I . ÔN KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY
A:KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức về khối đa diện
Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c là 3 kích thước)
Thể tích khối lập phương : V = a
3
(a là cạnh khối lập phương)
Thể tích khôi chóp: V =
Bh
3
1
( B diện tích đáy, h chiều cao)
Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao)
Chú ý:
- Nếu hai khối đa diện đồng dạng theo tỉ số k thì thể tích tương ứng tỉ lệ theo tỉ số k
3

II/ Bài tập: 1/ KHỐI CHÓP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh bên SA vuông góc với
mặt đáy và SA=a
2

a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b/ Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của khối
chóp SAIC theo a .
c/ Gọi M là trung điểm của SB Tính AM theo a
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết SA vuông góc với mặt đáy và
SA=AC , AB=a và góc
·
0
45

π
với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh
V=
=
π
2
R
ñ
1 1
.cao
3 3
d .h
s
với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình chóp.
2/ Công thức tính diện tích và thể tích khối trụ
S
xq
= 2
R.l
.
π
với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh
V=
=π
2
S d.cao R .h
ñ
với R là bán kính đáy, h là chiều cao của hình trụ.
3/ Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu:


0
, SAB = 60
0
.
a. Tính độ dài đường sinh và diện tích xung quanh theo a
b. Tính thể tích của khối nón
Bài 6: Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp một khối nón. Tính thể tích của khối nón đó.
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc SAB =
α
(
α
> 45
0
). Tính diện
tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đtròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD.
2/- Khối trụ
Bài 1: Một khối trụ có bán kính r = 5cm, khoảng cách hai đáy bằng 7cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng
song song với trục cách trục 3cm.
a. Tính diện tích của thiết diện và diện tích xung quanh
b. Tính thể tích khối trụ
Bài 2: Thiết diện chứa trục của khối trụ là hình vuông cạnh a
a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ
b. Tính thể tích khối trụ
Bài 3: Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một htrụ trònxoay
a/Tính d tích xung quanh của hình trụ.
b/Tính thể tích của khối trụ
Bài 4: Một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 nội tiếp một khối trụ. Tính
thể tích khối trụ đó
Bài 5: Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c nội tiếp trong một khối trụ.

. Tính bán kính mặt cầu
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh
a,
)(ABCDSA
⊥
và 3aSA = . Gọi O là tâm hình vng ABCD và Klà hình chiếu của Btrên SC
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vng. Suy ra năm điểm S, D, A, K
B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh
bên đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
II .TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

*1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 1
2 2 2
1 2 3 2 2
3 3
1 1 2 2 3 3
1. ( , , ) 2.
3. , , 4. k.a , ,
5. a 6. a
7. a. . . . 8. a //
B A B A B A B A B A B A
AB x x y y z z AB AB x x y y z z
a b a b a b a b ka ka ka

a a
b ab a b a b a b b
b b b b
b b
⇔ ∧ = ⇔ = =
 
⊥ ⇔ = ⇔ + + = ∧ =
 
 
r r r r
r r r r r r

cb,,a .11
đồng phẳng
(
)
0. =∧⇔ cba

cb,,a .12
khơng đồng phẳng
(
)
0. ≠∧⇔ cba

13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1:






,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M

15. G là trọng tâm tam giác ABC:






++++++
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G

16. Véctơ đơn vị :
)1,0,0();0,1,0();0,0,1(
321
=== eee

ADACABV
ABCD
).(
6
1
∧=
21.
/
.
).(
////
AAADABV
DCBAABCD
∧=
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
• A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔

[
→→
AC,AB
] ≠
0
r• S
∆ABC
=
2

• V
td
=
6
1
→→→
AD.AC],[AB

Đường cao AH của tứ diện ABCD:
AH
SV
BCD
.
3
1
=

⇒

BCD
S
V
AH
3
=

• Thể tích hình hộp :
[
]
/

là hình chiếu của điểm M trên mpOxz thì M
5
( x , 0 , z )
+ M
6
là hình chiếu của điểm M trên mpOyz thì M
6
( 0 , y , z )
1. H là hình chiếu của M trên mpα
§ Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vng góc mp (α) : ta có
α
na
d
=

§ Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
§ Viết phương trình mpα qua M và vng góc với (d): ta có
d
an =
α

§ Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mpα
§ Tìm hình chiếu H của M trên mp (α) (dạng 4.1)
§ H là trung điểm của MM
/

→
c
b) Chứng minh rằng 3 vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
khơng đồng
phẳng .
B2: Cho 3 vectơ
→
a
= (1; m; 2),
→
b
= (m+1; 2;1 ) ,
→
c
= (0 ; m-2 ; 2 ). Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng .

B3: Cho:
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2
a b c
→ → →
= − = − =

a x a
→ → →
+ =
và
( )
0; 2;1
a
→
= −

B5: Cho ba điểm khơng thẳng hàng:
(1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).
A B C
− − −
Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của
tam giác ABC.
B6: Cho bốn diểm khơng đồng phẳng :
(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).
A B C D
− − − −
Hãy tìm tọa độ trọng
tâm G của tứ diện ABCD.
B7; Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz.
B8: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.
B9: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các
đỉnh còn lại.
B10: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M.

c) Tính diện tích tam giác ABC

III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp
α
:
n
r
≠
0
r
là véctơ pháp tuyến của α
⇔

n
r
⊥ α
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp
α
:
a
r

b
r
là cặp vtcp của α
⇔
a
r

o
) có vtpt
n
r
= (A;B;C)
A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0

(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n
r
= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :
1
c
z
b
y
a
x
=++

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
//

≠ 0 : m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0
8. Vị trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α
2
) :

°
222111
C
:
B
:
A

2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
===⇔≡
βα

ª
0
212121
=++⇔⊥ CCBBAA
βα 9.KC từ M(x
0
,y
0

→
AB
,
→
AC
°
]
)(
→→
= AC , AB[nvtpt
qua
r
ChayBhayA
α

Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°
→
= AB vtpt
AB ñieåm trungMqua
n
r
α

Dạng 3: Mặt phẳng (
α
) qua M và
⊥
d (hoặc AB)
°

)
§ Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
§ Mp(α) chứa (d) nên
α
aa
d
=
Mp(α) song song (d
/
) nên
α
ba
d
=
/

■ Vtpt
[
]
/
,
d
d
aan =

Dạng 6 Mp(
α
) qua M,N và
⊥


Mp(

) ủi qua
)(dM

vaứ A neõn

bAM =
.=>(
],[ AM nvtpt
A qua

=
d
a
r


3.BI TP P DNG
Bi toỏn 1. Phng trỡnh mt phng
Bi 1: Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua im M v cú vtpt
n
r
bit
a,
(
)
(
)
M 3;1;1 , n 1;1;2

c,
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5
2 2




c,
2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3





Bi 3: Lp phng trỡnh mt phng
(
)

i qua im M v song song vi mt phng
(
)

bit:
a,
(
)
(

a b

r r

Bi 5: Lp phng trỡnh ca mt phng (P) i qua M(1;1;1) v
a) Song song vi cỏc trc 0x v 0y. b) Song song vi cỏc trc 0x,0z.
c) Song song vi cỏc trc 0y, 0z.
Bi 6: Lp phng trỡnh ca mt phng i qua 2 im M(1;-1;1) v B(2;1;1) v :
a) Cựng phng vi trc 0x. b) Cựng phng vi trc 0y.
c) Cựng phng vi trc 0z.
Bi 7: Xỏc nh to ca vộc t
n
vuụng gúc vi hai vộc t
(6; 1;3); (3;2;1)
a b
r r
.
Bi 8: Tỡm mt VTPT ca mt phng (P) ,bit (P) cú cp VTCP l
)4,2,3( );2,7,2( ba

Bi 9: Lp phng trỡnh tng quỏt ca mt phng (P) bit :
a) (P) i qua im A(-1;3;-2) v nhn
);4,3,2(n
lm VTPT.
b) (P) i qua im M(-1;3;-2) v song song vi (Q): x+2y+z+4=0.
Bi 10: Lp phng trỡnh tng quỏt ca cỏc mt phng i qua I(2;6;-3) v song song vi cỏc mt phng
to .
Bi1 1:Trong khụng gian 0xyz cho im A(-1;2;3) v hai mt phng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Vit phng trỡnh mt phng (R) i qua im A v vuụng gúc vi hai mt phng (P),(Q).
4;BI TP V NH

3
)

Rt;
tazz
tayy
t
a
x
x
(d)
3o
2o
1o
∈





+=
+=
+=
:

2.Phương trình chính tắc của (d)

32
a
z-z

B
x
A
(d)
2222
1111
Cy
Cy
:

Véctơ chỉ phương








=
22
11
22
11
22
11
,,
BA
BA
AC

§ d,d’ đồng phẳng
⇔
[
d
a
r
,
/
d
a
].
→
MN
= 0

§
d,d’ cắt nhau
⇔
[
d
a
r
,
/
d
a
]
0≠
và [
d

r
//
/
d
a
và )(
/
dM ∈ }
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M có vtcp
d
a
r
; (d’) qua N có vtcp
/
d
a

Kc từ điểm đến đường thẳng:
d
d
a
AMa
dAd
];[
),( =

Kc giữa 2 đường thẳng :
];[
].;[

'
d
d
d
d
aa
aa
r
r
=)dcos(d,

Góc giữa đường và mặt :
na
na
d
d
rr
r
r
.
.
=
)sin(d,
α

2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B




d
a vtcp neân )( (d) Vì
qua
rr
=⊥
A
d )(

Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên
α
: d
/
=
α

∩

β

§ Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα

( )
( ) ( )









Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d
1
),(d
2
)
]
d
a ,
d
a [ avtcp
qua
1 2
)(
rrr
=
A
d
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d
1
và d
2
:
+ Tìm
d
a
= [
a
r
d1

và cắt d
1
,d
2
: d = (
α
1
)
∩
(
α
2
) với mp (α
1
) chứa d
1
// ∆ ; mp (α
2
) chứa d
2
//
∆
Dạng 9: PT d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
: d = AB với mp (α) qua A, ⊥ d
1

( ): -3 2 -6 0
P x y z
+ =
và các mỈt phẳng toạ
đ
Bài 3: Vit phương trình cđa đưng thẳng đi qua điĨm M(2;3;-5) và song song với đưng thẳng (d) c phương
trình:
( )
R t,
21
22: ∈





+=
+=
−=
tz
ty
tx
d

Bài 4: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình là :
( )
R t,
21
22: ∈


) cho bởi :
( )
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t
= +


∆ = − ∈


= − +

.
Bài8: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a)
( )
R t,
2
3
1
: ∈






2
1
2
1
:
−
+
==
−
zyx
d
.
a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
b) Lập phương trình đường thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 10: Cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình cho bởi :

( )
1
1
2
1
1
2
:

a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).

Bài1 1): cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
)
( )

34
24
37
:
1





+=
−=
+−=
tz
ty
tx

2
) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .

V. MẶT CẦU
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R

(
)
(
)
(
)
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)

0
d
2cz
2by
2ax
z

)
(
)
2
Rczbyax:(S)
2
2
2
=−+−+−
và (α): Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp(α) :
§ d > R : (S) ∩ α = φ
§ d = R : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là h chiếu của tâm I trên mp
α
)
ü Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(α): ta có
α
na
d
=

ü Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
§ d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt
(
)
(
)
(
)




+=
+=
+=
tazz
tayy
t
a
x
x
d
3o
2o
1o
:
(1) và
(
)
(
)
(
)
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,

I
yB
S
++
+++
==
I
A.x
)d(I, R
I tâmcầu mặt Pt
α

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2)
0
d
2cz
2by
2ax
z
y
x
:
R)
S(I,
2
2
2
=+−−−++
A,B,C,D ∈ mc(S)

r

3. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Trong các phương trình sau đây ,phương trình nào là phương trình của mặt cầu ,khi đó chỉ rõ toạ độ
tâm và bán kính của nó ,biết:
a)
(
)
02642:
222
=++−−++ zyxzyxS b)
(
)
09242:
222
=+−+−++ zyxzyxS
c)
(
)
03936333:
222
=+−+−++ zyxzyxS d)
(
)
07524:
222
=−−++−−− zyxzyxS
e)
(
)

m
) là một họ mặt cầu .
b) Tìm quĩ tích tâm của họ (S
m
) khi m thay đổi.
c) Tìm điểm cố định M mà (S
m
) ln đi qua.
Bài 4: Cho họ mặt cong (S
m
) có phương trình:
(
)
03cos2sin2:
222
=−−−++ mymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) ln chạy trên một đường tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay
đổi.
c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đường thẳng y=m(-1<m<1 ,m
≠
0) ,cắt (C) tại T, S
, đường thẳng qua A , T cắt đường thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) ,biết :

9
2
3
1
7
:
2
−
−
=
−
=
−
zyx
d
,
( )
1
2
2
3
3
1
:
3
−
−
=
−
+

2
.Lập phương trình mặt cầu đường kính AB.
4;BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 7: Cho 2 đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình :
( )
R
tz
ty
tx
d ∈





=
−=
+=
t
2
1
2
:
1
,
( )

2
).
d) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d
1
) và (d
2
).
Bài 8: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).
Bài 9: Trong không gian với hệ toạ 0xyz, cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài10: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a)CMR SB vuông góc SA.
b)CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là giao điểm
của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định toạ dộ của K.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) : Gọi P,Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho
PQ và KM cắt nhau.
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b)Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc chung của AC và BD.
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a):Viết phương trình tham số của đường thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ độ của điểm H.
b) Viết phương trình tổng quát của (BCD) .Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.