (C S Phm Tin Giang – 2006) Tính tích phân
9
3
1
468
. 1
7
I x x dx   


Bài 9: (C Nông Lâm – 2006) Tính tích phân
1
2
0
2 2 1
1
3
I x x dx

  


Bài 10: (C Tài Chính K Toán IV – 2005) Tính tích phân
3
3 5
0
848

105
I x x dx  


Bài 13: (H Hi Phòng – 2006) Tính tích phân
1
2
0
1
ln 2
2
1
x
I dx
x
 



Bài 14: Tính tích phân
 
1
2 3
0
2
2 3 3 2 2
9
I x x dx   


b. Tích phân hàm phân thc, lng giác, m – loga di “con mt” ca tích phân hàm nh phân thc

M rng
     
p
m n
I u x a bu x d u x


 
 
 
 
 

vi vi
, , , , , , 0
a b R m n p Q n p

  

Và c th hóa trng hp 2 nh sau
Nu
 
1
, , , , , 1
m s
Z p r s Z r s

Thí d 1. (H DB – B 2003) Tính tích phân sau
ln 5
2
ln 2
1
x
x
e
I dx
e




Li gii.
Ta có
 
ln 5 ln 5
1
2
2
ln 2 ln 2
1
1
x
x x x
x
e
I dx e e de
e

e t
e dx tdt

 

  





i cn
ln 5 2
ln 2 1
x t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó


 
2
2 2
2 3

e
x x
I dx
x




Li gii.
Ta có
   
1
3
1 1
1 3ln .ln
ln 1 3ln ln
e e
x x
I dx x x d x
x

  
 
thì đây chính là tích phân nh thc vi
1 1
1, 2
2
m
m n p Z
n






i cn
2
1 1
x e t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
2 2
2 5 3
2 4 2
1 1
2
2 1 2 2 116
( )
1
3 3 9 9 5 3 135
t t t
I t dt t t dt
 

3
1 1
ln . 2 ln
ln 1 ln ln
e e
x x
I dx x x d x
x

  
 
thì đây chính là tích phân nh thc vi
1 1
1, 2, 1
3
m
m n p Z
n

     
và


ln
u x x


t
3 2 2
3 ln

3 3
3 3 3
3
4
2 3
3
2 2
3
3
3 3 2
3
3 3 3
. .
2 2 2 4
2
8
2
t
I t t dt t dt   
 

Cách khác: t
2
2 ln
x t
 

Thí d 4. (H – B 2010) Tính tích phân sau
 
2

x
I dx x x d x
x x

  

 
thì đây chính là tích phân nh thc vi
1
1, 1, 2 , 2
m
m n Z p Z
n

       
và


ln
u x x

t
ln 2
2 ln
x t
t x
dx
dt
x
 


 

Thí d 5. (HDB – 2002) Tính tích phân sau
 
ln 3
3
0
1
x
x
e dx
I
e




Li gii.
Ta có
 
 
ln 3 ln 3
1
3
3
0 0
1
1
x

     
Khi đó
2
3
2
2
1
2 2. 2 1
2
tdt
I
t
t
    


Thí d 6. Tính tích phân sau
2
5 3
1
dx
I
x x




Li gii.
Ta có
 


  





i cn
2 5
1 2
x t
x t
 
 

 
 
 

Ta có
   
2 2
3 2 4 2
1 1
1
1 1
x
I dx dx
x x x x
 

www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498

12

Thí d 7. Tìm nguyên hàm:
 
2
39
1
x dx
I
x




Li gii.
Ta có
 
 
2
39
2
39
1
1
x dx
I x x dx


         
   
vi
1
t x
 

Thí d 8. (H – B 2005) Tính tích phân sau
2
0
sin 2 .cos
1 cos
x x
I dx
x





Li gii.
Phân tích
   
2
2 2 2
1
2
0 0 0
sin 2 .cos sin .cos

  

 


i cn
1
2
2
0
t
x
t
x







 






Khi đó
 

 


Li gii.
Ta có
     
2 2
2 2
0 0
sin cos 1 cos cos 1 cos cos
I x x x dx x x d x
 
    
 
thì đây chính là tích phân nh thc vi
1, 1, 2
m n p Z
   
và


cos
u x x

t
sin
1 cos
cos 1
xdx dt
t x


 






Khi đó
 
 
1 2
4 3
2 3 2
2 1
2
17
1
1
4 3 12
t t
I t t dt t t dt
 
       
 
 
 

Nhn xét: Nu gp tích phân là tng (hiu) ca hai tích phân nh thc mà có cùng cách đt thì ta vn tính nh
trong lý thuyt

  
 

     

  
 

Nhn xét: ây chính là tng ca hai nh thc


cos
u x x
 vi
1
I
ta có
1
1 2
m
m n Z
n

    
và vi
2
I

ta có
1



 




i cn
1
2
2
0
t
x
t
x







 










Li gii.
Ta có
 
   
3
2 2 2
1
2
0 0 0
sin 3 3sin 4sin
4cos 1 1 cos cos
1 cos 1 cos
x x x
I dx dx x x d x
x x
  


     
 
  
thì đây chính là tng ca
hai tích phân nh thc tích phân nh thc vi
1
2, 1, 1 3
m
m n p Z Z

i cn
1
2
2
0
t
x
t
x







 






Khi đó
 
 
2
1 2
2
2 1

 



Bài 2: (HBK – 2000) Tính tích phân sau
ln 2
2
0
2 2
3
1
x
x
e
I dx
e
 



Bài 3: (HHH – 98) Tính tích phân I =
dx
xx
x
e


1
ln1.
ln

x x
  



Bài 7: Tính tích phân sau
3
2
3
2
1
log
4
27 ln 2
1 3ln
e
x
I dx
x x
 



Bài 8: (HDB – 2004) Tính tích phân sau
ln 8 ln 8
2
ln 3 ln 3
1. 1. .
x x x x x
I e e dx e e e dx

x

  



Bài 11: Tính tích phân sau
 
2
3
2
0
15
sin 2 1 sin
4
I x x dx

  


Bài 12: (H BCVT – 1997) Tính tích phân sau
3
2
2
0
sin cos
1 cos
x x
I dx
x

3
0
6
ln
2
dx
I
x x
 



Bài 15: Tìm nguyên hàm
3
10 6 7 8 9
1 1 3 1 3 1 1 1
6 7 8 9
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x dx
I C
x x x x x
      
    


Góp ý theo đa ch Email: [email protected]
hoc đa ch: Nguyn Thành Long