Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc
Nguồn: thunhan.wordpress.com
Để làm rõ những đặc điểm cơ bản của mỗi quy luật phân phối xác suất ta sẽ xuất
phát từ các ví dụ có tính điển hình cho mỗi quy luật để làm cơ sở xây dựng những
lược đồ khác nhau, từ đó đi đến các quy luật phân phối xác suất tương ứng với mỗi
lược đồ.
Giả sử một tập hợp N phần tử. Trong đó có M phân tử mang tính chất B nào đó,
còn N-M phần tử không mang tính chất B. Mỗi phép thử là việc lấy ngẫu nhiên từ
tập hợp ra một phần tử. Theo những cách lấy khác nhau sẽ dẫn đến những lược đồ
khác nhau và các quy luật phân phối xác suất khác nhau.
Trong phần này ta sẽ nghiên cứu một số quy luật phân phối xác suất thường gặp
nhất đối với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và liên tục. Điều đó làm cho việc
phân loại các đại lượng ngẫu nhiên trong thực tế theo các quy luật phân phối xác
suất được dễ dàng hơn.
4.1. Quy luật nhị thức B(n, p)
a) Bài toán:
Từ tập hợp gồm N phần tử trong đó có M phần tử có tính chất B nào đó, còn N-M
phần tử không có tính chất B, ta lấy ngẫu nhiên có hoàn lại n phần tử. Nếu lấy theo
phương thức này thì n phép thử nói trên sẽ độc lập với nhau vì việc lấy được phần
tử có tính chất B, hay không có tính chất B trong mỗi lần lấy không ảnh hưởng
đến khả năng lấy được phần tử có tính chất B hay không có tính chất B ở các lần
lấy khác. Trong mỗi lần lấy chỉ có 2 trường hợp đối lập xảy ra. Hoặc biến cố A
xảy ra (lấy được phấn tử có tính chất B) hoặc biến cố A không xảy ra (lấy được
phần tử không có tính chất B).
Xác suất cho biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng
xác suất cho
biến cố A không xảy ra cũng đều bằng

Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử, thì X là đại lượng ngẫu nhiên
rời rạc nhận các giá trị có thể có 0, 1, 2, …, n. Như đã chứng minh ở chương II,
xác suất để X nhận các giá trị tương ứng được tính bằng công thức Bernoulli:

a) Trong một ngày có 2 máy hỏng.
b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng.
Giải:
Nếu coi sự hoạt động của mỗi máy là một phép thử, ta có 5 phép thử độc lập.
Trong mỗi phép thử chỉ có 2 trường hợp: hoặc máy hỏng hoặc không. Xác suất
hỏng của mỗi máy đều bằng 0,1. Gọi X là số máy hỏng trong một ngày thì X phân
phối theo quy luật nhị thức với các tham số n = 5, p = 0,1 (tức là X ~ B(5; 0,1)).
Do đó xác suất để trong một ngày có 2 máy hỏng là xác suất để X = 2. Theo công
thức (3.2) ta có:

Xác suất để trong ngày có không quá 2 máy hỏng là xác suất để X nhận giá trị
trong khoảng [0, 2]. Theo công thức (3.3) ta có:
Vậy: P(0 ≤ X ≤ 2) = 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 = 0,99144
Ví dụ 3: Một học sinh làm bài trắc nghiệm có 100 câu, mỗi câu gồm có 4 phương
án lựa chọn, trong đó có 1 phương án trả lời đúng. Với một câu, nếu học sinh đó
trả lời đúng thì được 1 điểm, ngược lại, sẽ không có điểm. Do học sinh đó lười học
nên không nắm được bài, đã làm bài bằng cách chọn đại 1 phương án trả lời. Tìm
xác suất để học sinh đó đạt được kết quả (đạt 50 điểm trở lên)
Học sinh thực hiện bài trắc nghiệm trên chính là đã thực hiện 100 phép thử
Bernoulli, với xác suất thành công là 0.25. Gọi X là số điểm của học sinh đó thì X
~ B(100;0.25)
Tuy nhiên, ở đây ta không thể làm như ví dụ 2, vì xác suất của biến cố học sinh đạt
kết quả tương đương với xác suất P( X ≥ 50). Vì việc liệt kê và tính từng trường
hợp X = 50, 51, 52, …, 100 tốn rất nhiều thời gian.
Trong thực tế khi số phép thử n khá lớn, việc sử dụng các công thức (2) và (3) gặp
nhiều khó khăn. Trong trường hợp này, người ta thường sử dụng các công thức
gần đúng để tính toán.


Ví dụ: Xác suất gặp một thứ phẩm trong một lô hàng áo sơ mi cao cấp là 0,003.
Tìm xác suất để gặp 8 thứ phẩm trong 1000 sản phẩm đó.
Giải: Do n = 1000 , p = 0,003 ≈ 0 → λ = np = 3
Gọi X là số thứ phẩm trong 1000 sản phẩm thì X ~ B(1000;0,003). Tuy nhiên do n
lớn và p khá nhỏ nên ta áp dụng công thức tính xấp xỉ Poisson.
Ta có:

Các ví dụ tương tự:
1. Một cuốn sách có 500 trang, mỗi trang có hơn 300 chữ. Biết cuốn sách đó có
300 chữ in sai. Mở ngẫu nhiên 1 trang. Tìm xác suất để trang đó có 3 chữ in sai.
Đ/s: 0.0198
2. Trong 1 đợt xổ số, người ta phát hành 100.000 vé, trong đó có 10.000 vé trúng
giải. Nếu 1 người mua 10 vé thì xác suất trúng ít nhất 1 vé là bao nhiêu?
Đ/s: 0,76
3.Một trạm cho thuê xe du lịch có 3 chiếc xe. Hàng ngày, trạm phải nộp tiền trả
góp 500.000đ cho 1 chiếc xe (bất kể xe đó có được thuê hay không). Mỗi chiếc
được cho thuê với giá 1.500.000 đ /ngày.
Giả sử số xe được yêu cầu cho thuê của trạm trong 1 ngày là đại lượng ngẫu nhiên
X có phân phối nhị thức B(3;0.8).
a.Tính số tiền trung bình trạm thu được trong 1 ngày.
b. Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe. Theo bạn, trạm nên có 3
hay 4 chiếc xe?
4. Xác suất để gặp 1 laptop bị lỗi là 0,005. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên
1000 laptop ta gặp:
a. 10 máy bị lỗi. Đ/s: 0.018
b. Có không quá 5 máy bị lỗi Đ/s:0.61596
5. Trong một đợt thi nâng bậc thợ của ngành dệt, mỗi công nhân dự thi sẽ chọn
ngẫu nhiên 1 trong 2 máy và với máy đã chọn dệt 100 sản phẩm.
Nếu trong 100 sản phẩm sản xuất ra có từ 75 sản phẩm loại 1 trở lên thì được nâng