0
bài giảng
đại số tuyến tính
Người soạn: Lê Thị Nguyệt
1
Chương 0
tập hợp và ánh xạ
Bài 1: tập hợp
I. Khái niệm tập hợp.
1.1. Định nghĩa. Thuật ngữ ”tập hợp” được dùng rộng rãi trong toán học. Ta thường
nói về tập hợp các số nguyên, tập hợp các điểm trong mặt phẳng, tập nghiệm của
một phương trình, Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó được dùng
làm cơ sở cho các khái niệm khác nhưng bản thân nó không được định nghĩa qua các
khái niệm đơn giản hơn. Ta có thể hình dung tất cả những đối tượng xác định nào
đó hợp lại tạo thành một tập hợp.
Khi nói về tập hợp ta chỉ ra các đối tượng có tính chất nào đó. Chẳn hạn, khi nói
về tập hợp các học sinh của một lớp họ c, các đối tượng của tập hợp là học sinh của
lớp họ c đó, khi nói về tập hợp các số nguyên thì các đối tượng của tập hợp là các số
nguyên.
Mỗi đối tượng cấu thành tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp. Để chỉ a là
một phần tử của tập A ta viết a ∈ A(đọc là a thuộc A). Viết a/∈ A(đọ c là a không
thuộc A) nghĩa là a không là phần tử của tập A.
Ví dụ: ở chương trình toán phổ thông ta đã biết các tập hợp sau
a) Tập hợp N các số tự nhiên.
b) Tập hợp Z các số nguyên
c) Tập hợp Q các số hữu tỉ
d) Tập hợp R các số thực.
1.2 Cách mô tả tập hợp. Muốn mô tả một tập hợp ta phải làm đủ rõ để khi cho
ta một phần tử ta biết được nó có thuộc tập hợp đã cho hay không. Thường có hai
cách
1) Liệt kê ra tất cả các phần tử của tập hợp.

A|B = {x|x ∈ A và x/∈ B}
Nếu B là con của A thì A|B được gọi là phần bù của B trong A.
3.4 Tích đề các. Tích đề các của hai tập hợp A và B là tập tất cả các cặp (a, b),
trong đó a ∈ A, b ∈ B. Ký hiệu là A ×B.Vậy
A ×B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
Tương tự ta có thể định nghĩa tích đề các của n tập hợp A
1
,A
2
, , A
n
là
A
1
× A
2
× ×A
n
= {(a
1
,a
2
, , a
n
)|a
1
∈ A
1
,a
2

α
)

B =

α∈I
(A
α

B)
(

α∈I
A
α
)

B =

α∈I
(A
α

B)
Quy tắc De Morgan.
Cho A
α
,α∈ I là các tập con của tập X.Tacó
X|


f : X −→ Y
x → y = f(x)
Tập hợp X được gọi là tập nguồn hoặc là miền xác định của f. Tập hợp Y được gọi
là tập đích của f.
Ví dụ: 1) Cho X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ứng
f : X −→ Y
1 → a
2 → c
3 → d
4 → b
là ánh xạ.
2) Cho X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ứng
g : X −→ Y
1 → a
2 → a
3 → d
4 → b
là ánh xạ.
3) Cho X = {1, 2, 3, 4, 5}; Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ứng
h : X −→ Y
1 → a
2 → a
3 → d
4 → b
4
không là ánh xạ.
4) Cho X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, d}. Khi đó tương ứng
k : X −→ Y
1 → a
2 → a

(x).
Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ. Tập hợp
f(X)={f(x) |x ∈ X}
được gọi là ảnh của ánh xạ f và được ký hiệu là Imf.
Nếu A là tập con của X thì tập
f(A)={f(x)|x ∈ A}
được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f.
Nếu y ∈ Y là một phần tử cố định thì tập
f
−1
(y)={x ∈ X|f(x)=y}
được gọi là nghịch ảnh của y bởi ánh xạ f.
Nếu B ⊂ Y thì tập hợp
f
−1
= {x ∈ X|f(x) ∈ B}
được gọi là nghịch ảnh của B
1.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Đơn ánh.
ánh xạ f : X −→ Y được gọi là đơn ánh nếu với mọi y ∈ Y, tập f
−1
(y)
có không quá một phần tử. Như vậy, f là đơn ánh khi và chỉ khi
∀x
1
,x
2
∈ X, f(x
1
)=f(x

∀x ∈ X,h(x)=g(f(x)).
Tích của hai ánh xạ f và g được ký hiệu là g
o
f hoặc gf . Như vậy ta có
∀x ∈ X, (g
o
f)(x)=g(f(x)).
Ví dụ: Cho f : R −→ R; g : R −→ R được xác định bởi f(x)=x
2
,g(x)=x
2
+2x+8.
Khi đó (g
o
f)(x)=g(f(x)) = g(x
2
)=x
4
+2x
2
+8. và
(f
o
g)(x)=f(g(x)) = f(x
2
+2x +8)=(x
2
+2x +8)
2
.

: Y −→ X đặt tương ứng mỗi phần tử y với
nghịch ảnh x của nó bởi f được gọi là ánh xạ ngược của f. Như vậy ta có
∀y ∈ Y,f
−1
(y)=x ⇔ f(x)=y.
Ta thấy rằng ánh xạ ngược f
−1
của song ánh f cũng là song ánh và ta có
3.2 Mệnh đề. Nếu f : X −→ Y là song ánh thì
a)(f
−1
)
−1
= f,
b) f
o
f
−1
=1
Y
,f
−1
o
f =1
X
.
3.3 Định lý. Cho ánh xạ f : X −→ Y . Nếu tồn tại ánh xạ g : Y −→ X sao cho
g
o
f =1

+2x − 3;
d) A = R,B =(0, +∞),f(x)=e
x+1
;
e) A = N,B = N,f(x)=x(x +1).
Bài 2: a)Cho ánh xạ f : R −→ R xác định bởi
f(x)=
2x
1+x
2
Nó có đơn ánh, toàn ánh? Tìm ảnh f(R).
b) Cho ánh xạ g : R/{0}−→R xác định bởi x →
1
x
.
Tìm ảnh f
o
g.
Bài 3: Xét hai ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f(x)=|x|;
g :[0, +∞) −→ R xác định bởi x →
√
x
Hãy so sánh f
o
g và g
o
f.
Bài 4: Cho hai tập E và F và ánh xạ f : E −→ F .
A và B là hai tập con của A. Chứng minh
a) A ⊂ B ⇔ f(A) ⊂ f(B);


∗ a = e.
Vd: Đối với phép cộng trên tập hợp Z, Q, R, mọi phần tử a đều có phần tử đối là −a.
1.3. Khái niệm về cấu trúc đại số. Một tập có trang bị một hay nhiều luật hợp
thành trong với những tính chất xác định tạo thành một trong nhãng đối tượng toán
học được gọi là cấu trúc đại số.
Sau đây ta sẽ nghiên cứu các cấu trúc nhóm, vành, trường và đặc biệt là trường số
phức.
8
Bài 2:
các cấu trúc đại số
I. Cấu trúc Nhóm.
1.1 Định nghĩa: Một tập G không rỗng được trang bị một luật hợp thành trong (∗)
được ký hiệu là (G, ∗). Cặp (G, ∗) được gọi là một nhóm nếu thỏa mãn ba tính chất
sau
1) Phép toán (∗) có tính kết hợp.
2) Phép toán (∗) có phần tử trung hòa e.
3) Mội phần tử của G đều có phần tử đối.
Ba tính chất trên được gọi là ba tiên đề của nhóm.
Nếu có thêm tính chất thứ tư : Phép toán (∗) có tính giao hoán thì nhóm (G, ∗) được
gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.
Ví dụ: Các cặp (Z, +), (Q, +), (R, +) là những nhóm giao hoán.
1.2 Một số tính chất của nhóm.
Ta có các tính chất sau đây:
1) Phần tử trung hòa e là duy nhất.
2) Phần tử đối của một phần tử a bất kỳ là duy nhất.
3) Có quy tắc giản ước a ∗ x = a ∗y ⇒ x = y.
II. Cấu trúc vành.
2.1 Định nghĩa: Tập A khác rỗng được trang bị hai phép toán, phép toán thứ nhất
gọi là phép cộng, viết là +, phép toán thứ hai gọi là nhân, viết là Bộ ba (A, +,.)


được gọi là phần tử nghịch đảo của a.
3.2. Một số tính chất
9
1) Trường là một vành nguyên.
2) K là một trường thì K{0} là một nhóm đối với phép nhân.
Bài 3:
số phức
1. Tính chất của tập hợp số thực: Trên tập hợp R các số thực ta có các phép
toán cộng hai số thực và nhân hai số thực. Các tính chất này có tính chất cơ bản sau
đây.
Với mọi số thực a
1
,a
2
,a
3
∈ R,
1) a
1
+ a
2
= a
2
+ a
1
,
2) (a
1
+ a

1
a
2
)a
3
= a
1
(a
2
a
3
),
7) a
1
.1=a
1
,
8) a
1
.
1
a
1
=1, (a
1
=0),
9) a
1
(a
2

2
+1=0có nghiệm trong tập hợp các số phức.
Ký hiệu C = R
2
= {(x, y)/x, y ∈ R}, mỗi phần tử của C được gọi là một số phức.
Phép cộng và nhân số phức.
Cho hai số phức z
1
=(x
1
,y
1
),z
2
=(x
2
,y
2
) ∈ C. Ta định nghĩa phép toán cộng và
nhân số phức như sau.
z
1
+ z
2
=(x
1
+ x
2
,y
1

+ x
2
, 0),
(x
1
, 0)(x
2
, 0) = (x
1
x
2
, 0)
Như vậy khi cộng và nhân các số phức dạng (x, 0) ta được một số phức dạng (x, 0).
Vì vậy có thể đồng nhất số phức dạng (x, 0) với số thực x. Tức là x =(x, 0).
10
Bằng cách đó tập số thực R được xem là tập con của tập hợp các số phức C.
Ký hiệu i =(0, 1) ∈ C, ta có i
2
=(0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Như vậy i
2
+1=0, nên
i là nghiệm của phương trình x
2
+1=0. Số phức i được gọi là đơn vị ảo của C.
Với cách đồng nhất x =(x, 0), một số phức z =(x, y) được viết dưới dạng z =
(x, y)=(x, 0) + (0,y)=(x, 0) + (0, 1)(y,0) = x + iy(∗). Công thức (∗) được gọi là
dạng đại số của số phức z, số thực x được gọi là phần thực của số phức z và được
ký hiệu là Rez, số thực y được gọi là phần ảo của số phức z và được ký hiệu là Imz.
Dùng công thức (∗), phép cộng và nhân số phức được viết lại như sau
(x

y
2
)+i(x
1
y
2
+ x
2
y
1
).
Dễ dàng chứng minh được rằng phép cộng và phép nhân số phức có đầy đủ các tính
chất của một trường và tập hợp C được gọi là trường số phức.
Số phức
z = x − iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z = x = iy. Rõ ràng ta
có z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
, z
1
z
2
= z
1
z

được gọi là moddun của z. Ta có ngay
bất đẳng thức sau
| z
1
+ z
2
|| z
1
| + | z
2
| .
Với các ký hiệu trên số phức z được biểu diễn dưới dạng
z =| z | (cos ϕ + i sin ϕ)(∗∗).
Công thức (∗∗) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.
Nếu z
1
=| z
1
| (cos ϕ
1
+ i sin ϕ
1
),z
2
=| z
2
| (cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2

)=argz
1
+ argz
2
. Từ đây ta suy ra rằng, với n là
số nguyên thì z
n
= |z|
n
(cos(nϕ)+i sin(nϕ)). Công thức này được gọi là công thức
Moivre.
Số phức z
0
được gọi là căn bậc n của số phức z nếu z
n
0
= z. Tập hợp tất cả các căn
bậc n của số phức z được ký hiệu là
n
√
z.
Và ta có thể suy ra
n
√
z = {
n

|z|(cos
ϕ +2kπ
n

√
3
2
)
n
,
3
√
2 − 3i,
√
3 − 4i
2. Chứng minh rằng nếu z +
1
z
= 2 cos ϕ thì z
n
+
1
z
n
= 2 cos nϕ, với n ∈ Z.
12
Chương II
ma trận- định thức
Bài 1: ma trận
I. Khái niệm về ma trận.
Cho M là một tập hợp và m, n là các số nguyên dương. Ta gọi một ma trận cỡ m ×n
trên M là một bảng hình chữ nhật
A =






gồm mn phần tử của M được xếp thành m hàng và n cột. Với 1  i  m,1  j  n,
phần tử a
ij
được gọi là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A hay cũng gọi
là phần tử ở vị trí (i, j) của A. Ta gọi i là chỉ số hàng và j là chỉ số cột.
Để đơn giản ma trận A còn được viết dưới dạng A =[a
ij
],i=1, 2, , m; j =1, 2, , n.
Hai ma trận A =[a
ij
] và B =[b
ij
] được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và
a
ij
= b
ij
với mọi i, j.
Ma trận A cỡ n ×n được gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận cỡ 1 ×n được gọi là
ma trận hàng, ma trận cỡ n × 1 được gọi là ma trận cột.
Từ đây về sau ta chỉ xét ma trận trên trường K với K là trường số thực R và trường
số phức C. Tuy nhiên, để đơn giản hầu hết các ví dụ được cho trên trường số thực R.
Ma trận cỡ m ×n gồm mn số 0 được gọi là ma trận không. Ma trận
I = I
n


ij
= a
ij
+ b
ij
với mọi
i =1, 2, , m; j =1, 2, , n. Ký hiệu là C = A + B.
Ví dụ:

123
321

+

456
789

=

57 9
10 10 10

Từ định nghĩa về phép toán cộng ma trận, ta có các tính chất đơn giản sau.
Tính chất: cho A, B, C là các ma trận cỡ mXn trên K. Khi đó
a) A +(B + C)=(A + B)+C,
b) A + B = B + A,
c) A +0
m,n
= A
m,n


Ta có các tính chất sau đây Cho A, B là các ma trận cỡ m ×n và α, β ∈ K. Khi đó
a)1.A = A,
b) (αβ)A = α(βA),
c) (α + β)A = αA + βA,
d) α(A + B)=αA + αB.
2.3 Phép nhân các ma trận.
Định nghĩa: Cho A =[a
ij
] là ma trận cỡ m ×n và B =[b
jk
] là ma trận cỡ m ×p.
Tích của các ma trận A và B là ma trận C =[c
ik
] cỡ m × p, trong đó
c
ik
= a
i1
b
1k
+ a
i2
b
2k
+ + a
in
b
nk
=

12 3
32 1
12−2


, khi đó
C = AB =

912−11
11 −1

Ví dụ 2: Cho A =

1+i 2
−11

; B =

−10
4 − i 1

. Khi đó
AB = A =

7 − 3i 2
5 − i 1

; BA = A =

−1 − i −2

a
21
a
22
a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
a
mn




Ma trận
A
c
=






được gọi là ma trận chuyển vị của A.
Như vậy, nếu A =[a
ij
] thì A
c
=[a
ji
] với mọi i, j.
Ví dụ: Cho A =

123
456

thì A
c
=


14
25
36


III. Các phép biến đổi sơ cấp.
Cho ma trận A trên K. Các phép biến đổi sơ cấp các hàng của ma trận A là các phép
biến đổi sau:

.
.
a
j1
a
j2
a
jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.







−→






a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.







2) Nhân một hàng(một cột) của ma trận A với một số α =0, tức là các phần tử của
hàng(cột) đó đượ c nhân với α.
α



.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
αa
i1
αa
i2
αa
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.



3) Cộng vào hàng(cột) thứ i một bội α của hàng(cột) thứ j của ma trận A.








.
.
.
.
.
.
.
.
.







−→








.
.
.
.
.

jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.








15
Nếu ma trận B nhận được từ ma trận A bằng các phép biến đổi sơ cấp thì ta nói A
tương đương với B và ký hiệu A ∼ B.
Bây giờ ta xét một dạng ma trận đặc biệt mà được gọi là ma trận dạng bậc thang.
3.1 Định nghĩa: Cho ma trận A =[a
ij
] cỡ m × n.
Hàng thứ i của A được gọi là bằng không nếu tất cả các phần tử của hàng đó bằng
không. Tức là a
ij
=0, ∀j =1, 2, , n.
Phần tử a

không là ma trận bậc thang.
3.2 Định lý: Mọi ma trận đều có thể chuyển về dạng bậc thang bằng các phép biến
đổi sơ cấp. Nói cách khác mọi ma trận đều tương đương với một ma trận bậc thang.
Chứng minh: Giả sử A là ma trận cỡ m × n. Ta chứng minh định lý trên bằng
phương pháp quy nạp theo m.
Nếu m =1thì hiển nhiên A có dạng bậc thang.
Giả sử m>1 và định lý đúng đối với mọi ma trận có (m −1) hàng. Nếu A là ma
trận không thì nó là ma trận bậc thang. Giả thiết A là ma trận khác không.
Giả sử j
1
là cột khác không đàu tiên của A. Nhờ phép đổi chổ hai hàng ta có thể giả
thiết a
1j
1
=0. Cộng vào hàng thứ i của A với bội −
a
i
j
1
a
1j
1
,i =2, 3, , n của hàng thứ
nhất, ma trận A được đưa về dạng
A =




0 0 a

b
mn




Ma trận
A =


b
2j
1
+1
b
2n
.
.
.
.
.
.
b
mj
1
+1
b
mn



.
.
.
.
.
.
.
.
00 a
nn




- Ma trận A được gọi là ma trận tam giác trên nếu a
ij
=0với mọi i>j.Nghĩa là
A =




a
11
a
12
a
1n
0 a
22

a
22
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
nn




bài tập
Bài 1: Thực hiện các phép tính
a)

λ 1
0 λ

n



32 50
0 −112
32 10






125
−15 5
2 −11
321




+


14 5
3 −12
30 1


Bài 2: Cho ma trận A =



.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
nn




Nếu b ỏ đi hàng thứ i và cột thứ j từ ma trận A thì ta thu được một ma trận vuông
cấp n − 1. Ta ký hiệu nó là ma trận M
ij
và gọi nó là ma trận con ứng với phần tử
a
ij
. Ta định nghĩa định thức của ma trận một cách quy nạp như sau.
Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là det(A) hoặc |A| và đượ c định
nghĩa như sau.
A là ma trận cấp 1: A =[a
11
] thì det(A)=a


= a
11
det(M
11
) − a
12
det(M
12
)=a
11
a
22
− a
12
a
21
Tổng quát, A là ma trận vuông cấp n thì
det(A)=








a
11
a



= a
11
det(M
1
1)−a
12
det(M
12
)+ +(−1)
n+1
a
1n
det(M
1n
)
(Chú ý ràng a
11
,a
12
, a
1n
là các phần tử nằm ở hàng thứ nhất của ma trận A.
Định thức của ma trận cấp n được gọi là định thức cấp n.
Ví dụ:








+3




45
78




=0
II. Tính chất của định thức.
Tính chất 1: Nếu A là ma trận vuông cấp n và A
c
là chuyển vị của A thì |A| = |A
c
|.
Từ tính chất này ta tháy rằng, các tính chất của định thức đúng với hàng thì sẽ đúng
với cột và ngược lại. Do đó từ đây về sau ta chỉ chứng minh các tính chất của định
thức đối với hàng và kết quả đó cũng đúng đối với cột.
Tính chất 2. Nếu ma trận vuông cấp nA

thu được từ ma trận A bằng cách đổi chổ
hai hàng thì |A

| = −|A|.

.
.
.
.
a
i1
+ c
i1
a
i2
+ c
i2
a
in
+ c
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
j1
a
j2
a




.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
a
i2
a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
j1
a






.
.
.
.
.
.
.
.
.
c
i1
c
i2
c
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a










.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
+ αa
j1
a
i2
+ αa
j2
a
in
+ αa
jn







=











.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
a









Tính chất 9. Nếu ma trận A có một hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác
thì định thức của nó bằng không.
Tính chất 10. Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên
đường chéo.








a
11
a
12
a
1n
0 a
22
a
2n

0 0
a
21
a
22
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
a
nn








= a











111 1
a
1
a
2
a
3
a
n
a
2
1
a
2
2
a
2
3
a
2






Bằng cách quy nạp theo n ta có thể chứng minh được rằng d =Π
1ijn
(a
j
− a
i
).
Thật vậy,
Với n =2, ta có




11
a
1
a
2




= a
2
− a

1
0 a
2
2
− a
1
a
2
a
2
3
− a
1
a
3
a
2
n
− a
1
a
n
.
.
. ,
.
.
.
.
.









Khai triển định thức d theo cột thứ nhất và rút ra thừa số chung ta được
d =(a
2
− a
1
)(a
3
− a
1
) (a
n
− a
1
)









a
n−2
3
a
n−2
n










Bây giờ dùng giả thiết quy nạp ta được
d =(a
2
− a
1
)(a
3
−a
1
) (a
n
− a
1
)Π

;b)




sin α sin β
cos α cos β




;c)






1 − i 10
10 −1
1 1+3i 0






Bài 2. Chứng minh rằng








=2






abc
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2






Bài 4. Giải phương trình sau
d =










1 xx
2
x
n−1
1 a
1
a
2
1
a
n−1
1
1 a
2
a
2
2
a


=0
Bài 5: Tính các định thức
a)








2009 1 1
1 2009 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11 2009







−1 −2 −3 0










;
c)






xyx+ y
yx+ yx
x + yx y






;d)


trận X cỡ n × p, ta có IX = X. Như vậy phương trình AX = B có nghiệm khi tồn
tại ma trận vuông A

cấp n sao cho AA

= A

A = I.
Định nghĩa. Ma trận vuông cấp n được gọi là ma trận có nghịch đảo hay khả nghịch
nếu tồn tại ma trận vuông A

sao cho AA

= A

A = I. Ma trận A

được gọi là ma
trận nghịch đảo của ma trận A.
Định lý: Ma trận nghịch đảo nếu có của một ma trận A là duy nhất và được ký hiệu
là A
−1
.
Định nghĩa: Ma trận A được gọi là ma trận không suy biến nếu |A|=0.
Định lý: Ma trận A vuông cấp n khi và chỉ khi nó không suy biến và ma trận nghịch
đảo A

của nó được xác định bởi công thức
A


A
2n
A
nn




trong đó A
ij
=(−1)
i+j
|M
ij
| và được gọi là phần phụ đại số của phần tử a
ij
.
Chứng minh: Nếu A

là ma trận nghịch đảo của A thì I = A

A do đó |A|=0, có
21
nghĩa là A không suy biến.
Ngược lại, nếu A không suy biến ta xet định thức d
kj
=




a
nn








trong đó a
1k
,a
2k
, , a
nk
nằm ở cột thứ j của định thức d
kj
. Theo tính chất của định
thức ta có
d
kj
=

0 nếu k = j
| A | nếu k = j
Khai triển định thức d
kj
theo cột thứ j ta được
d

a
k1
A
j1
+ a
k2
A
j2
+ + A
kn
A
jn
=

0 nếu k = j
|A| nếu k = j
Từ đây suy ra rằng A

A = I. Do đó A

= A
−1
.
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =








Hệ quả: Nếu |A|=0thì phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A
−1
B.
Mệnh đề: Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n không suy biến thì AB cũng
không suy biến và
(AB)
1
= B
−1
A
−1
HD: Ta cần chứng minh:
- det(AB) =0,
- (B
−1
A
−1
)(AB)=I
- (AB)(B
−1
A
−1
)=I.
Định lý: Nếu B là ma trận vuông cùng cấp với A sao cho BA = I(hoặc AB = I)
thì A khả đảo và B = A
−1
.
bài tập
Bài 1: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận

.
.
.
.
.
.
.
.
00 a
nn




trong đó a
11
a
22
a
nn
=0. Chứng minh rằng A khả đảo và tìm A
−1
Bài 3: Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông thỏa mãn A
2
− 3A + I =0thì
A
−1
=3I −A
Bài 4: Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai
a) Bình phương bằng ma trận đơn vị.







=1=0.
Do đó hạng của ma trận A bằng 3.
II Cách xác định hạng của ma trận.
2.1 Định nghĩa: - Ma trận hàng A =(a
1
,a
2
, , a
n
) được gọi là tổ hợp tuyến tính
của các hàng A
i
=(a
i1
,a
i2
, , a
in
); 1  i  m nếu có các số α
1
,α
2
, , α
m

được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực
α
1
,α
2
, , α
m
không đồng thời bằng không sao cho
α
1
A
1
+ α
2
A
2
+ + α
n
A
n
=0(∗).
- Các hàng A
1
,A
2
, , A
n
không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính.
Tức là hệ thức (∗) chỉ xảy ra khi và chỉ khi α
1




a
1j
1
a
1j
2
a
1j
r
0 a
2j
2
a
2j
r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00 a
rj
r



7 − λ −12 6
10 −19 −λ 10
12 −24 13 −λ


;b)




3 λ 12
14 7 2
110174
41 3 3




24
Chương III
không gian véc tơ
Bài 1: khái niệm không gian véc tơ
I. Định nghĩa: Cho tập hợp V = ∅ mà các phần tử của nó được ký hiệu là
a, b, c, và K là trường số thực R hoặc trường số phức C. Tập hợp V được gọi là
không gian véc tơ trên K nếu
a) Có một quy tắc đặt tương ứng hai phần tử a, b ∈ V với một phần tử của V mà
được ký hiệu là a + b và gọi là phép cộng(hay tổng) của a và b. Tức là có ánh xạ
V × V −→ V

= {(x
1
,x
2
, , x
n
)/x
i
∈ K, i =1, 2, , n }. Ta định nghĩa các phép toán như
sau.
Với mọi x =(x
1
,x
2
, , x
n
),y =(y
1
,y
2
, , y
n
) ∈ K
n
, mọi α ∈ K
x + y =(x
1
+ y
1
,x