Phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua dạy
học chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa
thức” lớp 8 trung học cơ sở

Nguyễn Thị Thủy

Trƣờng Đại học Giáo dục
Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học; Mã số: 60 14 10
Ngƣời hƣớng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Vũ Lƣơng
Năm bảo vệ: 2012

Abstract: Xây dựng hệ thống bài toán có tiềm năng bồi dƣỡng và phát triển tƣ duy
cho học sinh, chỉ ra một số phƣơng thức khai thác các bài toán nhằm phát triển tƣ duy
cho học sinh. Đề xuất các biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy chƣơng “Phép nhân
và phép chia các đa thức” theo hƣớng phát triển tƣ duy cho học sinh. Thiết kế một số
bài giảng và chuyên đề liên quan đến nội dung chƣơng “Phép nhân và phép chia các
đa thức” vận dụng các biện pháp trên.

Keywords: Phƣơng pháp giảng dạy; Toán học; Số học

Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năng lực tƣ duy là điều kiện cần và đủ để khám phá và lĩnh hội tri thức. Ngày nay, khi
nền kinh tế tri thức tác động mạnh mẽ đối với sự phát triển của lực lƣợng sản xuất thì việc rèn
luyện tƣ duy của mỗi ngƣời lại càng hết sức cần thiết. Trong nền kinh tế ấy, tri thức trở thành
quyền lực, trở thành chìa khoá mở cửa tƣơng lai. Không có những năng lực, phẩm chất của tƣ
duy, con ngƣời không có khả năng nắm bắt tri thức, lĩnh hội tri thức và cũng không có khả
năng vận dụng tri thức. Làm thế nào để phát triển tƣ duy cho ngƣời học một cách hiệu quả?
Đó là câu hỏi đặt ra không chỉ cho ngành Giáo dục mà cho toàn xã hội.Trong thực tế, phát
triển tƣ duy cho ngƣời học là mục tiêu quan trọng của các chƣơng trình dạy học. Để đạt đƣợc

̣
c ,
trong sản xuất, đặc biệt trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nƣớc.
Nhƣ vậy trong quá trình dạy học với lƣợng kiến thức và thời gian đƣợc phân phối cho môn
Toán bậc THCS, giáo viên phải xây dựng đƣợc các bài tập, bài giảng và phƣơng pháp giảng dạy
phù hợp để có thể phát triển đƣợc tƣ duy cho học sinh. Trong chƣơng trình Toán bậc THCS thì
kiến thức chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” là rất quan trọng có ứng dụng ở hầu
hết các dạng toán nhƣng những tài liệu có tính hệ thống cho nội dung này còn rất đơn giản,
thiếu thách thức để có thể phát triển đƣợc tƣ duy cho học sinh. Từ những lí do trên, đề tài đƣợc
chọn là: Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Phép nhân và phép
chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở
2. Lịch sử nghiên cứu
Gần đây cũng có nhiều công trình nghiên cứu về việc phát triển tƣ duy cho học sinh trong
dạy học bộ môn Toán nhƣ:
- Nguyễn Bá Kim, Vƣơng Dƣơng Minh, Tôn Thân với Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ
của học sinh qua môn Toán ở trường THCS. ( 2006).
- Phan Thị Hƣơng Thảo với Rèn luyện tư duy sáng tạo trong dạy hình học không gian .Luận
văn thạc sĩ , trƣờng ĐHSP Thái Nguyên (2007).
- Phan Thị Luyến với Rèn luyện tư duy phê phán của học sinh trung học phổ thông qua dạy
học chủ đề Phương trình và Bất phương trình. Luận án Tiến sĩ Giáo dục học( 2008).
- Nguyễn Thu Hƣơng với Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Tứ
giác” lớp 8 trung học cơ sở , luận văn thạc sĩ, trƣờng ĐH Giáo dục, ĐHQG Hà Nội ( 2010).
Có thể thấy rằng vấn đề phát triển tƣ duy trong dạy học bộ môn Toán đã thu hút đƣợc sự
quan tâm chú ý của nhiều tác giả. Tuy nhiên, qua tìm hiểu chúng tôi chƣa thấy có công trình
khoa học nào xây dựng các phƣơng pháp thực hành giảng dạy chƣơng “Phép nhân và phép
chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở nhằm phát triển tƣ duy cho học sinh.
3. Mục tiêu nghiên cứu
- Xây dựng hệ thống bài toán có tiềm năng bồi dƣỡng và phát triển tƣ duy cho học
sinh, chỉ ra đƣợc một số phƣơng thức khai thác các bài toán nhằm phát triển tƣ duy cho học
sinh.

Dạy thực nghiệm tại một số lớp khối 8 tại trƣờng THCS Lƣơng Chí- trƣơ
̀
ng THCS
Hải Nhân, trƣơ
̀
ng THCS Hải Thanh, trƣơ
̀
ng THCS Hải Thƣ ợng, trƣơ
̀
ng THCS Hải Hòa đều
thuộc huyện Tĩnh Gia tỉnh Thanh Hóa.
8.4. Phương pháp thống kê toán học
Xử lí các số liệu sau khi điều tra.
9. Dự kiến luận cứ
9.1. Luận cứ lý thuyết
9.1.1 Khái niệm tư duy
9.1.2. Các thao tác tư duy cần thiết cho sự phát triển trí tuệ của học sinh
- Phân tích – Tổng hợp
- So sánh - Tƣơng tự hóa
- Khái quát hóa - Đặc biệt hóa
9.1.3. Sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo liên quan đến chương “Phép nhân và
phép chia đa thức” lớp 8 trung học cơ sở.
9.2 Luận cứ thực tế
Đánh giá sự phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua thực nghiệm sƣ phạm tại một số
trƣờng trung học cơ sở.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn
đƣợc trình bày trong 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận


đƣợc chiều sâu bản chất hiện tƣợng sự vật. Trong học tập môn toán, phân tích-tổng hợp có
mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tƣ duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề. Sự phát
triển của phân tích và tổng hợp là đảm bảo hình thành của toàn bộ tƣ duy và các hình thức tƣ
duy của học sinh.
1.2.1.2. So sánh, tương tự hóa
So sánh là thao tác tƣ duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không
đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tƣợng nhận thức
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tƣợng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận hai
đối tƣợng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác. Nhƣ vậy, tƣơng tự là sự giống nhau giữa hai hay
nhiều đối tƣợng ở một mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.
1.2.1.3. Khái quát hóa, đặc biệt hóa
Khái quát hoá là hoạt động tƣ duy tách những thuộc tính chung và các mối liên hệ
chung, bản chất của sự vật, hiện tƣợng tạo nên nhận thức mới dƣới hình thức khái niệm, định
luật, qui tắc
1.2.1.4. Trừu tượng hóa

5
Trừu tƣợng hoá là thao tác tƣ duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những
liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tƣ duy. Sự
phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang nghĩa tƣơng đối, nó phụ thuộc mục
đích hành động.
1.2.2. Một số loại hình tư duy toán học
1.2.2.1. Tư duy cụ thể
Là tƣ duy trong tác động chặt chẽ với một hình mẫu cụ thể của đối tƣợng. Ngƣời ta
phân biệt hai hình thái tƣ duy cụ thể, đó là: tƣ duy linh hoạt và tƣ duy không linh hoạt.
1.2.2.2. Tư duy trừu tượng
Tƣ duy trừu tƣợng đƣợc Kôliagin và đồng tác giả phân chia thành ba hình thái cụ thể
và chi tiết hơn: Một là, tư duy phân tích. Hai là, tư duy logic. Ba là, tư duy lược đồ không
gian.
1.2.2.3. Tư duy trực giác

1.3.3. Rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản

6
1.3.4. Hình thành những phẩm chất trí tuệ
1.3.4.1. Tính linh hoạt
1.3.4.2. Tính độc lập
1.3.4.3. Tính sáng tạo
Tiểu kết chƣơng 1
Chƣơng này trình bày một số vấn đề thuộc về cơ sở lí luận của đề tài. Đó là quan niệm
về tƣ duy, các loại hình tƣ duy và các thao tác tƣ duy trong Toán học.
Mục tiêu dạy học môn Toán trong nhà trƣờng phổ thông trong đó mục tiêu quan trọng
nhất là phát triển năng lực trí tuệ, tƣ duy cho học sinh.

Chƣơng 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN VÀ ĐỀ XUẤT NHỮNG BIỆN PHÁP
TỔ CHỨC THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CHƢƠNG “PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA
CÁC ĐA THỨC” LỚP 8 TRUNG HỌC CƠ SỞ CÓ TÁC DỤNG PHÁT TRIỂN TƢ
DUY CHO HỌC SINH
2.1. Những căn cứ để phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua dạy học chƣơng “Phép
nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở
2.1.1. Dạy tư duy
Dạy học truyền thống nặng về dạy kiến thức mà xem nhẹ dạy các kĩ năng tƣ duy. Dạy học
hiện đại đã quan tâm đến phát triển tƣ duy song song với trang bị kiến thức môn học, đã chú trọng
đến dạy cách học trong quá trình dạy các môn khoa học cụ thể.
Tại sao chúng ta phải rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh?
Thực tế nếu dạy học chỉ trang bị cho HS một vốn kiến thức thì kết quả họ thu đƣợc chỉ
là những sản phẩm “tĩnh tại”, khô cứng, không có khả năng tái sinh, không vận dụng linh hoạt
vào các tình huống phức tạp trong nhận thức và đời sống. Chỉ khi HS thu nhận kiến thức bằng
chính hoạt động nhận thức, tìm tòi, gia công trí tuệ …thì kiến thức thu đƣợc mới là sở hữu trí
tuệ của ngƣời học. Kiến thức HS thu đƣợc bằng quá trình hoạt động đó sẽ vừa là sản phẩm,
vừa là cơ sở của hoạt động tƣ duy.

quyết. Nhiều bài tập phải phân chia bài toán thành những trƣờng hợp riêng, chia nhỏ bài toán
thành những bài toán cơ bản đã biết cách giải, nhƣ vậy HS có nhiều cơ hội để rèn luyện các
thao tác tƣ duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa. Bên cạnh đó từ một số bài toán về
đẳng thức thuộc chƣơng này ta có thể khai thác, phát triển thành rất nhiều bài toán về bất đẳng
thức có điều kiện hay có mặt trong nhiều cuộc thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Đó là cơ
hội tốt để HS phát triển đƣợc tƣ duy của mình.
Những phân tích trên khẳng định ƣu thế của chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa
thức” trong việc phát triển tƣ duy cho HS.
2.2. Rèn luyện các thao tác tƣ duy: phân tích- tổng hợp, so sánh- tƣơng tự hóa, khái quát
hóa- đặc biệt hóa
2.2.1. Phân tích. Tổng hợp
Trong cuốn sách “Giải một bài toán nhƣ thế nào”[24], tác giả G.Polya đã chỉ
ra:“Muốn giải một bài toán, phải lần lƣợt: Hiểu rõ bài toán,xây dựng một chƣơng trình (một
dữ kiện),thực hiện chƣơng trình (dự kiến) khảo sát lời giải đã tìm đƣợc.”
Hai bƣớc đầu mà G.Polya đƣa ra chính là bƣớc tìm đƣờng lối giải bài toán. Trong
bƣớc này để rèn cho HS kĩ năng phân tích, tổng hợp, GV tổ chức các hoạt động, hƣớng dẫn
HS thông qua trả lời các câu hỏi:
+ Đề bài cho gì, hỏi gì?
+ Từ những giả thiết đã cho suy đƣợc những điều gì?
+ Những kiến thức nào liên quan đến giả thiết? Giả thiết này có thể biến đổi tƣơng
đƣơng thành những điều kiện nào?
+ Những kiến thức nào liên quan đến kết luận? Kết luận này có thể biến đổi tƣơng
đƣơng thành kết quả nào?
+ Tìm quan hệ giữa cái chƣa biết và cái đã biết? Có bài toán nào quen thuộc cũng
chứa cái chƣa biết hoặc có cùng kết luận tƣơng tự không? Mối liên hệ của bài toán với những
bài toán đã biết cách giải? Có thể xếp bài toán thuộc dạng toán nào đã biết không?…
GV tạo cho HS thói quen nhắc lại các câu hỏi này mỗi khi gặp chƣớng ngại khiến ta
phải dừng lại.Để trả lời đƣợc các câu hỏi đó đòi hỏi HS phải phân tích đề bài, tổng hợp các
kiến thức liên quan. Trả lời các câu hỏi đó giúp HS xác định đƣợc dạng bài, định hƣớng tìm ra
đƣờng lối giải bài toán. Để rèn luyện kĩ năng phân tích cho HS, để tạo cơ hội rèn luyện và

2
+b
3
)+ c
3
– ( 3a
2
b+3ab
2
+ 3abc)
= (a+b)
3
+ c
3
- 3ab(a+b+c)
= [ (a+b)
3
+c
3
] - 3ab( a+b+c)
= ( a+b+c) [(a+b)
2
-c(a+b)+c
2
] – 3ab(a+b+c)
= ( a+b+c)(a
2
+2ab+b
2
-ac-bc+c

+b
2
+c
2
- ab – bc – ca)
Khi khai triển
gồm 18 hạng tử gồm các dạng: a
3
+ b
3
+ c
3

+ a
2
b + a
2
c +b
2
c + b
2
a + c
2
a +c
2
b
+ ( -a
2
b - a
2

+ c
3
- 3abc=( a+b+c) (a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca).
Mà a+b+c=0

a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc=0 hay a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
? Bài toán 2 còn cách giải nào nữa không?
Phân tích: Từ a + b + c = 0 nên a + b = -c ta suy ra điều gì ?
Bài giải: Ta có a + b + c = 0 nên a + b = -c .Do đó a
3
+b
3

+ Cơ sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?
Qua phân tích lời giải để HS so sánh tìm ra những dấu hiệu giống nhau cũng nhƣ khác
nhau giữa các bài tập đã giải. Từ đó có thể đƣa ra định hƣớng mở rộng cách giải cho những
bài tập có những đặc trƣng tƣơng tự.
Bài 2.4 : a, b, c

R, chứng minh rằng:
(a + b) ( b +c) (c + a) + abc = (a +b + c) (ab + bc + ca)
? Bài toán này giống bài toán nào mà các em đã làm? Để giải bài này cần thực hiện những
bƣớc nào? Các bƣớc biến đổi đó dựa trên cơ sở nào? Đâu là điểm mấu chốt của lời giải? Cơ
sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?
Dƣới sự hƣớng dẫn của GV học sinh phát hiện ra bài 2.5 giống bài 2.2.Để giải bài này cần
biến đổi một vế của đẳng thức bằng vế còn lại hoặc biến đổi đồng thời hai vế của đẳng thức.
Điểm mấu chốt là học sinh phải thành thạo nhân đa thức, mà đặc biệt ở hai bài toán này là
thuật toán nhân hai đa thức đối xứng
Bài giải
Ta có (a + b) ( b +c) (c + a) khi khai triển có 2 x 2 x2 = 8 hạng tử gốm các dạng:
a
2
b + a
2
c + b
2
c + b
2
a + c
2
a + c
2
b và abc + abc (1)

x + b
2
x sao cho b
1
b
2
= ac . Trong thực hành ta làm
nhƣ sau:
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Bài toán 2.5: Phân tích đa thức 3x
2
+ 8x + 4 thành nhân tử
Ta có: a =3 ; b = 8 ; c = 4
Bước 1: ac = 3.4 = 12

10
Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3= 12.1
Bước 3: b = 8 = 2+6
Khi đó ta có lời giải: 3x
2
+ 8x +4 = 3x
2
+ 6x+2x+4=3x(x+2)+2(x+2)= (x+2)(3x +2)
Ta còn có thuật giải khác để phân tích đa thức trên thành nhân tử nhƣ sau:
3x
2
+ 8x +4 =
)

x
x

Nhờ thuật giải này chúng ta có thể dạy cho học sinh lớp 8 phƣơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất
của một biểu thức:
3x
2
+ 8x +4 =








22
)
3
2
()
3
4
(3 x
22
)
3
2
(3)
3

.
 Ta sẽ có một cách chứng minh hay cho bất đẳng thức dạng trung bình:
, , 0abc
,
3
3
abc
abc


nhƣ sau:
Ta có:
3 3 3 2 2 2
1
3 ( )(( ) ( ) ( ) ) 0
2
a b c abc a b c a b b c c a           

(Vì
0abc  
)
3 3 3
3a b c abc   

Đặt
3
aA
,
3
bB

Đặt
( )( )( )p x y y z z x   
, ta có
2 2 2
x y z xy yz zx    
=
2 2 2
1
( ) ( ) ( )
2
x y y z z x

    


2
3
3
2
p
.
Vì
x y x y  
;
y z y z  
;
z x z x  

3
2( ) 3x y z x y y z z x p         

3 ( )( )a b c abc a b c a b c ab bc ac          
, ta suy ra:
2 2 2
( )( ) 1x y z x y z xy yz zx       
.
Đặt
2 2 2
;A x y z  

B x y z  

2
2( )B A xy yz zx    

2
2
BA
xy yz zx

   
.
Và thu đƣợc:
2
.1
2
BA
BA




cba
abc
abc
333
3
3
ab
c
ac
b
bc
a
222

. Ta có bài toán sau :
Bài toán 2.8: Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a+b+c = 0.
Tính giá trị của biểu thức:
`
ab
c
ac
b
bc
a
P
222

.
Bài giải :
Vì a+b+c = 0. Ta có : a

333

=
abc
abc3
=3
(vì a, b, c là ba số khác 0)
*Thay c bởi c+d vào a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc ta đƣợc:
a
3
+ b
3
+ (c+d)
3
= 3ab(c+d)

12

a
3
+ b
3
+ c
3

= 3abm
Hay a
3
+b
3
+(c+d)
3
=3ab(c+d)

a
3
+b
3
+c
3
+d
3
+3c
2
d+3cd
2
=3ab(c+d)

a
3
+b
3
+c
3
+d

=(x
2
+5x+4)
2
+2(x
2
+5x+4) + 1
=(x
2
+5x+4+1)
2
=(x
2
+5x+5)
2
Dựa vào kết quả của bài toán trên ta khai thác và phát triển thành các bài toán sau:
Bài toán 2.11: Cho M là tích của bốn số nguyên liên tiếp. Chứng minh rằng M+1 là số chính
phương.
Bài toán 2.12: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp biết tích của chúng bằng 32760.
Bài toán 2.13: Giải phương trình:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4).
2.4. Kết luận
Khi dạy đối tƣợng HS diện đại trà, GV thƣờng gặp phải một khó khăn đó là nếu dạy
những bài toán ở mức độ dễ sẽ có ít thách thức đặt ra với HS, ít có cơ hội để học sinh phát
triển tƣ duy. Những bài toán giàu tính thách thức, giàu cơ hội để phát triển tƣ duy thì lại khó
với HS. Gặp những bài toán khó, HS không biết bắt đầu từ đâu, không tìm đƣợc hƣớng giải sẽ
khiến HS chán nản bỏ cuộc. Để khắc phục điều này đòi hỏi sự “gia công” của GV vào bài
dạy. Chúng tôi đã mạnh dạn đề xuất một hƣớng đó là: Trong mỗi hình thức giảng dạy đƣợc
triển khai thực hành ở mức độ thấp, hoặc mức độ cao nhƣ đã nêu ở trên, GV thiết kế nội dung
bài giảng theo hai mức: từ bài giảng cơ bản đến bài giảng nâng cao.

Máy tính, máy chiếu.
Học sinh:
Ôn lại: Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã
học.
C. Phƣơng pháp dạy học:
Gợi mở vấn đáp, giải quyết vấn đề, hƣớng dẫn HS làm việc theo nhóm.
D- Nội dung:
Hoạt động 1: GV cho học sinh ôn tập , hệ thống lại các kiến thức sau:
. CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Phƣơng pháp đặt nhân tử chung , dùng hằng đẳng thức,nhóm nhiều hạng tử, phối hợp các
phƣơng pháp, tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử,thêm bớt cùng một hạng tử.
Hoạt động 2: Tổ chức các biện pháp thực hành giảng dạy để học sinh chiếm lĩnh kiến
thức mới.
I- Các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử (nâng cao)
7. Phƣơng pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ).
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung cần đạt
GV hướng dẫn học
sinh cách phân tích
bài toán và tổng hợp
trình bày lời giải:
Câu a:
? Tìm cách đổi biến
để đƣa đa thức bậc 4
đối với x thành đa
thức bậc hai đối với
biến mới?
? Phân tích đa thức
mới thành nhân tử?

2
x
2

Bài giải:
A = (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) – 12
Đặt x
2
+ x + 1 = y

x
2
+ x + 2 = y + 1
A= y(y + 1) – 12
= y
2
+ y – 12
= y
2
– 3y + 4y – 12

14
?Thay y = x
2
+ x + 1
để đƣa về đa thức

- Dựa vào đặc trƣng
của lời giải đặt tên cho
phƣơng pháp? Nêu
phƣơng pháp?
A = (x
2
+ x – 2)(x
2
+ x +
5)
x
2
+ x – 2
= x
2
– x + 2x – 2
= x(x – 1) + 2(x – 1)
= (x – 1)(x + 2)
x
2
+x+5=
4
19
)
2
1
(
2
x


= (y – 3)(y + 4)
Thay y = x
2
+ x + 1 , ta được:
A = (x
2
+ x – 2)(x
2
+ x + 5)
= (x –1)(x + 2)(x
2
+ x +5).
b)B=(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)- 24
= (x
2
+ 5x + 4)( x
2
+ 5x + 6) – 24
Đặt y = x
2
+ 5x + 4

x
2
+ 5x + 6 = y
+ 2 và ta được:
B = y(y + 2) – 24
= y
2
+ 2y – 24 = y

2
z
2

Đặt : x
2
+ xy + xz = m, ta có:
C= 4m(m + yz) + y
2
z
2

= 4m
2
+ 4myz + y
2
z
2

= ( 2m + yz)
2

Thay m = x
2
+ xy + xz, ta được :
C= 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + +y
2
z
2


2
)
thoả mãn a
1
b
1
= c
1
d
1
và a
1
b
2
+ a
2
b
1
= c
1
d
2

+c
2
d
1
thì đặt y =(a
1
x + a

- x
3
– 10x
2
+ 2x + 4 thành nhân tử.
Mỗi nhóm làm cả 4 bài toán và thực hiện theo yêu cầu:
 Phân tích tìm cách giải.
 Đƣa ra lời giải
 Tổng kết thành phƣơng pháp chung giải dạng toán đó (đặt tên cho
phƣơng pháp, cách thực hiện)
Thời gian cho mỗi nhóm hoàn thành bài của mình là 20 phút, các nhóm trình bày lời giải
bài toán trên giấy A4 và trình bày phƣơng pháp chung giải dạng toán của nhóm mình trên bảng
nhóm.
GV yêu cầu đại diện từng nhóm trình bày cách phân tích nhận dạng và lời giải các bài tập
của nhóm mình (chiếu bài của nhóm trƣớc lớp bằng máy chiếu đa vật thể), nêu phƣơng pháp
giải dạng toán của nhóm trên bảng nhóm.
Các nhóm nhận xét, bổ sung. GV là trọng tài, tổng kết lại các phƣơng pháp tƣơng ứng trong bài và
các bƣớc thực hiện.
Dự kiến bài làm của các nhóm:
Bài toán 215:Phân tích P(x) = 6x
4
+ 19x
2
+ 15 thành nhân tử.
Bài giải:
Đặt y = x
2
, ta có:
Q(y)


= 3.3 = 9.1 = c
1
d
1
và a
2
b
2
= 2.(-5) =(-1).10 =c
2
d
2

P(x) = (9x
2
– 9x – 10)(9x
2
+ 9x – 10) + 24x
2

Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x
2
– 9x – 10 thì P(x) trở thành:
Q(y) = y(y + 10x) = 24x
2

Tìm m.n = 24x
2
và m + n = 10x ta chọn đƣợc m = 6x , n = 4x
Ta đƣợc: Q(y) = y

+ 1) + 3x
3
– 5x
2
– 3x
= 2(x
2
– 1)
2
+ 3x( x
2
– 1) – 5x
Từ đó Q(y) = 2y
2
+ 3xy – 5x
2

Tìm m, n sao cho m.n = - 10x
2
và m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x

16
Ta có: Q(y) = 2y
2
+ 3xy – 5x
2

= 2y
2
– 2xy + 5xy – 5x

+ 4 – x
3
– 6x
2
+ 2x
= (x
2
– 2)
2
– x(x
2
– 2) – 6x
2

Từ đó Q(y) = y
2
– xy – 6x
2

Tìm m, n sao cho m.n = - 6x
2
và m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x
Ta có: Q(y) = y
2
+ 2xy – 3xy – 6x
2

= y(y + 2x) – 3x(y + 2x)
= (y + 2x)(y – 3x)
Do đó: P(x) = (x

x + d
2
)
với a
1
b
1
= c
1
d
1
và a
2
b
2
= c
2
d
2
3) Đa thức dạng : P(x) = ax
4
+bx
3
+ cx
2
+ kbx + a với k = 1 hoặc k = –1
Cách giải: Đặt y = x
2
+ k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay
2

2
+ 3x + 2
Vì hệ số của hạng tử có bậc cao nhất (x
2
) là 1 nên f(x) có thể phân tích thành hai
nhân tử x + a, x + b, ta có:
x
2
+ 3x + 2 = (x + a)(x + b)

x
2
+ 3x + 2 = x
2
+ (a + b)x + ab

17


3
2
ab
ab













Cho b = 1

a = 2 hoặc b = 2

a = 1.
Trong cả hai trƣờng hợp này ta đều đƣợc kết quả:
f(x) = x
2
+ 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).
Vậy f(x) = (x +1)(x + 2).
Chú ý: Có thể phân tích đa thức trên thành nhân tử bằng cách tách và nhóm các hạng
tử:
x
2
+ 3x + 2 = x
2
+ x+ 2x + 2
= x(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(x + 2).
9. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
Phƣơng pháp:
Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. Nhƣ vậy nếu đa thức f(x)
chứa nhân tử (x – a) thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa
thức nếu có phải là ƣớc của hệ số tự do.
 Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai

= a thì P(x) = (x – a)
2
R(x).
Chú ý:
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử (x – 1).
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ

18
thì đa thức chứa nhân tử ( x + 1).
Ví dụ:
* Đa thức : x
3
– 5x
2
+ 8x – 4 có 1 – 5 + 8 – 4 = 0
Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số ( x – 1)
* Đa thức: 5x
3
– 5x
2
+ 3x + 9 có (– 5) + 9 = 1+ 3
Suy ra đa thức có nghiệm là -1 hay đa thức chứa thừa số ( x + 1).
+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhƣng đa thức có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức
với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p/q trong đó p là ƣớc của hạng tử không
đổi, q là ƣớc dƣơng của hạng tử cao nhất.
II. Ứng dụng của phƣơng phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
. Bài toán giải phƣơng trình,bài toán giải bất phƣơng trình,bài toán rút gọn biểu thức, tính giá trị
biểu thức, bài toán chứng minh về chia hết,bài toán giải hệ phƣơng trình.
- Hoạt động 4 : Tổ chức HS thực hành phân tích, nhận dạng bài toán, đưa ra phương pháp
giải và giải các bài toán.

Phiếu học tập: Bài toán 2.19: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1)(y
2
– z)(2x
2
y – yz) – (4yx
2
+ yz
2
)(z – y
2
) + 6x
2
z(y
2
– z).
2) 9(x + 5)
2
– (x + 7)
2

3)- x
3
+ 9x
2
– 27x + 27
4) x
2
- 2xy - z
2

2

10) x
5
– 1
11) 4x
4
+ 81
12) x
8
+ x
4
+ 1
13) k(x) = x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3
14) P(x) = x
3
– 2x – 4
15) P(x) = x
4
+ x
3
– 2x
2
– 6x – 4

mục đích phát triển tƣ duy cho HS. Kiểm nghiệm tính hiệu quả và tính khả thi của những biện
pháp đã đề xuất qua vận dụng cụ thể vào dạy các kiến thức liên quan đến chƣơng “Phép nhân
và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS.
3.2. Nội dung thực nghiệm
Thực hiện các giáo án
+Giáo án thực nghiệm 1: Tiết 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phƣơng pháp đặt
nhân tử chung.(1 tiết)

20
+ Giáo án thực nghiệm 2: Tiết 19: Ôn tập chƣơng I (Tiết 1) (1 tiết)
+ Giáo án thực nghiệm 3: Tiết 20: Ôn tập chƣơng I (Tiết 2) (1 tiết)
+ Giáo án thực nghiệm 4: Giáo án 1 đã xây dựng trong chƣơng 2.(4 tiết)
3.3.Tổ chức thực nghiệm: Thời gian thực nghiệm: Năm học 2011-2012
Chúng tôi chọn 5 trƣờng THCS thuộc huyện Tĩnh Gia, tỉnh Thanh Hóa để tiến hành
thực nghiệm. Chúng tôi chọn thực nghiệm đề tài trên đối tƣợng HS diện đại trà.
Giáo viên dạy thực nghiệm là Lê Thị Phƣơng, Phạm Thị Trang, Nguyễn Thị Thanh, Vũ
Ngọc Cƣờng, Lê Thị Quyên (Giáo viên dạy thực nghiệm và đối chứng là các giáo viên khác
nhau). Các lớp thực nghiệm và đối chứng có kết quả học tập môn Toán trƣớc đó là tƣơng
đƣơng.
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm: Đánh giá định lƣợng, đánh giá định tính.
Các bài kiểm tra ở cả nhóm lớp TN và ĐC đều chấm cùng biểu điểm theo thang điểm 10. Các
kết quả thu đƣợc chúng tôi xử lý bằng thống kê toán học nhằm tăng độ chính xác và sức thuyết phục
của các kết luận. Trình tự đƣợc tiến hành cụ thể nhƣ sau:
Trong đó: n : Tổng số bài kiểm tra
i : Điểm số theo thang điểm 10
n
i
: Số bài kiểm tra có điểm số là X
i
* Tính các tham số đặc trƣng:

S

* Hệ số biến thiên (
C
v
) : Khi có hai số trung bình cộng khác nhau, độ lệch chuẩn khác nhau
thì phải xét hệ số biến thiên:
C
v
=
X
S

Trong đó:
C
v
Có giá trị từ 0% đến nhỏ hơn 10%: dao động nhỏ, độ tin cậy cao.
C
v
Có giá trị từ 10 % đến nhỏ hơn 30%: dao động trung bình.
C
v
Có giá trị từ 30% đến nhỏ hơn 100%: dao động lớn, độ tin cậy nhỏ.
* Độ tin cây (
T
d
): Độ tin cậy sai khác giữa hai giá trị trung bình phản ánh kết quả của
phƣơng án thí nghiệm và đối chứng:
T
d

2
2
S
: Phƣơng sai lớp thí nghiệm.
3.5. Kết quả thực nghiệm thu đƣợc

21
Sau thực nghiệm tiến hành 5 lần kiểm tra: 4 bài kiểm tra đƣợc thực hiện ngay sau khi
dạy học thực nghiệm xong và cuối đợt TN kiểm tra độ bền vững kiến thức của học sinh ở mỗi
nhóm lớp bằng việc chấm bài tập chuyên đề sau khi dạy giáo án thực nghiệm 4. Chúng tôi thu
đƣợc kết quả và có các biểu đồ sau:

*Từ kết quả thể hiện qua các bảng số liệu và đồ thị, biểu đồ, chúng tôi rút ra một số nhận xét
sau:
+ Điểm trung bình cộng trong cả 5 lần kiểm tra ở nhóm lớp TN đều cao hơn nhóm lớp ĐC.
Hiệu đều cho kết quả dƣơng, tƣơng ứng với 5 lần kiểm tra là: 0,85; 0,23; 1,43; 1,28 và 1,73.

+ Điểm dƣới TB của nhóm lớp TN (7,4%) thấp hơn ở nhóm lớp ĐC (45,2%).
+ Điểm khá của nhóm lớp TN (38,7%) cao hơn ở nhóm lớp ĐC (24%).
+ Điểm giỏi của nhóm lớp TN (12,2 ) cao hơn ở nhóm lớp ĐC (2,8%)
+ Số học sinh đạt điểm trung bình, khá, giỏi ở nhóm lớp TN cao hơn lớp đối chứng.
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
1. Nghiên cứu cơ sở lí luận về tƣ duy, tƣ duy toán học, các thao tác tƣ duy, các loại
hình tƣ duy. Nghiên cứu cơ sở lý luận về phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua dạy học
Toán.
2. Xây dựng đƣợc một hệ thống gồm 76 bài toán có tiềm năng bồi dƣỡng và phát triển
tƣ duy cho học sinh, chỉ ra đƣợc một số phƣơng thức khai thác các bài toán nhằm phát triển
tƣ duy cho học sinh.
3. Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy chƣơng “Phép nhân và phép

References
1. Vũ Hữu Bình, Nâng cao và phát triển toán 8 (2 tập). Nhà xuất bản Giáo dục 2007
2. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Toán 8 . Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, 2009.
3. Đảng Cộng sản Việt Nam, Văn kiện Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung ương
Khóa VIII, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội, 1997.
4. Đảng Cộng sản Việt Nam, Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ IX, Nhà xuất
bản Chính trị quốc gia, Hà Nội, 2001
5. Đảng Cộng sản Việt Nam, Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ XI, Nguồn
Website , Hà Nội, 2011
6. Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình Giáo dục học môn toán. Nhà
xuất bản Giáo dục,1987.
7. Nguyễn Thu Hƣơng, Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Tứ
giác” lớp 8 trung học cơ sở , luận văn thạc sĩ, trƣờng ĐH Giáo dục, ĐHQG Hà Nội (
2010).
8. Nguyễn Bá Kim. Phương pháp dạy học môn Toán. Nhà xuất bản Đại học Sƣ phạm,
2009.
9. Nguyễn Bá Kim, Về định hướng đổi mới phương pháp dạy học, NCGD số 332 - 1999.
10. Nguyễn Bá Kim, Vƣơng Dƣơng Minh, Tôn Thân, Khuyến khích một số hoạt động trí
tuệ của học sinh qua môn Toán ở trường THCS. Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội, 2006
11. Luật giáo dục, Nhà xuất bản Chính trị quốc gia, Hà Nội, 2005
12. Phan Thị Luyến, Rèn luyện tư duy phê phán của học sinh trung học phổ thông qua dạy
học chủ đề Phương trình và Bất phương trình. Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Hà Nội ,
2008.
13. Nguyễn Vũ Lƣơng, Phạm Văn Quốc, Phạm Văn Hùng, Đỗ Thanh Sơn, Nguyễn Thị
Thùy Linh, Trần Quang Hùng, Một số bài giảng và đề thi môn toán. Nhà xuất bản
Đại học quốc gia, Hà Nội, 2009.
14. Nguyễn Vũ Lƣơng, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng ,Hệ phương trình và
phương trình chứa căn. Nhà xuất bản Đại học quốc gia, Hà Nội,2008.

23