ĐỀ THI VÀO LỚP 10
GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN TOÁN CHUYÊN
Bài 1:1) Cho phương trình:
a) Chứng minh rằng phương trình không thể có hai nghiệm đều âm.
b) Gọi
12
,
x
x là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng:
(
)( )
22
11 22
22
12
22 22xx xx
xx
−+ −+
+

không phụ thuộc vào m.
2) Giải hệ phương trình:

Bài 2:
Cho tam giác ABC không phải tam giác cân. Đường tròn (I nội tiếp tam giác và tiếp
xúc với các cạnh BD, AC và AB lần lượt tại D, E, F. EF cắt BC và ID lần lượt tại K và J.
a) Chứng minh tam giác DIJ và AID đồng dạng.


Bài 1:

1) Phương trình:
(
)
2
2201xmxm−+−=
a) Giả sử phương trình có hai nghiệm
12
,
x
x đều âm. Khi đó ta có:
()
2
2
12
12
42 2 0
880
0
00
1
220
0
mm
mm
m
Sxx m
m

Pxx m
=+=
⎧
⎨
==−
⎩

Ta có:
() ()
2
22 2 2
12 12 12
222244xx xx xxm m m m+= + − = − −= − +
Và

()()
() ( )
()
()
()()
()
()
22 222222
11 22 1212121 2
1212
2
22
12 12 1 2 1 2 1 2 12
2
2

2
44
xx xx
mm
xx m m
−+ −+
−+
=
=
+−+
không phụ thuộc vào giá trị của m.
2)
ĐỀ THI VÀO LỚP 10
GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

()
()
()
22
22
22
1
2
3
xy z
yx z
zx y
⎧
=+
⎪

⇔
⎢
++=
⎣

Lấy (2) trừ (3) vế theo vế ta có:

(
)
(
)
()( )
()
22
10
1
y
zz y yz zyzy
yz yz
yz
yz l
−= − ⇔−= − +
⇔− ++=
=
⎡
⇔
⎢
+=−
⎣


111
,,
222
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Bài 2:

J
K
F
E
D
I
A
B C
ĐỀ THI VÀO LỚP 10

()
~
I
DJ IAD c g cΔΔ
b) Tam giác
~
I
DJ IADΔΔ suy ra
n
n
I
JD IDA= .
Tứ giác IJKD có
n
n
90 90 180
oo o
IJK IDK+=+= nên là tứ giác nội tiếp, suy ra
n
n
I
JD IKD=
Từ đó ta có
n
n
I
DA IKD=
Gọi P là giao điểm của AD và IK.
Ta có
n

ĐỀ THI VÀO LỚP 10
GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

Ta có MN //BC nên
M
NAN
B
CAC
=
Và NE // CH nên ta có
AN AE
AC AH
=
Do đó ta có:
M
NAE
B
CAH
=
hay
x
hx ah
x
ah ah
−
=⇒=
+

Vậy độ dài cạnh hình vuông MNPQ bằng
ah

MNPQ
ah
ah k
SMP
ah a h ah
ah
⎛⎞
== = =
⎜⎟
+++
⎝⎠
+

Ta có
2
22 2 2
3
44
a
ah h a+= ++
. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai số ta được
:
22
22
2.
44
aa
hhah+≥ =
Suy ra:


2
9
k
khi tam giác ABC vuông cân
tại A
Bài 4:

a) Xét số tự nhiên có 3 chữ số
abc
trong đó 19,0,9abc
≤
≤≤≤. Ta chứng minh
abc
không thể
là số bạch kim.
Ta có
(
)
2
100 10 100 10abc a b c a a a b c=++=+−++
Ta có
2
10bb≥
ĐỀ THI VÀO LỚP 10
GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

Ta có 100 90a−> và 1a ≥ suy ra
(
)
2

2
10
ki
ii
aa
−
≥ (1)
Và
()
12 1 2 22
11 111 1
10 10 990
kk
k
aa aaa aa
−−
=+ − >+ >+ (2) ( Vì k > 3)
Từ (1) và (2) ta có
12 222
12 1 2 1 1 2
10 10 10
kk
kkkk
aa a a a a a a a a
−−
−
=+ +++>+++
Vậy không có số bạch kim có nhiều hơn 3 chữ số.
Hơn nữa từ câu a) suy ra không có số bạch kim có nhiều hơn hoặc bằng 3 chữ số. Vậy số bạch
kim nếu có chỉ có thể là số có một hoặc hai chữ số.

0 9 2,4, 6,8aa
<
≤⇒=
Thế a trực tiếp vào ta không tìm được số tự nhiên b nào.
Do đó không có số bạch kim có hai chữ số.
Vậy chỉ có một số bạch kim duy nhất là 1.
Câu 5:

Gọi a là số trận có kết quả thắng thua và b là số trận có kết quả hòa.
Khi đó ta có:
6.5
15
2
ab+= =
và
123456
32ADDDDDD ab
=
+++++=+ là tổng số điểm của các
đội đạt được.
Ta có
() ()
2 3 2 3 30 3 2 45ab a b ab a b+≤+≤ +⇒ ≤+≤

Vì
1 23 456 1 1
323 10DDDDDD Aab D D=+=++⇒=+= ⇒≥
Hơn nữa do D
1
thua một trận nên

nm⇒= = ( vô lý vì m, n là số tự nhiên)
Vậy D
1
= 12. Khi đó ta có 3a + 2b = 3 . 12 = 36 => a = 6 và b = 9.
Ta có D
1
thắng 4 trận thua một trận nên số trận có D
1
với 5 đội còn lại là 5 trận có kết quả
thắng thua. Do đó trong 5 đội còn lại đấu với nhau có đúng một trận thắng thua, còn lại là kết
quả hòa. (*)
Ta có D
2
+ D
3
= 12 và
23 3
6DD D≥⇒≤
Ta có D
4
+ D
5
+ D
6
= 12 và
654 6 6
312 4DDD D D
≤
≤⇒ ≤⇒≤
Ta có D

6
) có ít nhất 3 trận hòa nên suy ra
43 4
666DD D≤≤≤⇒= => D
5
= 3. Suy ra D
5
có một trận thua nữa (vô lí với (*))
Vậy D
6
= 4.

Một vài nhận xét:

+ Bài 1 thì chắc ai cũng làm được vì đây là dạng bài tập cơ bản. Vì thế nếu làm được các bài
khác mà không làm được bài này thì cũng nguy hiểm.
+ Bài 2, 3 thuộc môn hình học. Hai bài này chỉ có câu b của bài 3 thì nhiều học sinh dễ bị
nhầm lúc áp dụng Cauchy ngay mà không để ý tới dấu bằng xảy ra. Còn lại những câu khác hi
vọng là làm đúng hết vì cũng thuộc dạng cơ bản.
+ Bài 4: Bài này cũng là một bài hay, không khó nhưng đủ để đánh gục được nhi
ều học sinh
vì thấy không quen. Nhưng nếu để ý, một phương trình nghiệm nguyên có nhiều ẩn thì phương
pháp cơ bản có thể nghĩ tới là bất đẳng thức. Khi giải ra cũng hồ nghi vì sao chỉ có số 1 là số
bạch kim (định nghĩa số bạch kim làm gì chỉ có một số).
+Bài 5: Năm nay Euro + thầy Trần Nam Dũng rất khoái bong đá nên chắc chắn sẽ là một câu
về bóng đá rồi. Bài này rối r
ắm, trong lúc thi khó nghĩ ra vì tâm lí. Có lẽ nhiều bạn chuẩn bị
nhiều về dạng bài tập này nhưng vẫn gặp khó khăn. Bỏ bài này mà làm hết mấy bài khác thì
vẫn còn hi vọng.
NGUYỄN TĂNG VŨ