1

BÀI TẬP VẬT LÝ THỐNG KÊ
§1. Thống kê cổ ñiển.
Bài 1. Tìm biểu thức của thể tích không gian pha của một phân tử khí lý tưởng ñơn nguyên tử phụ
thuộc vào năng lượng của phân tử.
Bài 2. Tính thể tích pha Γ
ΓΓ
Γ của các hệ sau :
a. Dao ñộng tử ñiều hòa tuyến tính .
b. Hạt chuyển ñộng tương ñối tính trong thể tích
V
có năng lượng
2 2 2
E c p m c= +
.
c. Tìm thể tích pha ñối với hạt khí chuyển ñộng trong thể tích
V
có năng lượng
cp
ε =
.
Bài 3. Dùng phân bố chính tắc Gibbs, thiết lập các phân bố sau ñây (các dạng khác của phân bố
Maxwell) :
- Xác suất ñể vận tốc của một hạt của hệ có các thành phần vận tốc ở trong khoảng :
( , ),( , ),( , )
x x y y z z
v v dx v v dy v v dz+ + +

- Xác xuất ñể ñộ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng

Bài 6. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng ñơn nguyên tử gồm
N
nguyên tử khí;
Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí liên hệ với nhau bởi hệ thức :

cp
ε =
.
Bài 7. Thiết lập mối liên hệ giữa năng lượng, áp suất và thể tích của hệ khí lý tưởng ñơn nguyên tử
gồm
N
nguyên tử . Biết rằng năng lượng và xung lượng của mỗi hạt liên hệ với nhau bởi hệ thức :
3
cpε =
(
c
: const)
Bài 8. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng ñơn nguyên tử gồm
N
nguyên tử khí;
Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí ñó liên hệ với nhau bởi hệ thức :
4
cpε =
(
c
: const)
Bài 9. Xác ñịnh năng lượng và áp suất của khí lý tưởng gồm
N
hạt chứa trong bình có thể tích
V

hạt có khối lượng
1
m
và
2
N
hạt có khối lượng
2
m
chứa
trong một bình hình trụ có chiều cao
h
và ñiện tích ñáy
σ
. Bình khí ñược ñặt trong trọng trường
với gia tốc
g
. Tìm áp suất ñặt lên mặt trên của bình và vị trí của khối tâm .
Bài 13. Biết rằng ñộng năng của chuyển ñộng quay của phân tử 2 nguyên tử có các khối lượng
A
m

và
B
m
ñối với khối tâm của chúng bằng :





, chiều cao
h
. Biết rằng hình trụ quay
quanh trục của nó với vận tốc góc ω.
a. Xác ñịnh áp suất của khí tác dụng lên thành bình.
b. Tìm nội năng của khí.
Bài 15. Tìm khối tâm của một cột khí lý tưởng nằm trong trọng trường ñều, biết rằng gia tốc trọng
trường là
g
, khối lượng một phân tử là
m
và nhiệt ñộ là
T
.
Bài 16. Trong một bình hình trụ bán kính
R
, chiều cao
h
ñặt trong trọng trường, ngưới ta trộn
l
khí
lý tưởng có số hạt bằng nhau nhưng có khối lượng khác nhau
1 2
, , ,
l
m m m
. Xác ñịnh khối tâm của hệ.
Bài 17. Khảo sát hệ gồm N dao ñộng tử tuyến tính cổ ñiển với khối lượng
m
và tần số ω. Hãy tính

T
, chứa trong các bình có thể tích
1
V
và
2
V
. Tìm sự thay ñổi của entropy khi nối hai bình.
Bài 21. Sử dụng ñịnh lý phân bố ñều ñộng năng theo các bậc tự do và ñịnh lý virial dưới dạng:
i
i
i
i
p
H
p
q
H
q
∂
∂
=
∂
∂
, tính năng lượng trung bình của dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính cổ ñiển.
Bài 22. Sử dụng ñịnh lý virial, tính năng lượng trung bình của dao ñộng tử có thế năng
4
( )u x kx=
.
Bài 23. Sử dụng ñịnh lý virial, tính năng lượng trung bình của hạt chuyển ñộng trong trường lực có


§2. Các thống kê lượng tử .
Bài 1. Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của
N
dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính ñộc lập.
Bài 2. Tính năng lượng tự do và entropy của
N
dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính ñộc lập.
Bài 3. Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ
N
dao ñộng tử ñiều hoà hai chiều ñộc lập
có các mức năng lượng
ν+=ε h)n(
n
1
suy biến bội
( ) 1
n
g n
ε = +
.
Bài 4. Tính tổng thống kê và năng lượng trung bình của dao ñộng tử 3 chiều mà các mức năng lượng
ν+=ε h)n(
n
2
3
suy biến bội
( 1)( 2)
( )
2

+µ
tương ứng với các moment từ -µ và +µ song song hay ñối song với từ trường
H
. Giả sử hệ
gồm
N
hạt như thế ñược ñặt trong từ trường
H
ở nhiệt ñộ
T
. Sử dụng phân bố chính tắc Gibbs ,
xác ñịnh nội năng, nhiệt dung và moment từ toàn phần của hệ.
Bài 8. Một hệ có thể ở trong hai trạng thái lượng tử với năng lượng
1
ε
và
2
ε
. Bội suy biến của các
trạng thái ñó lần lượt là
1
g
và
2
g
. Thiết lập sự phụ thuộc của
S
vào
E
.

Bài 11. Phổ năng lượng của các photon có dạng
( )k ck
ε =
ℏ
, trong ñó
k

là vector sóng và
| |k k=

.
Tính năng lượng tự do, entropy, nhiệt dung và phương trình ñoạn nhiệt của khí photon.

Bài 12. Chứng minh rằng :
∫
+∞
∞−
−=






∂
∂
1dE
E
f
; ở ñây

n
là số boson trung bình trong trạng thái i.
Bài 15. Chứng minh rằng ñối với các fermion ta có hệ thức :
[
]
∑
−−+−=
i
iiii
)nln()n(nlnnkS 11
ở
ñây
i
n
là số fermion trung bình trong trạng thái i.